Estrofoide

Curva geométrica construida a partir de otra curva y dos puntos

Construcción de un estrofoide.

  Dada la curva C

  Línea variable L que gira alrededor del polo O ; interseca a C en el punto K

  Círculo centrado en K cuyo tamaño está limitado por el punto fijo A ; interseca a L en P ₁ y P ₂

  Porción interna de la curva estrofoide, trazada por P ₁ a medida que L gira

  Porción exterior de la curva estrofoide, trazada por P ₂ a medida que L gira

En geometría , una estrofoide es una curva generada a partir de una curva dada C y los puntos A (el punto fijo ) y O (el polo ) de la siguiente manera: Sea L una línea variable que pasa por O e interseca a C en K. Ahora sean P ₁ y P ₂ los dos puntos en L cuya distancia desde K es la misma que la distancia de A a K (es decir, KP ₁ = KP ₂ = AK ). El lugar geométrico de dichos puntos P ₁ y P ₂ es entonces la estrofoide de C con respecto al polo O y al punto fijo A. Nótese que AP ₁ y AP ₂ están en ángulos rectos en esta construcción.

En el caso especial en que C es una línea, A se encuentra sobre C y O no se encuentra sobre C , la curva se denomina estrofoide oblicua . Si, además, OA es perpendicular a C , la curva se denomina estrofoide recta o, simplemente, estrofoide según algunos autores. La estrofoide recta también se denomina curva logocíclica o foliada .

Ecuaciones

Coordenadas polares

Sea la curva C dada por donde el origen se toma como O. Sea A el punto ( a , b ) . Si es un punto en la curva, la distancia de K a A es ${\displaystyle r=f(\theta ),}$ ${\displaystyle K=(r\cos \theta ,\ r\sin \theta )}$

${\displaystyle d={\sqrt {(r\cos \theta -a)^{2}+(r\sin \theta -b)^{2}}}={\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}.}$

Los puntos de la recta OK tienen un ángulo polar θ y los puntos a una distancia d de K en esta recta están a una distancia del origen. Por lo tanto, la ecuación de la estrofoide está dada por ${\displaystyle f(\theta )\pm d}$

${\displaystyle r=f(\theta )\pm {\sqrt {(f(\theta )\cos \theta -a)^{2}+(f(\theta )\sin \theta -b)^{2}}}}$

Coordenadas cartesianas

Sea C paramétricamente expresado por ( x ( t ), y ( t )) . Sea A el punto ( a , b ) y sea O el punto ( p , q ) . Luego, mediante una aplicación directa de la fórmula polar, la estrofoide viene dada paramétricamente por:

${\displaystyle u(t)=p+(x(t)-p)(1\pm n(t)),\ v(t)=q+(y(t)-q)(1\pm n(t)),}$

dónde

${\displaystyle n(t)={\sqrt {\frac {(x(t)-a)^{2}+(y(t)-b)^{2}}{(x(t)-p)^{2}+(y(t)-q)^{2}}}}.}$

Una fórmula polar alternativa

La naturaleza compleja de las fórmulas dadas anteriormente limita su utilidad en casos específicos. Existe una forma alternativa que a veces es más sencilla de aplicar. Esto es particularmente útil cuando C es una sectriz de Maclaurin con polos O y A.

Sea O el origen y A el punto ( a , 0) . Sea K un punto en la curva, θ el ángulo entre OK y el eje x , y ⁠ ⁠ ${\displaystyle \vartheta }$ el ángulo entre AK y el eje x . Supongamos que ⁠ ⁠ ${\displaystyle \vartheta }$ se puede dar como una función θ , digamos Sea ψ el ángulo en K entonces Podemos determinar r en términos de l usando la ley de senos . Ya que ${\displaystyle \vartheta =l(\theta ).}$ ${\displaystyle \psi =\vartheta -\theta .}$

${\displaystyle {r \over \sin \vartheta }={a \over \sin \psi },\ r=a{\frac {\sin \vartheta }{\sin \psi }}=a{\frac {\sin l(\theta )}{\sin(l(\theta )-\theta )}}.}$

Sean P ₁ y P ₂ los puntos en OK que están a distancia AK de K , numerando de modo que y △ P ₁ KA es isósceles con ángulo en el vértice ψ , por lo que los ángulos restantes, ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ son El ángulo entre AP ₁ y el eje x es entonces ${\displaystyle \psi =\angle P_{1}KA}$ ${\displaystyle \pi -\psi =\angle AKP_{2}.}$ ${\displaystyle \angle AP_{1}K}$ ${\displaystyle \angle KAP_{1},}$ ${\displaystyle {\tfrac {\pi -\psi }{2}}.}$

${\displaystyle l_{1}(\theta )=\vartheta +\angle KAP_{1}=\vartheta +(\pi -\psi )/2=\vartheta +(\pi -\vartheta +\theta )/2=(\vartheta +\theta +\pi )/2.}$

Mediante un argumento similar, o simplemente usando el hecho de que AP ₁ y AP ₂ están en ángulos rectos, el ángulo entre AP ₂ y el eje x es entonces

