En matemáticas, un módulo de Demazure , introducido por Demazure (1974a, 1974b), es un submódulo de una representación de dimensión finita generada por un espacio de pesos extremos bajo la acción de una subálgebra de Borel . La fórmula de caracteres de Demazure , introducida por Demazure (1974b, teorema 2), proporciona los caracteres de los módulos de Demazure y es una generalización de la fórmula de caracteres de Weyl . La dimensión de un módulo de Demazure es un polinomio de mayor peso, llamado polinomio de Demazure .
Supóngase que g es un álgebra de Lie semisimple compleja, con una subálgebra de Borel b que contiene una subálgebra de Cartan h . Una representación finitodimensional irreducible V de g se divide como una suma de espacios propios de h , y el espacio de mayor peso es unidimensional y es un espacio propio de b . El grupo de Weyl W actúa sobre los pesos de V , y los conjugados w λ del vector de mayor peso λ bajo esta acción son los pesos extremos, cuyos espacios de pesos son todos unidimensionales.
Un módulo de Demazure es el submódulo b de V generado por el espacio de pesos de un vector extremal w λ, por lo que los submódulos de Demazure de V están parametrizados por el grupo de Weyl W .
Hay dos casos extremos: si w es trivial , el módulo de Demazure es simplemente unidimensional, y si w es el elemento de longitud máxima de W , entonces el módulo de Demazure es la totalidad de la representación irreducible V.
Los módulos de Demazure se pueden definir de manera similar para las representaciones de mayor peso de las álgebras de Kac-Moody , excepto que ahora se tienen 2 casos, ya que se pueden considerar los submódulos generados por la subálgebra de Borel b o su subálgebra opuesta. En la dimensión finita, estos se intercambian por el elemento más largo del grupo de Weyl, pero este ya no es el caso en las dimensiones infinitas, ya que no hay un elemento más largo.
La fórmula de carácter de Demazure fue introducida por (Demazure 1974b, teorema 2). Victor Kac señaló que la prueba de Demazure tiene una laguna importante, ya que depende de (Demazure 1974a, Proposición 11, sección 2), que es falsa; véase (Joseph 1985, sección 4) para el contraejemplo de Kac. Andersen (1985) dio una prueba de la fórmula de carácter de Demazure utilizando el trabajo sobre la geometría de las variedades de Schubert de Ramanan y Ramanathan (1985) y Mehta y Ramanathan (1985). Joseph (1985) dio una prueba para módulos de peso máximo dominante suficientemente grandes utilizando técnicas de álgebra de Lie. Kashiwara (1993) demostró una versión refinada de la fórmula de carácter de Demazure que Littelmann (1995) conjeturó (y demostró en muchos casos).
La fórmula del personaje Demazure es
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