Cisoide

Curva plana construida a partir de otras dos curvas y un punto fijo

  Cisoide

  Curva C ₁

  Curva C ₂

  Polo O

En geometría , una cisoide (del griego antiguo κισσοειδής (kissoeidēs)  ' en forma de hiedra ') es una curva plana generada a partir de dos curvas dadas C ₁ , C ₂ y un punto O (el polo ). Sea L una línea variable que pasa por O e interseca C ₁ en P ₁ y C ₂ en P ₂ . Sea P el punto en L tal que (En realidad hay dos puntos de este tipo, pero P se elige de modo que P esté en la misma dirección desde O que P ₂ desde P ₁ ). Entonces, el lugar geométrico de dichos puntos P se define como la cisoide de las curvas C ₁ , C ₂ en relación con O . ${\displaystyle {\overline {OP}}={\overline {P_{1}P_{2}}}.}$

Diferentes autores utilizan definiciones ligeramente diferentes pero esencialmente equivalentes. Por ejemplo, P puede definirse como el punto tal que Esto es equivalente a la otra definición si C ₁ se reemplaza por su reflexión a través de O . O P puede definirse como el punto medio de P ₁ y P ₂ ; esto produce la curva generada por la curva anterior escalada por un factor de 1/2. ${\displaystyle {\overline {OP}}={\overline {OP_{1}}}+{\overline {OP_{2}}}.}$

Ecuaciones

Si C ₁ y C ₂ se dan en coordenadas polares por y respectivamente, entonces la ecuación describe la cisoide de C ₁ y C ₂ en relación con el origen. Sin embargo, debido a que un punto puede representarse de múltiples maneras en coordenadas polares, puede haber otras ramas de la cisoide que tengan una ecuación diferente. Específicamente, C ₁ también se da por ${\displaystyle r=f_{1}(\theta )}$ ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )}$ ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&r=-f_{1}(\theta +\pi )\\&r=-f_{1}(\theta -\pi )\\&r=f_{1}(\theta +2\pi )\\&r=f_{1}(\theta -2\pi )\\&\qquad \qquad \vdots \end{aligned}}}$

Por lo tanto, la cisoide es en realidad la unión de las curvas dadas por las ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}&r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )\\&r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta +\pi )\\&r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta -\pi )\\&r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta +2\pi )\\&r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta -2\pi )\\&\qquad \qquad \vdots \end{aligned}}}$

Se puede determinar de forma individual, dependiendo de los periodos de f ₁ y f ₂ , cuál de estas ecuaciones se puede eliminar por duplicación.

Elipse en rojo, con sus dos ramas cisoidales en negro y azul (origen) ${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}}$

Por ejemplo, sean C ₁ y C ₂ ambas la elipse

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}.}$

La primera rama de la cisoide está dada por

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}-{\frac {1}{2-\cos \theta }}=0,}$

que es simplemente el origen. La elipse también está dada por

${\displaystyle r={\frac {-1}{2+\cos \theta }},}$

Por lo tanto, una segunda rama de la cisoide está dada por

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}+{\frac {1}{2+\cos \theta }}}$

que es una curva de forma ovalada.

Si cada C ₁ y C ₂ están dados por las ecuaciones paramétricas

${\displaystyle x=f_{1}(p),\ y=px}$

y

${\displaystyle x=f_{2}(p),\ y=px,}$

entonces la cisoide relativa al origen está dada por

${\displaystyle x=f_{2}(p)-f_{1}(p),\ y=px.}$

Casos específicos

Cuando C ₁ es un círculo con centro O entonces la cisoide es concoide de C ₂ .

Cuando C ₁ y C ₂ son líneas paralelas, entonces la cisoide es una tercera línea paralela a las líneas dadas.

Hipérbolas

Sean C ₁ y C ₂ dos rectas no paralelas y sea O el origen. Sean las ecuaciones polares de C ₁ y C ₂

${\displaystyle r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}}$

y

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}.}$

Mediante la rotación a través del ángulo podemos suponer que Entonces la cisoide de C ₁ y C ₂ relativa al origen está dada por ${\displaystyle {\tfrac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}},}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )}}-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )}}\\&={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\theta -\alpha )}}\\&={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}$

Combinando constantes se obtiene

${\displaystyle r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

que en coordenadas cartesianas es

${\displaystyle x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy.}$

Esta es una hipérbola que pasa por el origen. Por lo tanto, la cisoide de dos líneas no paralelas es una hipérbola que contiene el polo. Una derivación similar muestra que, a la inversa, cualquier hipérbola es la cisoide de dos líneas no paralelas con respecto a cualquier punto de ella.

Cisoides de Zahradnik

Una cisoide de Zahradnik (denominada así por Karel Zahradnik ) se define como la cisoide de una sección cónica y una línea relativa a cualquier punto de la cónica. Se trata de una amplia familia de curvas cúbicas racionales que contiene varios ejemplos bien conocidos. En concreto:

• La Trisectriz de Maclaurin dada por

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$

es la cisoide del círculo y la recta relativa al origen. ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {a}{2}}}$

• El estrofoide derecho

${\displaystyle y^{2}(a+x)=x^{2}(a-x)}$

es la cisoide del círculo y la recta relativa al origen. ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle x=-a}$

Animación que visualiza la Cisoide de Diocles

• La cisoide de Diocles

${\displaystyle x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0}$

es la cisoide del círculo y la línea relativa al origen. Esta es, de hecho, la curva que da nombre a la familia y algunos autores se refieren a ella simplemente como cisoide. ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle x=-2a}$

• La cisoide del círculo y la línea donde k es un parámetro, se llama concoide de De Sluze . (Estas curvas no son en realidad concoides). Esta familia incluye los ejemplos anteriores. ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle x=ka,}$
• El folio de Descartes

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$

es la cisoide de la elipse y la recta relativa al origen. Para ver esto, observe que la recta se puede escribir ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)}$ ${\displaystyle x+y=-a}$

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}},\ y=px}$

y la elipse se puede escribir

${\displaystyle x=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=px.}$

Entonces la cisoide está dada por

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{1+p^{3}}},\ y=px}$

que es una forma paramétrica del folio.

Véase también

• Concoide
• Estrofoide

Referencias

• J. Dennis Lawrence (1972). Catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. Págs. 53-56. ISBN. 0-486-60288-5.
• CA Nelson "Nota sobre cúbicas racionales planas" Bull. Amer. Math. Soc. Volumen 32, Número 1 (1926), 71-76.

Enlaces externos

• "Cissoide", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Cisoide". MundoMatemático .
• Curvas 2D