${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\vartheta +\theta )/2.}$

La ecuación polar para el estrofoide ahora se puede derivar de l ₁ y l ₂ a partir de la fórmula anterior:

${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{1}=a{\frac {\sin l_{1}(\theta )}{\sin(l_{1}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta +\pi )/2-\theta )}}=a{\frac {\cos((l(\theta )+\theta )/2)}{\cos((l(\theta )-\theta )/2)}}\\&r_{2}=a{\frac {\sin l_{2}(\theta )}{\sin(l_{2}(\theta )-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )+\theta )/2-\theta )}}=a{\frac {\sin((l(\theta )+\theta )/2)}{\sin((l(\theta )-\theta )/2)}}\end{aligned}}}$

C es una sectrix de Maclaurin con polos O y A cuando l tiene la forma en ese caso l ₁ y l ₂ tendrán la misma forma por lo que la estrofoide es otra sectrix de Maclaurin o un par de tales curvas. En este caso también hay una ecuación polar simple para la ecuación polar si el origen se desplaza a la derecha por un . ${\displaystyle q\theta +\theta _{0},}$

Casos específicos

Estrofoides oblicuos

Sea C una línea que pasa por A . Entonces, en la notación utilizada anteriormente, donde α es una constante. Entonces y Las ecuaciones polares de la estrofoide resultante, llamada estrofoide oblicua, con origen en O son entonces ${\displaystyle l(\theta )=\alpha }$ ${\displaystyle l_{1}(\theta )=(\theta +\alpha +\pi )/2}$ ${\displaystyle l_{2}(\theta )=(\theta +\alpha )/2.}$

${\displaystyle r=a{\frac {\cos((\alpha +\theta )/2)}{\cos((\alpha -\theta )/2)}}}$

y

${\displaystyle r=a{\frac {\sin((\alpha +\theta )/2)}{\sin((\alpha -\theta )/2)}}.}$

Es fácil comprobar que estas ecuaciones describen la misma curva.

Mover el origen a A (de nuevo, ver Sectrix de Maclaurin ) y reemplazar −a con a produce

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}},}$

y girando a su vez produce ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta +\alpha )}{\sin(\theta )}}.}$

En coordenadas rectangulares, con un cambio de parámetros constantes, esto es

${\displaystyle y(x^{2}+y^{2})=b(x^{2}-y^{2})+2cxy.}$

Esta es una curva cúbica y, por la expresión en coordenadas polares, es racional. Tiene un nodo cúbico en (0, 0) y la línea y = b es una asíntota.

El estrofoide derecho

Un estrofoide derecho

Introducción​ ${\displaystyle \alpha =\pi /2}$

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(2\theta -\alpha )}{\sin(\theta -\alpha )}}}$

da

${\displaystyle r=a{\frac {\cos 2\theta }{\cos \theta }}=a(2\cos \theta -\sec \theta ).}$

Esto se llama estrofoide recto y corresponde al caso donde C es el eje y , A es el origen y O es el punto ( a , 0) .

La ecuación cartesiana es

${\displaystyle y^{2}=x^{2}(a-x)/(a+x).}$

La curva se asemeja al Folium de Descartes ^[1] y la recta x = – a es una asíntota de dos ramas. La curva tiene dos asíntotas más, en el plano de coordenadas complejas, dadas por

${\displaystyle x\pm iy=-a.}$

Círculos

Sea C un círculo que pasa por O y A , donde O es el origen y A es el punto ( a , 0) . Entonces, en la notación utilizada anteriormente, donde es una constante. Entonces y Las ecuaciones polares de la estrofoide resultante, llamada estrofoide oblicua, con el origen en O son entonces ${\displaystyle l(\theta )=\alpha +\theta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle l_{1}(\theta )=\theta +(\alpha +\pi )/2}$ ${\displaystyle l_{2}(\theta )=\theta +\alpha /2.}$

${\displaystyle r=a{\frac {\cos(\theta +\alpha /2)}{\cos(\alpha /2)}}}$

y

${\displaystyle r=a{\frac {\sin(\theta +\alpha /2)}{\sin(\alpha /2)}}.}$

Éstas son las ecuaciones de los dos círculos que también pasan por O y A y forman ángulos con C en estos puntos. ${\displaystyle \pi /4}$

Véase también

• Concoide
• Cisoide

Referencias

1. Chisholm, Hugh , ed. (1911). "Curva logocíclica, estrofoide o foliada"  . Encyclopædia Britannica . Vol. 16 (11.ª ed.). Cambridge University Press. pág. 919.

• J. Dennis Lawrence (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. págs. 51–53, 95, 100–104, 175. ISBN. 0-486-60288-5.
• EH Lockwood (1961). "Strophoids". Un libro de curvas . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. pp. 134–137. ISBN 0-521-05585-7.
• RC Yates (1952). "Estrofoides". Un manual sobre curvas y sus propiedades . Ann Arbor, MI: JW Edwards. págs. 217–220.
• Weisstein, Eric W. "Estrofoide". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Estrofoide derecho". MundoMatemático .
• Sokolov, DD (2001) [1994], "Estrofoide", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Estrofoide derecha", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews

Enlaces externos

Medios relacionados con Estrofoide en Wikimedia Commons