Espectro de chirrido

El espectro de un pulso chirrido describe sus características en términos de sus componentes de frecuencia. Esta representación en el dominio de la frecuencia es una alternativa a la forma de onda más familiar en el dominio del tiempo, y las dos versiones están relacionadas matemáticamente mediante la transformada de Fourier . El espectro es de particular interés cuando los pulsos están sujetos a procesamiento de señales . Por ejemplo, cuando su filtro adaptado comprime un pulso de chirrido , la forma de onda resultante contiene no solo un pulso estrecho principal sino también una variedad de artefactos no deseados, muchos de los cuales son directamente atribuibles a características espectrales del chirrido.

Una forma sencilla de derivar el espectro de un chirrido usando una computadora es muestrear la forma de onda en el dominio del tiempo a una frecuencia muy por encima del límite de Nyquist y usar un algoritmo FFT para obtener el resultado deseado. Como este enfoque no era una opción para los primeros diseñadores, recurrieron al análisis analítico o a métodos gráficos o de aproximación. Sin embargo, estos primeros métodos siguen siendo útiles, ya que brindan información adicional sobre el comportamiento y las propiedades de los chirridos.

Pulso de chirrido

Una expresión general para una forma de onda oscilatoria, centrada en la frecuencia $ω 0$ es

$s(t)=a(t)\cdot \exp[j(\omega _{0}\cdot t+\theta (t))]$

donde y $θ$ (t) dan las variaciones de amplitud y fase de la forma de onda con el tiempo. El espectro de frecuencia de esta forma de onda se obtiene calculando la transformada de Fourier de , es decir $a(t)$ $s$
$s(t)$

$S(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot \exp(-j\omega t)\cdot dt=\int _{-\infty }^{\infty }a(t)\cdot \exp[j(\omega _{0}t+\theta (t))]\cdot \exp(-j\omega t)\cdot dt$
entonces
$S(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }a(t)\cdot \exp[j\left\{(\omega _{0}-\omega )\cdot t+\theta (t)\right\}]\cdot dt$

En algunos casos especiales, la integral se puede resolver para dar una expresión analítica , pero a menudo las características de y $θ$ (t) son tales que la integral sólo puede evaluarse mediante un algoritmo de aproximación o mediante integración numérica . $a(t)$

chirrido lineal

En el caso especial en el que s(t) está obligado a ser un pulso ascendente y de cima plana con su frecuencia instantánea variando como una función lineal del tiempo, entonces es posible una solución analítica.

Por conveniencia, se considera que el pulso tiene una amplitud unitaria y una duración T, con la amplitud y la fase definidas en el intervalo de tiempo -T/2 a +T/2. El barrido de frecuencia total es $Δ$ F, variando de forma lineal desde - $Δ$ F/2 a + $Δ$ F/2 en el intervalo de tiempo definido.

Cuando la frecuencia es una función lineal del tiempo, la fase es una función cuadrática y s(t) se puede escribir

s(t)=1\cdot \exp[j(\Delta \Omega \cdot t+{\frac {\Delta \Omega }{2T}}\cdot t^{2})]\qquad {\text{where}}\quad \Delta \Omega =2\pi \cdot \Delta F\qquad {\text{and}}\quad {\frac {-T}{2}}<t<{\frac {T}{2}}

El espectro de esta señal de FM lineal es

S(\omega )=\int _{-T/2}^{T/2}\exp \left[j(\Delta \Omega \cdot t+{\frac {\Delta \Omega }{2T}}\cdot t^{2})\right]\cdot \exp(-j\omega \cdot t)\cdot dt=\int _{-T/2}^{T/2}\exp \left[j\left\{(\Delta \Omega -\omega )\cdot t+{\frac {\Delta \Omega }{2T}}\cdot t^{2}\right\}\right]\cdot dt

Completando el cuadrado y usando las integrales de Fresnel C(X) y S(X), ^[1]^{: 35}^[2]^{: 300} definido por

C(X)=\int _{0}^{X}\cos {\frac {\pi \cdot y^{2}}{2}}\cdot dy\qquad {\text{and}}\qquad S(X)=\int _{0}^{X}\sin {\frac {\pi \cdot y^{2}}{2}}\cdot dy

la expresión se puede evaluar ^[3]^[4]^[5]^[6]^{: 138}^[7] para dar:

