Espejo de Jade de las Cuatro Incógnitas

1303 monografía matemática de Zhu Shijie

Ilustraciones en Espejo de jade de las cuatro incógnitas

Triángulo de Jia Xian

Espejo de jade de los cuatro orígenes , ^[1] Siyuan yujian (四元玉鉴), también conocido como Espejo de jade de los cuatro orígenes , ^[2] es una monografía matemática de 1303 del matemático de la dinastía Yuan Zhu Shijie . ^[3] Zhu avanzó el álgebra china con esta obra maestra .

El libro consta de una introducción y tres libros, con un total de 288 problemas. Los primeros cuatro problemas de la introducción ilustran su método de las cuatro incógnitas. Mostró cómo convertir un problema planteado verbalmente en un sistema de ecuaciones polinomiales (hasta el orden 14), usando hasta cuatro incógnitas: 天 Cielo, 地 Tierra, 人 Hombre, 物 Materia, y luego cómo reducir el sistema a una única ecuación polinómica en una incógnita mediante eliminación sucesiva de incógnitas. Luego resolvió la ecuación de alto orden mediante el método "Ling long kai fang" del matemático de la dinastía Song del Sur Qin Jiushao publicado en Shùshū Jiǔzhāng (" Tratado matemático en nueve secciones ") en 1247 (más de 570 años antes que el matemático inglés William Horner ). Método s que utiliza división sintética). Para ello, utiliza el triángulo de Pascal , al que denomina diagrama de un método antiguo descubierto por primera vez por Jia Xian antes de 1050.

Zhu también resolvió problemas de raíces cuadradas y cúbicas resolviendo ecuaciones cuadráticas y cúbicas, y contribuyó a la comprensión de series y progresiones, clasificándolas según los coeficientes del triángulo de Pascal. También mostró cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales reduciendo la matriz de sus coeficientes a forma diagonal . Sus métodos son muchos siglos anteriores a Blaise Pascal , William Horner y los métodos matriciales modernos. El prefacio del libro describe cómo Zhu viajó por China durante 20 años como profesor de matemáticas.

Jade Mirror of the Four Unknowns consta de cuatro libros, con 24 clases y 288 problemas, en los cuales 232 problemas tratan de Tian yuan shu , 36 problemas tratan de variables de dos variables, 13 problemas de tres variables y 7 problemas de cuatro variables.

Introducción

El cuadrado de la suma de las cuatro cantidades de un triángulo rectángulo

Las cuatro cantidades son x , y , z , w y se pueden presentar con el siguiente diagrama

X

y太w

z

cuyo cuadrado es:

a:"go" base b "gu" vertical c "Xian" hipoteno

Las nebulosas unitarias

Esta sección trata sobre Tian yuan shu o problemas de alguien desconocido.

Pregunta: Dado que el producto de huangfan y zhi ji es igual a 24 pasos, y la suma de la vertical y la hipotenusa es igual a 9 pasos, ¿cuál es el valor de la base?

Respuesta: 3 pasos

Establezca tian unitario como base (es decir, deje que la base sea la cantidad desconocida x )

Dado que el producto de huangfang y zhi ji = 24

en el cual

huangfan se define como: ^[4] ${\displaystyle (a+b-c)}$

zhi ji : ${\displaystyle ab}$

por lo tanto ${\displaystyle (a+b-c)ab=24}$

Además, la suma de la vertical y la hipotenusa es

${\displaystyle b+c=9}$

Establezca el tian unitario desconocido como vertical

${\displaystyle x=a}$

Obtenemos la siguiente ecuación

( ) ${\displaystyle x^{5}-9x^{4}-81x^{3}+729x^{2}=3888}$

太

Resuélvelo y obtén x=3

El misterio de las dos naturalezas

太 unitario

ecuación: ; ${\displaystyle -2y^{2}-xy^{2}+2xy+2x^{2}y+x^{3}=0}$

de lo dado

太

ecuación: ; ${\displaystyle 2y^{2}-xy^{2}+2xy+x^{3}=0}$

obtenemos:

太

${\displaystyle 8x+4x^{2}=0}$

y

太

${\displaystyle 2x^{2}+x^{3}=0}$

por método de eliminación obtenemos una ecuación cuadrática

${\displaystyle x^{2}-2x-8=0}$

solución: . ${\displaystyle x=4}$

La evolución de tres talentos

Plantilla para la solución del problema de tres incógnitas.

