En física y matemáticas , los armónicos sólidos son soluciones de la ecuación de Laplace en coordenadas polares esféricas , que se supone que son funciones (suaves) . Hay dos tipos: los armónicos sólidos regulares , que están bien definidos en el origen y los armónicos sólidos irregulares , que son singulares en el origen. Ambos conjuntos de funciones juegan un papel importante en la teoría del potencial y se obtienen reescalando apropiadamente los armónicos esféricos :
Derivación, relación con armónicos esféricos.
Introduciendo r , θ y φ para las coordenadas polares esféricas del r de 3 vectores , y asumiendo que es una función (suave) , podemos escribir la ecuación de Laplace de la siguiente forma
donde l 2 es el cuadrado del momento angular adimensional operador ,
Se sabe que los armónicos esféricos Ymetroℓ
son funciones propias de l 2 :
Sustitución de Φ( r ) = F ( r ) Ymetroℓ
en la ecuación de Laplace se obtiene, después de dividir la función armónica esférica, la siguiente ecuación radial y su solución general,
Las soluciones particulares de la ecuación total de Laplace son armónicos sólidos regulares :
y armónicos sólidos irregulares :
Los armónicos sólidos regulares corresponden a polinomios armónicos homogéneos , es decir, polinomios homogéneos que son soluciones de la ecuación de Laplace .
La normalización de Racah
La normalización de Racah (también conocida como seminormalización de Schmidt) se aplica a ambas funciones
(y de manera análoga al armónico sólido irregular) en lugar de la normalización a la unidad. Esto es conveniente porque en muchas aplicaciones el factor de normalización de Racah aparece sin cambios en todas las derivaciones.
Teoremas de suma
La traslación del armónico sólido regular da una expansión finita,
donde el coeficiente de Clebsch-Gordan viene dado por
La expansión similar para armónicos sólidos irregulares da una serie infinita,
con . La cantidad entre paréntesis puntiagudos es nuevamente un coeficiente de Clebsch-Gordan ,
Los teoremas de la suma fueron demostrados de diferentes maneras por varios autores. [1] [2]
forma compleja
Los armónicos sólidos regulares son soluciones polinómicas homogéneas de la ecuación de Laplace . Separando lo indeterminado y escribiendo , se ve fácilmente que la ecuación de Laplace es equivalente a la fórmula de recursión,
de modo que cualquier elección de polinomios de grado y de grado da una solución a la ecuación. Una base particular del espacio de polinomios homogéneos (en dos variables) de grado es . Tenga en cuenta que es la base (única hasta la normalización) de los vectores propios del grupo de rotación : la rotación del plano por actúa como una multiplicación por sobre el vector base .
Si combinamos la base de grados y la base de grados con la fórmula de recursividad, obtenemos una base del espacio de polinomios armónicos y homogéneos (esta vez en tres variables) de grado que consta de vectores propios para (tenga en cuenta que la fórmula de recursión es compatible con la -acción porque el operador de Laplace es rotacionalmente invariante). Estos son los armónicos sólidos complejos:
y en general
para .
Al conectar coordenadas esféricas , y usar se encuentra la relación habitual con los armónicos esféricos con un polinomio , que es (hasta la normalización) el polinomio de Legendre asociado , y así (nuevamente, hasta la elección específica de normalización).
forma real
Mediante una simple combinación lineal de armónicos sólidos de ± m estas funciones se transforman en funciones reales, es decir, funciones . Los armónicos sólidos regulares reales, expresados en coordenadas cartesianas, son polinomios homogéneos de orden en x , y , z con valores reales . La forma explícita de estos polinomios es de cierta importancia. Aparecen, por ejemplo, en forma de orbitales atómicos esféricos y momentos multipolares reales . Ahora se derivará la expresión cartesiana explícita de los armónicos regulares reales.
Combinación lineal
Escribimos de acuerdo con la definición anterior
con
dónde es un polinomio de Legendre de orden ℓ . La fase dependiente de m se conoce como fase de Condon-Shortley .
La siguiente expresión define los armónicos sólidos regulares reales:
y para m = 0 :
Dado que la transformación es mediante una matriz unitaria, la normalización de los armónicos sólidos reales y complejos es la misma.
z-parte dependiente
Al escribir u = cos θ, la m -ésima derivada del polinomio de Legendre se puede escribir como la siguiente expansión en u
con
Dado que z = r cos θ se deduce que esta derivada, multiplicada por una potencia apropiada de r , es un polinomio simple en z ,
(X,y)-parte dependiente
Consideremos a continuación, recordando que x = r sin θ cos φ y y = r sin θ sin φ ,
Asimismo
más adelante
y
En total
Lista de funciones más bajas
Enumeramos explícitamente las funciones más bajas hasta ℓ = 5 inclusive . Aquí
Las funciones más bajas y son:
Referencias
- ^ RJA Tough y AJ Stone, J. Phys. R: Matemáticas. General vol. 10 , pág. 1261 (1977)
- ^ MJ Caola, J. Phys. R: Matemáticas. General vol. 11 , pág. L23 (1978)
- Steinborn, EO; Ruedenberg, K. (1973). "Rotación y traslación de armónicos esféricos sólidos regulares e irregulares". En Lowdin, Per-Olov (ed.). Avances en química cuántica . vol. 7. Prensa Académica. págs. 1–82. ISBN 9780080582320.
- Thompson, William J. (2004). Momento angular: una guía ilustrada sobre simetrías de rotación para sistemas físicos . Weinheim: Wiley-VCH. págs. 143-148. ISBN 9783527617838.