S(\omega )={\sqrt {\left({\frac {\pi \cdot T}{\Delta \Omega }}\right)}}\cdot \exp \left[-j\left((\omega -\Delta \Omega )^{2}\cdot {\frac {T}{2\cdot \Delta \Omega }}\right)\right]\cdot [C(X_{1})+j\cdot S(X_{1})+C(X_{2})+j\cdot S(X_{2})]

donde y están dados por $X_{1}$ $X_{2}$

\quad X_{1}={\frac {{\frac {\Delta \Omega }{2}}+(\omega -\Delta \Omega )}{\sqrt {\frac {\pi \cdot \Delta \Omega }{T}}}}\quad {\text{and}}\quad X_{2}={\frac {{\frac {\Delta \Omega }{2}}+(\Delta \Omega -\omega )}{\sqrt {\frac {\pi \cdot \Delta \Omega }{T}}}}

Se puede considerar que el espectro de FM lineal tiene tres componentes principales, a saber

un término de amplitud, $|S(\omega )|={\sqrt {\frac {\pi \cdot T}{\Delta \Omega }}}\cdot \left[\left(C(X_{1})+C(X_{2})\right)^{2}+\left(S(X_{1})+S(X_{2})\right)^{2}\right]^{\frac {1}{2}}$
un término de la fase de la ley cuadrada, $\quad -\Phi _{1}(\omega )=(\omega -\Delta \Omega )^{2}\cdot {\frac {T}{2\cdot \Delta \Omega }}$
y un plazo de fase residual $\quad \Phi _{2}(\omega )=\arctan \left[{\frac {S(X_{1})+S(X_{2})}{C(X_{1})+C(X_{2})}}\right]$

La relación es aproximadamente la unidad en una gran parte del rango de frecuencia de interés, por lo que $Φ$ $2$ se aproxima a un ángulo de fase constante $π$ /4 allí. Si se introduce un término de escala de frecuencia n, donde , entonces las expresiones para los argumentos de Fresnel se convierten en $\left[{\frac {S(X_{1})+S(X_{2})}{C(X_{1})+C(X_{2})}}\right]$ $n=2\cdot {\frac {(\omega -\omega _{0})}{\Delta \Omega }}$

X_{1}={\frac {\sqrt {T\cdot \Delta F}}{\sqrt {2}}}\cdot (1+n)

X_{2}={\frac {\sqrt {T\cdot \Delta F}}{\sqrt {2}}}\cdot (1-n)

Los espectros ahora son funciones del producto T. $Δ$ F, independientemente de cualquier valor particular de frecuencia central y ancho de banda. Este producto, T. $Δ$ F, a menudo se denomina producto tiempo-ancho de banda del chirrido.

Se han publicado tablas de las integrales de Fresnel, ^[1]^{: 32–35}^[2]^{: 321–322} junto con rutinas matemáticas con las que calcular las integrales manualmente o mediante un programa informático. Además, varios programas de software matemático, como Mathcad , MATLAB y Mathematica, tienen rutinas integradas para evaluar las integrales, ya sea como funciones estándar o en paquetes de extensión.

Algunas gráficas del espectro de potencia |S( $ω$ )| ² en función de la frecuencia, para productos tiempo-ancho de banda de 25, 100, 250 y 1000. Cuando el producto es pequeño, las ondulaciones de Fresnel son muy evidentes, pero el espectro tiende a un perfil más rectangular para tamaños más grandes. valores.

En el caso de las gráficas de fase residual, $Φ$ 2 ( $ω$ ), los perfiles tienden a ser muy similares en una amplia gama de productos tiempo-ancho de banda. A continuación se muestran dos ejemplos, para TxB = 100 y 250. Tienen un ángulo de fase cercano a un valor de $π$ /4 dentro del rango de chirrido y solo comienzan a cambiar significativamente para frecuencias más allá de este rango. $\omega _{0}\pm \Delta \Omega /2$

En consecuencia, para frecuencias dentro del rango de barrido del chirrido, es el término de fase de ley cuadrada $Φ$ 1( $ω$ ) y su función de retardo de grupo ( = -d $Φ$ 1/d( $ω$ ) ) los que son de mayor interés. A continuación se muestra un gráfico del retraso del grupo. Tanto esta función como la fase $Φ$ 1( $ω$ ) son independientes del valor del producto tiempo-ancho de banda. Como se esperaba, el retraso del grupo es una función lineal con una duración de T segundos, sobre un barrido de frecuencia de $Δ$ $Ω$ rads.