Zhu Shijie explicó en detalle el método de eliminación. Su ejemplo ha sido citado frecuentemente en la literatura científica. ^{[5] [6] [7]}

Establezca tres ecuaciones de la siguiente manera

太

${\displaystyle -y-z-y^{2}x-x+xyz=0}$.... I

${\displaystyle -y-z+x-x^{2}+xz=0}$.....II

太

${\displaystyle y^{2}-z^{2}+x^{2}=0;}$....III

Eliminación de incógnitas entre II y III.

por manipulación del intercambio de variables

Obtenemos

太

${\displaystyle -x-2x^{2}+y+y^{2}+xy-xy^{2}+x^{2}y}$...IV

y

太

${\displaystyle -2x-2x^{2}+2y-2y^{2}+y^{3}+4xy-2xy^{2}+xy^{2}}$.... V.

Eliminando la incógnita entre IV y V obtenemos una ecuación de 3er orden

${\displaystyle x^{4}-6x^{3}+4x^{2}+6x-5=0}$

Resuelva esta ecuación de tercer orden para obtener ; ${\displaystyle x=5}$

Vuelve a cambiar las variables

Obtenemos la hipotenus =5 pasos

Simultáneo de los Cuatro Elementos

Esta sección trata de ecuaciones simultáneas de cuatro incógnitas.

Ecuaciones de cuatro elementos

${\displaystyle {\begin{cases}-2y+x+z=0\\-y^{2}x+4y+2x-x^{2}+4z+xz=0\\x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\\2y-w+2x=0\end{cases}}}$

Eliminación sucesiva de incógnitas para obtener

${\displaystyle 4x^{2}-7x-686=0}$

Resuelve esto y obtén 14 pasos.

Libro I

Problemas de triángulos y rectángulos de ángulo recto

Hay 18 problemas en esta sección.

Problema 18

Obtenga una ecuación polinómica de décimo orden:

${\displaystyle 16x^{10}-64x^{9}+160x^{8}-384x^{7}+512x^{6}-544x^{5}+456x^{4}+126x^{3}+3x^{2}-4x-177162=0}$

cuya raíz es x = 3, multiplicamos por 4 y obtenemos 12. Esa es la respuesta final.

Problemas de figuras planas

Hay 18 problemas en esta sección.

Problemas de productos por pieza

Hay 9 problemas en esta sección.

Problemas en el almacenamiento de granos

Hay 6 problemas en esta sección.

Problemas laborales

Hay 7 problemas en esta sección.

Problemas de ecuaciones para raíces fraccionarias

Hay 13 problemas en esta sección.

Libro II

Problemas mixtos

Contención de círculos y cuadrados

Problemas en las áreas

Levantamiento con triángulos de ángulo recto

Hay ocho problemas en esta sección.

Problema 1

Pregunta: Hay una ciudad rectangular de dimensión desconocida que tiene una puerta a cada lado. Hay una pagoda situada a 240 pasos de la puerta sur. Un hombre que camina 180 pasos desde la puerta oeste puede ver la pagoda, luego camina hacia la esquina sureste durante 240 pasos y llega a la pagoda; ¿Cuál es el largo y el ancho del pueblo rectangular? Respuesta: 120 pasos de largo y un li de ancho.

Sea tian yuan unitario como la mitad de la longitud, obtenemos una ecuación de cuarto orden

${\displaystyle x^{4}+480x^{3}-270000x^{2}[phone]x+1866240000=0}$^[8]

resuélvalo y obtenga x =240 pasos, por lo tanto longitud =2x= 480 pasos=1 li y 120 pasos.

Similitud, sea tian yuan unitario (x) igual a la mitad del ancho

obtenemos la ecuación:

${\displaystyle x^{4}+360x^{3}-270000x^{2}[phone]x+1866240000=0}$^[9]

Resuélvalo para obtener x = 180 pasos, longitud = 360 pasos = un li.

Problema 7

Idéntico a La profundidad de un barranco (usando en adelante barras transversales) en Haidao Suanjing .

Problema 8

Idéntico a La profundidad de una piscina transparente en Haidao Suanjing .

Pilas de heno

Paquetes de flechas

Medición del terreno

Convocar hombres según sea necesario

El problema número 5 es la fórmula de interpolación de cuarto orden más antigua del mundo

hombres convocados : ^[10] ${\displaystyle na+{\tfrac {1}{2!}}n(n-1)b+{\tfrac {1}{3!}}n(n-1)(n-2)c+{\tfrac {1}{4!}}n(n-1)(n-2)(n-3)d}$

En el cual

• a = diferencia de primer orden
• b = diferencia de segundo orden
• c = diferencia de tercer orden
• d = diferencia de cuarto orden

Libro III

pila de frutas

Esta sección contiene 20 problemas relacionados con pilotes triangulares, pilotes rectangulares

Problema 1

Encuentra la suma de una pila triangular.

