Expansión polinomial

En matemáticas , una expansión de un producto de sumas lo expresa como una suma de productos utilizando el hecho de que la multiplicación se distribuye sobre la adición. La expansión de una expresión polinómica se puede obtener reemplazando repetidamente subexpresiones que multiplican otras dos subexpresiones, al menos una de las cuales es una adición, por la suma equivalente de productos, continuando hasta que la expresión se convierte en una suma de productos (repetidos). Durante la expansión, también se pueden aplicar simplificaciones como la agrupación de términos iguales o cancelaciones de términos. En lugar de multiplicaciones, los pasos de expansión también podrían implicar reemplazar potencias de una suma de términos por la expresión equivalente obtenida de la fórmula binomial ; esta es una forma abreviada de lo que sucedería si la potencia se tratara como una multiplicación repetida y se expandiera repetidamente. Es habitual reintroducir potencias en el resultado final cuando los términos involucran productos de símbolos idénticos.

Ejemplos simples de expansiones polinomiales son las conocidas reglas

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}$

${\displaystyle (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}}$

cuando se utiliza de izquierda a derecha. Una expansión de un solo paso más general introducirá todos los productos de un término de una de las sumas que se multiplican por un término de la otra:

${\displaystyle (a+b+c+d)(x+y+z)=ax+ay+az+bx+by+bz+cx+cy+cz+dx+dy+dz}$

Una expansión que involucra múltiples pasos de reescritura anidados es la de elaborar un esquema de Horner para el polinomio (expandido) que define, por ejemplo

${\displaystyle 1+x(-3+x(4+x(0+x(-12+x\cdot 2))))=1-3x+4x^{2}-12x^{4}+2x^{5}}$.

El proceso opuesto de intentar escribir un polinomio expandido como un producto se llama factorización polinomial .

Expansión de un polinomio escrito en forma factorizada

Se pueden multiplicar dos expresiones utilizando la ley conmutativa, la ley asociativa y la ley distributiva. (Para multiplicar más de dos expresiones, simplemente multiplique dos a la vez)

Para multiplicar dos factores, cada término del primer factor debe ser multiplicado por cada término del otro factor. Si ambos factores son binomios , se puede utilizar la regla FOIL , que significa " Primero , exterior , interior, último " , haciendo referencia a los términos que se multiplican entre sí. Por ejemplo, expandir

${\displaystyle (x+2)(2x-5)\,}$

rendimientos

${\displaystyle 2x^{2}-5x+4x-10=2x^{2}-x-10.}$

Expansión de (x+y)norte

Al expandir , existe una relación especial entre los coeficientes de los términos cuando se escriben en orden de potencias descendentes de x y potencias ascendentes de y . Los coeficientes serán los números en la fila ( n + 1) del triángulo de Pascal (ya que el triángulo de Pascal comienza con el número de fila y columna 0). ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle (x+y)^{n}}$

Por ejemplo, al expandir , se obtiene lo siguiente: ${\displaystyle (x+y)^{6}}$

${\displaystyle {\color {red}1}x^{6}+{\color {red}6}x^{5}y+{\color {red}{15}}x^{4}y^{2}+{\color {red}{20}}x^{3}y^{3}+{\color {red}{15}}x^{2}y^{4}+{\color {red}{6}}xy^{5}+{\color {red}1}y^{6}\,}$

Véase también

• Factorización de polinomios
• Factorización
• Teorema multinomial

Enlaces externos

Discusión

• Revisión de Álgebra: Expansión Archivado el 10 de diciembre de 2014 en Wayback Machine , Universidad de Akron

Herramientas en línea

• Expandir página, quickmath.com
• Calculadora en línea con cálculos simbólicos, livephysics.com