El término de fase residual añade sólo perturbaciones menores a esta característica dentro del rango de frecuencia . En frecuencias fuera de este rango, $Φ$ 2 ( $ω$ ) se desvía rápidamente de $π$ /4, por lo que la fase total se desviará seriamente de una ley del cuadrado allí. Afortunadamente, el contenido de energía del espectro de chirrido es muy pequeño en estas frecuencias (como se demuestra en una sección posterior). $\Delta \Omega \pm \Delta \Omega /2$

Chirridos no lineales

Cuando la característica Frecuencia-Tiempo no es lineal, la integral de Fourier es difícil de evaluar. En tales casos, es posible recurrir a un método de aproximación como la aproximación de fase estacionaria , o utilizar métodos numéricos.

Mediante el método de fase estacionaria

A menudo (como en las aplicaciones de radar) a(t) es una función del tiempo que varía lentamente y la fase $θ$ (t) es oscilatoria y varía rápidamente en el rango de integración. Con tales formas de onda, la aproximación de fase estacionaria se puede utilizar para investigar el espectro. ^[6]^{: 34}^[8]^[9]^[10] El método se basa en el hecho de que las principales contribuciones a la integral de Fourier provienen de la región donde la tasa de cambio de fase es mínima, es decir, cuando

${\frac {d}{dt}}[(\omega _{0}-\omega )t+\theta (t)]=0\qquad or\qquad (\omega -\omega _{0})-\theta '(t)=0$

A menos que $θ$ (t) sea una constante, el momento t _s en el que la fase es estacionaria variará según la frecuencia instantánea $ω s$ .
Expresando la diferencia entre ( $ω s$ - $ω 0$ ).t y $θ$ (t) como una serie de Taylor alrededor del tiempo t _s , pero descartando todos los términos excepto los tres primeros (de los cuales el segundo término es cero, aquí), el método de Fourier La integral se puede escribir, aproximadamente, como

$S(\omega )\approxeq a(t_{s})\int _{t_{s}-\delta }^{t_{s}+\delta }\exp \left[-j\left\{(\omega _{s}-\omega _{0})\cdot t-\theta (t_{s})-{\frac {\theta ''(t_{s})}{2}}\cdot (t-t_{s})^{2}\right\}\right]\cdot dt$

En esta ecuación, t _s representa un punto de tiempo constante, por lo que los términos que dependen únicamente de t _s pueden tomarse fuera de la integral. La expresión se simplifica a ^[6]^{: 39}^[10] entonces
$S(\omega )\approxeq {\sqrt {2\pi }}\cdot {\frac {a(t_{s})}{\sqrt {|\theta ''(t)|}}}\cdot \exp \left[j\left\{(\omega _{0}-\omega _{s})t+\theta (t_{s})+{\frac {\pi }{4}}\right\}\right]$

$|S(\omega _{t})|^{2}\approxeq 2\pi \cdot {\frac {a^{2}(t)}{|\theta ''(t)|}}$

donde $ω t$ se utiliza para indicar la dependencia de la variable de frecuencia con respecto a t.
Esta es una expresión muy útil que vincula, como lo hace, el perfil del espectro con las características de amplitud y fase del chirrido.

Para llevar a cabo el proceso inverso, es decir, encontrar la función s(t) en el dominio del tiempo dados los datos en el dominio de la frecuencia, se deriva la transformada inversa de Fourier.

$s(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|S(\omega )|\cdot \exp[j(\Phi (\omega )+\omega \cdot t)]\cdot d\omega$

donde $Φ$ (x) es la función de fase del espectro. Los puntos de fase estacionaria para este integrando están ubicados en

$\Phi '(\omega )=-t$

y la relación corolaria, equivalente a la derivada para el espectro, se puede obtener mediante el método de fase estacionaria, y es

$a^{2}(t_{\omega })\approxeq {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {|S(\omega )|^{2}}{|\Phi ''(\omega )|}}$

En efecto, el análisis de fase estacionaria proporciona las siguientes relaciones de pares de Fourier (aproximadas): ^[6]^{: 43} y
$a(t)\cdot \exp[j\theta (t)]\approxeq {\frac {1}{2\pi }}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }S(\omega )|\cdot \exp[j\{\Phi (\omega )+\omega \cdot t\}]\cdot d\omega$

$|S(\omega )|\cdot \exp[j\Phi (\omega )]\approxeq \int _{-\infty }^{\infty }a(t)\cdot \exp[-j\{\omega t-\theta (t)\}]dt$

En consecuencia, se pueden obtener expresiones aproximadas para a(t) y $θ$ (t) cuando se da el espectro, incluida su función de fase $Φ$ ( $ω ) y, de manera similar, se pueden obtener expresiones aproximadas para |S($ $ω$ | y $Φ$ ( $ω$ ) Se obtienen cuando se dan las características de la señal. En la literatura se dan varios ejemplos del procedimiento ^[6]^{: 43}^[8]^[10].