${\displaystyle 1+3+6+10+...+{\frac {1}{2}}n(n+1)}$

y el valor de la pila de frutas es:

${\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+\cdots +{\frac {1}{2}}n(n+1)^{2}}$

Zhu Shijie usa Tian yuan shu para resolver este problema dejando x=n

y obtuvo el formulario

${\displaystyle v={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}(3x+5)x(x+1)(x+2)}$

De la condición dada , por lo tanto ${\displaystyle v=1320}$

${\displaystyle 3x^{4}+14x^{3}+21x^{2}+10x-31680=0}$^[11]

Resuélvelo para obtener . ${\displaystyle x=n=9}$

Por lo tanto,

${\displaystyle v=2+9+24+50+90+147+224+324+450=1320}$。

Figuras dentro de la figura

Ecuaciones simultáneas

Ecuación de dos incógnitas

Izquierda y derecha

Ecuación de tres incógnitas

Ecuación de cuatro incógnitas

Seis problemas de cuatro incógnitas.

Pregunta 2

Obtenga un conjunto de ecuaciones con cuatro incógnitas: . ^[12]

${\displaystyle {\begin{cases}-3y^{2}+8y-8x+8z=0\\4y^{2}-8xy+3x^{2}-8yz+6xz+3z^{2}=0\\y^{2}+x^{2}-z^{2}=0\\2y+4x+2z-w=0\end{cases}}}$

Referencias

1. Hoe, John (1978) El espejo de jade de las cuatro incógnitas: algunas reflexiones. Matemáticas. Crónica 7, pág. 125-156.
2. Hart, Roger (2013). Civilizaciones imaginadas China, Occidente y su primer encuentro. Baltimore, MD: Universidad Johns Hopkins Pr. pag. 82.ISBN​ 978-1421406060.
3. Elman, Benjamín A. (2005). En sus propios términos, la ciencia en China, 1550-1900. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. pag. 252.ISBN​ 0674036476.
4. Zhu Sijie Siyuan yujian Science Press p. 148 2007 ISBN 978-7-03-020112-6 
5. Wu Wenjun Mecanización de las matemáticas (吴文俊 数学机械化 《朱世杰的一个例子》) págs. 18-19 Science Press ISBN 7-03-010764-0 
6. Zhu Shijie Siyuan yujian , anotado por Li Zhaohua (朱世杰原著 李兆华校正 《四元玉鉴》) p. 149-153 Prensa científica, 2007 ISBN 978-7-03-020112-6 
7. J. Hoe Les Systèmes d'Equations Polynômes dans le Siyuan Yujian (1303), París: Institut des Hautes Etudes Chinoises, 1977
8. 万有文库第二集 朱世杰撰 罗士琳草 （中） 卷下之五 四一0-四一一。
9. 万有文库第二集 朱世杰撰 罗士琳草 （中） 卷下之五 四一一页。
10. 孔国平 440-441。
11. Zhu Shijie Siyuan yujian, con los procedimientos de Luo Shilin. (万有文库第二集 朱世杰撰 罗士琳草 （中） 卷下之一 六四六-六四八)
12. Zhu Shijie, Siyuan yujian, anotado por Li Zhaohua, Science Press pp246-249 2007 ISBN 978-7-03-020112-6 

Fuentes

• Espejo de jade de las cuatro incógnitas, tr. al inglés por el profesor Chen Zhaixin, ex jefe del departamento de matemáticas de la Universidad de Yenching (en 1925), traducido al chino moderno por Guo Shuchun, volúmenes I y II, Biblioteca de clásicos chinos, chino-inglés, Liaoning Education Press 2006 ISBN 7-5382 -6923-1 https://www.scribd.com/document/357204551/Siyuan-yujian-2, https://www.scribd.com/document/357204728/Siyuan-yujian-1 
• Obras completas de historia de las ciencias de Li Yan y Qian Baocong, volumen 1 《李俨钱宝琮科学史全集》 第一卷 钱宝琮 《中国算学史 上编》
• Zhu Shijie Siyuan yujian Libro 1–4, anotado por el matemático de la dinastía Qin Luo Shilin, Commercial Press
• J. Hoe, Les systèmes d'équations polynômes dans le Siyuan yujian (1303), Institut des Hautes Études Chinoises, París, 1977
• J. Hoe, Un estudio del manual del siglo XIV sobre ecuaciones polinómicas "El espejo de jade de las cuatro incógnitas" de Zhu Shijie, Mingming Bookroom, PO Box 29-316, Christchurch, Nueva Zelanda, 2007