Filtración (teoría de la probabilidad)

Modelo de información disponible en un punto dado de un proceso aleatorio

En la teoría de procesos estocásticos , una subdisciplina de la teoría de la probabilidad , las filtraciones son colecciones totalmente ordenadas de subconjuntos que se utilizan para modelar la información disponible en un punto dado y, por lo tanto, juegan un papel importante en la formalización de procesos aleatorios (estocásticos).

Definición

Sea un espacio de probabilidad y sea un conjunto de índices con un orden total (a menudo , , o un subconjunto de ). ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

Para cada sea una sub- σ -álgebra de . Entonces ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \mathbb {F} :=({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$

se llama filtración, si para todo . Por lo tanto, las filtraciones son familias de σ -álgebras que están ordenadas de forma no decreciente. ^[1] Si es una filtración, entonces se llama espacio de probabilidad filtrado . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }}$ ${\displaystyle k\leq \ell }$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)}$

Ejemplo

Sea un proceso estocástico en el espacio de probabilidad . Sea la σ -álgebra generada por las variables aleatorias . Entonces ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ ${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{k}\mid k\leq n)}$

es una σ -álgebra y es una filtración. ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \mathbb {F} }$En realidad es una filtración, ya que por definición todas son σ -álgebras y ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

${\displaystyle \sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1).}$

Esto se conoce como la filtración natural de con respecto a . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

Tipos de filtraciones

Filtración continua derecha

Si es una filtración, entonces la filtración continua derecha correspondiente se define como ^[2] ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}:=({\mathcal {F}}_{i}^{+})_{i\in I},}$

con

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}^{+}:=\bigcap _{i<z}{\mathcal {F}}_{z}.}$

La filtración en sí se llama continua hacia la derecha si . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{+}=\mathbb {F} }$

Filtración completa

Sea un espacio de probabilidad y sea, ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}:=\{A\subseteq \Omega \mid A\subseteq B{\text{ for some }}B\in {\mathcal {F}}{\text{ with }}P(B)=0\}}$

sea ​​el conjunto de todos los conjuntos que están contenidos dentro de un conjunto - nulo . ${\displaystyle P}$

Una filtración se denomina filtración completa si cada contiene . Esto implica que es un espacio de medida completo para cada (lo inverso no es necesariamente cierto). ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{P}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{i},P)}$ ${\displaystyle i\in I.}$

Filtración aumentada

Una filtración se denomina filtración aumentada si es completa y continua. Para cada filtración existe un refinado de filtración aumentada mínimo . ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {F} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

Si una filtración es una filtración aumentada, se dice que satisface las hipótesis habituales o las condiciones habituales . ^[3]

Véase también

• Filtración natural
• Filtración (matemáticas)
• Filtro (matemáticas)

Referencias

1. Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. pág. 191. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
2. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelado estocástico. Vol. 77. Suiza: Springer. págs. 350-351. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.
3. Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. p. 462. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.