Aunque las relaciones son sólo aproximadas, su precisión mejora a medida que aumenta el producto tiempo-ancho de banda. En los casos en los que la envolvente de la señal y el módulo del espectro se definen mediante una función gaussiana que varía suavemente , entonces un producto T. $Δ$ F tan bajo como 15 dará resultados aceptables, pero si tanto a(t) como |S( $ω$ )| están definidas por funciones rectangulares, entonces el producto T. $Δ$ F debe ser mucho mayor, normalmente superior a 100. ^[6]^{: 49}

Ejemplos

Normalmente, en el caso del radar, a(t) es una constante durante la duración de la señal y, por conveniencia, se supone aquí que es la unidad. Entonces, las características de fase y amplitud, en el dominio de la frecuencia, están relacionadas por

$\Phi ''(\omega )=\pm {\frac {1}{2\pi }}\cdot |S(\omega )|^{2}$

Hay dos soluciones para $Φ$ ( $ω$ ), que son conjugados complejos entre sí. Los dos filtros con estas características se pueden utilizar como filtros transmisores y receptores de un sistema de radar y son intercambiables.
La característica de retardo de grupo D( $ω$ ), (donde D( $ω$ )=-d $Φ$ /d $ω$ ), es

$D(\omega )=-\Phi '(\omega )=-\int _{0}^{\infty }\Phi ''(\omega )\cdot d\omega +K$
entonces
$D(\omega )=\pm {\frac {1}{2\pi }}\cdot \int _{0}^{\infty }|S(\omega )|^{2}\cdot d\omega +K$

Entonces, en el caso de una envolvente de tiempo rectangular, la característica de retardo dispersivo viene dada por la integral del cuadrado de la envolvente. ^[10] Si se toma el signo positivo, entonces el retraso del grupo aumenta al aumentar la frecuencia y viceversa. El resultado es sólo aproximado, pero es más preciso para valores grandes del producto del ancho de banda de tiempo.
Considere, como ejemplo, el caso de un espectro que es uniforme en el rango - $ω max$ /2 a $ω max$ /2, entonces

$|S(\omega )|^{2}=A\qquad for\qquad |\omega |<{\frac {\omega _{max}}{2}}$
entonces
$D(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\cdot \int A\cdot d\omega +K={\frac {A}{2\pi }}\cdot \omega +K$

Ponga D(- $ω max$ /2) = 0 y D( $ω max$ /2) = T, donde T es la duración del pulso, entonces K = T/2 y A = (2 π T)/ ω _max
entonces, finalmente
$D(\omega )=T\cdot \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}\right]$

Como era de esperar, un espectro de frecuencia de cima plana corresponde a un barrido de frecuencia lineal.

El chirrido lineal es sólo un caso especial que, en cualquier caso, puede calcularse con mayor precisión mediante los métodos de la sección anterior. La utilidad particular del método de fase estacionaria radica en su capacidad para proporcionar resultados cuando el barrido de frecuencia no es lineal. En tales casos, la respuesta espectral se puede configurar para cumplir con algunos criterios de diseño deseados, por ejemplo, lóbulos laterales bajos cuando se comprime un chirrido. Una de esas familias de funciones espectrales que se ha estudiado ^[6]^{: 51} está dada por

$|S(\omega )|^{2}=A_{n}\cdot cos^{n}\left({\frac {\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\qquad where\qquad |\omega |<{\frac {\omega _{max}}{2}}\qquad and\ n\ is\ an\ integer$

Es posible encontrar las características de retardo de grupo de estas funciones de manera similar a la realizada anteriormente y se han calculado los resultados para n = 1 a 4. ^[6]^{: 51}
Aunque estas funciones cosenos son susceptibles de manipulación matemática, en la práctica rara vez se eligen para definir las características espectrales de un chirrido, porque cuando se comprimen dan pulsos principales amplios con altos niveles de lóbulos laterales. Una mejor característica (entre muchas) ^[11] es la función de Hamming, dada por

$|S(\omega )|^{2}=A\cdot \left[0.54+0.46\cdot cos\left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\right]=A\cdot \left[0.08+0.92\cdot cos^{2}\left({\frac {\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\right]$

Se muestra un gráfico de esta característica, trazado en el rango - $ω max$ /2 a $ω max$ /2.

