Estado del producto matricial

Estado cuántico de múltiples partículas representadas como matrices complejas

Notación gráfica de Penrose (notación de diagrama tensorial) de un estado de producto matricial de cinco partículas.

En mecánica cuántica , un estado de producto matricial ( MPS ) es un estado cuántico de muchas partículas (en N sitios), escrito en la siguiente forma:

$${\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} \left[A_{1}^{(s_{1})}A_{2}^{(s_{2})}\cdots A_{N}^{(s_{N})}\right]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle ,}$$

donde son matrices cuadradas complejas de orden (esta dimensión se llama dimensión local). Los índices recorren los estados en la base computacional. Para los qubits , es . Para los qudits ( sistemas de nivel d ), es . ${\displaystyle A_{i}^{(s_{i})}}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}\in \{0,1\}}$ ${\displaystyle s_{i}\in \{0,1,\ldots ,d-1\}}$

Es particularmente útil para tratar con estados fundamentales de modelos de espín cuántico unidimensionales (por ejemplo, el modelo de Heisenberg (cuántico) ). El parámetro está relacionado con el entrelazamiento entre partículas. En particular, si el estado es un estado de producto (es decir, no está entrelazado en absoluto), se puede describir como un estado de producto matricial con . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi =1}$

Para los estados que son traslacionalmente simétricos, podemos elegir: $${\displaystyle A_{1}^{(s)}=A_{2}^{(s)}=\cdots =A_{N}^{(s)}\equiv A^{(s)}.}$$

En general, cada estado puede escribirse en forma MPS (con crecimiento exponencial con el número de partículas N ). Sin embargo, las MPS son prácticas cuando es pequeño; por ejemplo, no depende del número de partículas. Excepto en un pequeño número de casos específicos (algunos mencionados en la sección Ejemplos), tal cosa no es posible, aunque en muchos casos sirve como una buena aproximación. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$

La descomposición MPS no es única. Para las introducciones, véase ^[1] y ^[2] . En el contexto de los autómatas finitos, véase ^[3] . Para el énfasis puesto en el razonamiento gráfico de las redes tensoriales, véase la introducción. ^[4]

Obtención de MPS

Un método para obtener una representación MPS de un estado cuántico es utilizar la descomposición de Schmidt N − 1 veces. Alternativamente, si se conoce el circuito cuántico que prepara el estado de muchos cuerpos, se podría intentar primero obtener una representación del circuito mediante un operador de producto matricial. Los tensores locales en el operador de producto matricial serán cuatro tensores de índice. El tensor MPS local se obtiene contrayendo un índice físico del tensor MPO local con el estado que se inyecta en el circuito cuántico en ese sitio.

Ejemplos

Estado de Greenberger–Horne–Zeilinger

Estado de Greenberger–Horne–Zeilinger , que para N partículas puede escribirse como superposición de N ceros y N unos

${\displaystyle |\mathrm {GHZ} \rangle ={\frac {|0\rangle ^{\otimes N}+|1\rangle ^{\otimes N}}{\sqrt {2}}}}$

se puede expresar como un Estado del Producto Matriz, hasta la normalización, con

${\displaystyle A^{(0)}={\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad A^{(1)}={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}},}$

o equivalentemente, utilizando la notación de: ^[3]

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\0&|1\rangle \end{bmatrix}}.}$

Esta notación utiliza matrices con entradas que son vectores de estado (en lugar de números complejos) y, al multiplicar matrices, se utiliza el producto tensorial para sus entradas (en lugar del producto de dos números complejos). Dicha matriz se construye como

${\displaystyle A\equiv |0\rangle A^{(0)}+|1\rangle A^{(1)}+\ldots +|d-1\rangle A^{(d-1)}.}$

Téngase en cuenta que el producto tensorial no es conmutativo .

En este ejemplo particular, un producto de dos matrices A es:

${\displaystyle AA={\begin{bmatrix}|00\rangle &0\\0&|11\rangle \end{bmatrix}}.}$

Estado W

Estado W , es decir, la superposición de todos los estados de la base computacional del peso de Hamming uno.