Aplicando las ecuaciones dadas anteriormente, se puede obtener la característica de retardo de grupo que logra esta forma espectral. Es

$D_{H}(\omega )=T\cdot \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}+{\frac {1.7037}{4\pi }}\cdot sin\left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)\right]$

Ahora bien, debido a que el principio de fase estacionaria muestra que existe una relación directa entre el tiempo transcurrido y el retardo instantáneo de la señal, entonces, para la ventana de Hamming, t/T se puede relacionar con $ω$ / $ω max$ mediante

${\frac {t}{T}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}+{\frac {1.7037}{4\pi }}\cdot sin\left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)$

Esta característica que es el tiempo en función de la frecuencia se muestra aquí. Al invertir el gráfico se obtiene el gráfico de frecuencia más habitual (y más útil) en función del tiempo, que también se muestra.

Se pueden investigar otras formas espectrales de la misma manera y los resultados, aunque aproximados, son sorprendentemente precisos, especialmente cuando el producto del ancho de banda temporal del pulso es alto.

El método de fase estacionaria no predice ni aborda las ondulaciones de Fresnell, por lo que no puede ofrecer ningún medio para minimizar estas ondulaciones. Como ejemplo, la siguiente figura muestra un espectro de chirrido con T. $Δ$ F =250 obtenido para un chirrido no lineal cuyo objetivo es igualar la ventana de Hamming, utilizando los métodos descritos anteriormente. La figura muestra que el perfil espectral coincide bastante bien con la característica de Hamming, pero las ondas de Fresnell, no predichas por el método, son muy evidentes.

A través de métodos numéricos

Muestreo

Siempre que una integral de Fourier no pueda evaluarse por medios analíticos, suele ser posible una solución aproximada mediante análisis numérico . Tal procedimiento requiere que se muestree la función , generalmente en intervalos de tiempo equiespaciados.

Una consecuencia del muestreo es que el espectro resultante es periódico en el dominio de la frecuencia. Además del espectro de banda base (deseado), se producen versiones adicionales del espectro, centradas en múltiplos de la frecuencia de muestreo. Para garantizar que no haya superposición de datos de frecuencia (es decir, que no haya aliasing ), se debe cumplir el teorema de muestreo de Nyquist . En la práctica, es aconsejable una tasa de muestreo sustancialmente mayor que la dictada por el teorema de muestreo ^[12]^{: 11}

Espectro de una señal muestreada: la transformada de Fourier de una señal en tiempo discreto

Una forma sencilla de aproximar una integral, como una integral de Fourier, es utilizar la " regla del rectángulo " estándar para la integración numérica. El método supone que el valor de la señal tomado en un instante de muestra permanece constante durante un intervalo de muestreo, hasta que se toma la siguiente muestra. Este procedimiento a veces se denomina "generador de vagones" o muestra y retención de orden cero. ^[13]^{: 114}^[14]^{: 34} Si el intervalo de tiempo entre muestras es W, entonces s _n = s(nW), y la integral deseada se obtiene, aproximadamente, sumando las áreas rectangulares.

El resultado así obtenido es la convolución de un pulso rectangular con tamaño de paso W con los impulsos ubicados en los instantes de muestreo con pesos iguales a los valores de la muestra. ^[12]^{: 12} En consecuencia, al espectro de interés se le superpondrá la respuesta en frecuencia de la muestra y se mantendrá, ^[13]^{: 135}^[14]^{: 36} y el espectro de la señal muestreada Ss viene dado por: ^{[12 ]}^{: 12}

$Ss(\omega ))=W{\frac {\sin(\omega W/2)}{\omega W/2}}\cdot \left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }s_{n}\cdot \exp(-jn\omega W)\right]$

La primera parte de la expresión, es decir, la parte 'sin(x)/x', es la respuesta de frecuencia de la muestra y la retención. Su amplitud disminuye con la frecuencia y cae al 63% de su valor máximo a la mitad de la frecuencia de muestreo y es cero en múltiplos de esa frecuencia (ya que f _s = 1/W).

El segundo término de la ecuación se llama transformada de Fourier de la señal discreta s _n . ^[12]^{: 12}^[15] Es una función continua sobre todo $ω$ e implica un número infinito de sumatorias. En la práctica, el proceso de suma se puede truncar a un número finito de muestras, N, posiblemente porque la forma de onda es periódica o cero fuera del rango de muestras. Además, debido a que el mismo espectro se repite infinitamente, es posible limitar el interés a los datos espectrales dentro del rango - $ω s$ /2 a + $ω s$ /2.

Como ejemplo, un chirrido exponencial (con su frecuencia máxima muy por debajo del límite de Nyquist) se muestrea en 256 puntos, como se muestra.

Se muestra el espectro muestreado, Ss( $ω$ ) de esta forma de onda, calculado utilizando la ecuación dada anteriormente. Para simplificar el gráfico, solo se muestran los resultados en frecuencias positivas. La influencia del espectro de frecuencia del circuito de retención de orden cero se ve claramente en el diagrama.

La porción de banda base del espectro se muestra con más detalle en la siguiente figura y la respuesta muestra una pendiente distinta, siendo significativamente menor en las frecuencias más altas.

Aunque la característica de retención de orden cero tiene una pequeña influencia en este resultado, la pendiente se debe principalmente a las propiedades del chirrido. La forma de onda barre relativamente rápido las frecuencias altas y pasa más tiempo barriendo las frecuencias bajas, en consecuencia, hay menos contenido de energía en las frecuencias altas y más en las bajas. (Un chirrido lineal, por otro lado, tiene un espectro nominalmente plano porque sus frecuencias se barren a la misma velocidad, como se muestra en algunos gráficos anteriores).

Mediante la transformada discreta de Fourier

Si limitamos el interés en el espectro de salida a un número finito de puntos de datos discretos (= N), en frecuencias $ω m$ dadas por
$\omega _{m}={\frac {2\pi m}{NW}}\qquad for\qquad m=0,1,2,...N-1$

entonces la fórmula para calcular la transformada discreta de Fourier es

$Ss_{m}\quad =Ss\left(j{\frac {2\pi m}{NW}}\right)\quad =\quad \sum _{n=0}^{N-1}s_{n}\cdot exp(-j\left({\frac {2\pi mn}{N}}\right)$

Los cálculos se pueden realizar mediante un algoritmo informático sencillo, ^[12]^{: 21} , pero esto no es muy eficiente en el uso de la computadora. En consecuencia, se han desarrollado algoritmos más eficientes, especialmente las transformadas rápidas de Fourier (FFT). Los programas informáticos que implementan la FFT están ampliamente disponibles en la literatura ^[12]^{: 54}^[15]^{: 119, 412}^[16] y en programas CAD propietarios como Mathcad , MATLAB y Mathematica .
En el siguiente ejemplo, se muestrea un chirrido lineal con un producto de ancho de banda de tiempo de 25 en 128 puntos (es decir, N = 128). En la figura se muestran muestras de la parte real de la forma de onda; tenga en cuenta que se trata de muestras en el dominio del tiempo. El proceso FFT supone que la forma de onda es cíclica, por lo que estos 128 puntos de datos pueden considerarse parte de una secuencia que se repite infinitamente en el tiempo.

Chirrido lineal con TB=25 y N=128

Al calcular la FFT de N puntos de estos datos, se obtiene el espectro discreto de la secuencia. La magnitud de este espectro se muestra en la figura adjunta, donde estos puntos de datos son muestras en frecuencia. Los datos son cíclicos, por lo que, en el gráfico, el punto de frecuencia cero está en n = 0 y también en n = 128 (es decir, ambos puntos tienen la misma frecuencia). El punto n = 64 corresponde a +fs/2 (y también a -fs/2).

Espectro de chirrido lineal, TB=25, N=128

Para mostrar el espectro con más detalle (pero no necesariamente con más resolución ^[17] ), la secuencia de tiempo se puede ampliar mediante relleno con ceros. ^[15]^{: 80–85}^[18]^[19] Por ejemplo, extender la secuencia temporal de 128 puntos con ceros para dar N = 4096 resultados en esa parte del espectro presentada originalmente en 16 muestras, que ahora se presenta en 512 muestras, como mostrado.