${\displaystyle |\mathrm {W} \rangle ={\frac {1}{\sqrt {3}}}(|001\rangle +|010\rangle +|100\rangle )}$

Aunque el estado es simétrico a la permutación, su representación MPS más simple no lo es. ^[1] Por ejemplo:

${\displaystyle A_{1}={\begin{bmatrix}|0\rangle &0\\|0\rangle &|1\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{2}={\begin{bmatrix}|0\rangle &|1\rangle \\0&|0\rangle \end{bmatrix}}\quad A_{3}={\begin{bmatrix}|1\rangle &0\\0&|0\rangle \end{bmatrix}}.}$

Modelo AKLT

La función de onda del estado fundamental AKLT, que es el ejemplo histórico del enfoque MPS, ^[5] corresponde a la elección ^[6]

${\displaystyle A^{+}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}={\begin{bmatrix}0&{\sqrt {2/3}}\\0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{0}={\frac {-1}{\sqrt {3}}}\ \sigma ^{z}={\begin{bmatrix}-1/{\sqrt {3}}&0\\0&1/{\sqrt {3}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\frac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}={\begin{bmatrix}0&0\\-{\sqrt {2/3}}&0\end{bmatrix}}}$

donde son matrices de Pauli , o ${\displaystyle \sigma {\text{'s}}}$

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}-|0\rangle &{\sqrt {2}}|+\rangle \\-{\sqrt {2}}|-\rangle &|0\rangle \end{bmatrix}}.}$

Modelo Majumdar-Ghosh

El estado fundamental de Majumdar-Ghosh se puede escribir como MPS con

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&\left|\uparrow \right\rangle &\left|\downarrow \right\rangle \\{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\left|\downarrow \right\rangle &0&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left|\uparrow \right\rangle &0&0\end{bmatrix}}.}$

Véase también

• Grupo de renormalización de la matriz de densidad
• Método variacional (mecánica cuántica)
• Renormalización
• Cadena de Markov
• Red tensorial

Referencias

1. Perez-Garcia, D.; Verstraete, F.; Wolf, MM (2008). "Representaciones de estados de productos matriciales". Quantum Inf. Comput . 7 : 401. arXiv : quant-ph/0608197 .
2. Verstraete, F.; Murg, V.; Cirac, JI (2008). "Estados de producto de matriz, estados de pares entrelazados proyectados y métodos de grupos de renormalización variacional para sistemas de espín cuántico". Avances en Física . 57 (2): 143–224. arXiv : 0907.2796 . Bibcode :2008AdPhy..57..143V. doi :10.1080/14789940801912366. S2CID  17208624.
3. Crosswhite, Gregory; Bacon, Dave (2008). "Autómatas finitos para almacenamiento en caché en algoritmos de producto de matriz". Physical Review A . 78 (1): 012356. arXiv : 0708.1221 . Código Bibliográfico :2008PhRvA..78a2356C. doi :10.1103/PhysRevA.78.012356. S2CID  4879564.
4. Biamonte, Jacob; Bergholm, Ville (2017). "Redes tensoriales en pocas palabras". arXiv : 1708.00006 [quant-ph].
5. Affleck, Ian; Kennedy, Tom; Lieb, Elliott H.; Tasaki, Hal (1987). "Resultados rigurosos sobre estados fundamentales de enlace de valencia en antiferromagnéticos". Physical Review Letters . 59 (7): 799–802. Bibcode :1987PhRvL..59..799A. doi :10.1103/PhysRevLett.59.799. PMID  10035874.
6. Schollwöck, Ulrich (2011). "El grupo de renormalización de la matriz de densidad en la era de los estados de producto de la matriz". Anales de Física . 326 (1): 96–192. arXiv : 1008.3477 . Código Bibliográfico :2011AnPhy.326...96S. doi :10.1016/j.aop.2010.09.012. S2CID  118735367.

Enlaces externos

• Artículo de revisión de código abierto centrado en algoritmos, aplicaciones y software de redes tensoriales
• Estado de los productos matriciales – Physics Stack Exchange
• Introducción práctica a las redes tensoriales: estados de producto matricial y estados de pares entrelazados proyectados
• Movimientos de manos y danza interpretativa: un curso introductorio sobre redes tensoriales
• Redes tensoriales en pocas palabras: una introducción a las redes tensoriales