dispersión espectral

Hay muy poco contenido espectral más allá del rango de frecuencia de barrido de un pulso chirrido y esto es especialmente cierto para formas de onda donde el producto tiempo-ancho de banda es grande. La línea completa en el gráfico de la figura adyacente muestra los resultados de chirridos lineales. Muestra, por ejemplo, que sólo alrededor del 2% de la potencia total reside en frecuencias fuera del rango de barrido $Δ$ F cuando el ancho de banda de tiempo es 100, y es menos del 1/2% cuando T. $Δ$ F es 500
. En el caso de un chirrido no lineal, o un chirrido lineal formado por ponderación de amplitud, la fracción de potencia fuera de $Δ$ F es aún menor, como se muestra en el gráfico, donde la línea discontinua es para espectros con perfiles de Hamming.
Esta baja dispersión espectral es particularmente significativa cuando se van a digitalizar señales de banda base, ya que permite elegir una frecuencia de muestreo que es sólo ligeramente superior al doble de la excursión de frecuencia máxima del chirrido.

Reducir la ondulación espectral

Las ondas de Fresnel en un espectro de chirridos son muy molestas, especialmente cuando los productos de ancho de banda de tiempo son bajos (menos de 50, por ejemplo) y su presencia conduce a niveles altos de lóbulos laterales de tiempo cuando los chirridos están sujetos a compresión de pulsos, como en los sistemas de radar y sonar . Surgen debido a las discontinuidades repentinas en la forma de onda del chirrido al comienzo y al final del pulso.

Aunque existen varios procedimientos que se pueden aplicar para reducir los niveles de ondulación, no todos son igualmente efectivos. Además, algunos de los métodos requieren conformación de amplitud, o modulación de amplitud, del pulso de chirrido y esto hace que esos métodos sean inadecuados cuando, por ejemplo, los pulsos de chirrido deben ser transmitidos por un amplificador de potencia que funciona en una condición casi limitante. Para tales sistemas sólo son apropiados los métodos que utilizan predistorsión de frecuencia (o fase).

Presentamos tiempos de subida y bajada de duración finita

Si las transiciones al inicio y al final del chirrido se hacen menos repentinas (o más "redondeadas"), entonces se logra una reducción en la amplitud de la onda. ^[6]^{: 213}^[20]^[21] Las duraciones de las dos regiones de transición solo necesitan ser una pequeña fracción de la duración del pulso, y los valores sugeridos están entre 2/ $Δ$ F y 3/ $Δ$ F ^[20] pero, como se esperaba , cuando el producto tiempo-ancho de banda del pulso es pequeño, se necesitan períodos de transición más largos. Los perfiles reales de estas regiones de subida y bajada de un pulso no parecen ser críticos y pueden proporcionarse, por ejemplo, mediante filtros limitadores de banda en implementaciones analógicas y una pendiente lineal en las digitales.

Dos ejemplos muestran los espectros de chirridos lineales con tiempos de subida finitos. El primero es para un chirrido con un ancho de banda de tiempo de 250, donde los tiempos de subida y bajada son el 4% de la duración total del pulso y el segundo es para un chirrido con un ancho de banda de tiempo de 25, donde los tiempos de subida y bajada son el 10%. del total. Estos dos espectros muestran una marcada reducción en la amplitud de la ondulación en comparación con los espectros de chirridos lineales no modificados mostrados anteriormente.

Aplicar distorsión de fase o frecuencia al pulso chirrido

Se puede aplicar una técnica análoga a la característica de frecuencia de la forma de onda chirrido agregando segmentos de distorsión FM lineal (distorsión de modulación de fase cuadrática) a la característica de frecuencia del chirrido, como se muestra. El método es eficaz porque las distorsiones de amplitud y fase que tienen similitud funcional pueden producir efectos similares cuando los factores de distorsión son pequeños. ^[20]^[22]

Esta distorsión añadida se denomina "predistorsión". Inicialmente se determinó que los valores sugeridos para estas regiones de distorsión, para lograr buenos resultados, eran:
$\Delta f_{p}=0.75\Delta F\qquad and\qquad \delta =1/\Delta F$

En 1988, un trabajo posterior ^[23] propuso valores ligeramente diferentes, a saber:
$\Delta f_{p}=0.73\Delta F\qquad and\qquad \delta =0.86/\Delta F$

Los resultados se pueden mejorar aún más optimizando los valores para cada situación particular.

A continuación se muestran dos gráficos que muestran los efectos de la precorrección de frecuencia, para anchos de banda de tiempo de 25 y 250. Estos se pueden comparar con los resultados de las secciones anteriores.

La reducción de la ondulación lograda mediante la precorrección de frecuencia, aunque significativa, se considera menos exitosa que la lograda por los métodos de modulación de amplitud de la sección anterior. Sin embargo, se ha sugerido ^[21] que implementando una precorrección de fase cúbica (en lugar de cuadrática), se pueden lograr resultados comparables.

Derivar una forma de onda a partir de un espectro de frecuencia objetivo

Este método utiliza una transformada de Fourier inversa para derivar una forma de onda que tiene un espectro con la fase característica de un chirrido elegido pero un nuevo perfil de amplitud que es rectangular y libre de ondulaciones. El método es muy eficaz pero, desafortunadamente, la forma de onda que se deriva tiene una duración de tiempo semiinfinita. Si, por conveniencia, la forma de onda recién derivada se trunca a una longitud práctica, entonces se reintroduce algo de ondulación en el espectro.

Como ejemplo, se muestra una forma de onda de chirrido lineal con un ancho de banda de tiempo de 25 junto con su magnitud espectral (mostrada por una línea completa) que, como se demostró anteriormente, tiene un componente de ondulación grande. Es posible encontrar, mediante una FFT inversa, una forma de onda de chirrido que, en el dominio de la frecuencia, tiene la misma característica de fase que antes, pero con la característica de magnitud rectangular mostrada por la línea discontinua en el gráfico. La forma de onda de chirrido resultante de este proceso tiene una duración muy larga, pero cuando se trunca para decir una longitud de 2T, el espectro adquiere cierta ondulación una vez más, como se muestra.

Aplicar funciones de ventana

Hay muchas aplicaciones en las que un espectro con un perfil de magnitud rectangular no es ideal. Por ejemplo, cuando una forma de onda de chirrido se comprime mediante su filtro adaptado, la forma de onda resultante se aproxima a la función sinc y, en consecuencia, tiene lóbulos laterales molestamente altos. A menudo, para mejorar las características del pulso y reducir los niveles de los lóbulos laterales, se modifica su espectro, normalmente hasta darle un perfil en forma de campana. Problemas similares surgen en el procesamiento de señales digitales, donde la conformación espectral es proporcionada por una función de ventana , un proceso a veces llamado apodización . En el caso de un conjunto de antenas, se utiliza un perfilado similar mediante "funciones de ponderación" para reducir los lóbulos laterales espaciales del patrón de radiación.

Aunque la conformación espectral de un chirrido podría aplicarse en el dominio de la frecuencia, se obtienen mejores resultados si la conformación se lleva a cabo en el dominio del tiempo. ^[24]^[25] Se muestran ejemplos de este proceso para chirridos lineales con productos tiempo-ancho de banda de 250 y 25. Han sido formados por una ventana de Blackman-Harris de 3 términos ^[11] dada por The spectra, ahora en forma de campana. , se ven libres de ondulaciones.
$|U(\omega )|^{2}=0.42323-0.49755\cos \left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)+0.07922\cos \left({\frac {4\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)$

Se pueden idear chirridos no lineales que tengan un espectro en forma de campana, como la ventana de Blackman-Harris que acabamos de comentar, y en consecuencia exhibirán una ondulación reducida en comparación con el chirrido lineal. Mediante el método de fase estacionaria descrito anteriormente se puede obtener una relación aproximada entre el tiempo y la frecuencia:

${\frac {t}{T}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\omega }{\omega _{max}}}+0.1871\sin \left({\frac {2\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)+0.014895\sin \left({\frac {4\pi \omega }{\omega _{max}}}\right)$
Reorganizando la ecuación, se puede trazar la frecuencia en función del tiempo, que se ve aproximadamente como se muestra a la derecha.

Los chirridos no lineales con perfiles espectrales de una ventana de Blackman-Harris muestran una reducción de la ondulación, pero pueden tener un rendimiento decepcionante debido a los perfiles de amplitud con tiempos de subida y bajada rápidos.

Como ejemplos, a continuación se muestran dos gráficos de las magnitudes espectrales de dichos chirridos, con productos tiempo-ancho de banda de 250 y 25, respectivamente. Estos chirridos tienen un contenido de energía reducido en sus regiones de frecuencia externas, pero aún muestran un rendimiento inferior al ideal.

Ver también

Compresión de pulso , un proceso que utiliza formas de onda codificadas en frecuencia o fase para mejorar la conversión de señal a ruido de las señales recibidas.
Compresión de chirridos , un proceso de compresión solo para chirridos.

Referencias

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