Espacio interior indefinido del producto.

En matemáticas , en el campo del análisis funcional , un espacio de producto interno indefinido

${\displaystyle (K,\langle \cdot ,\,\cdot \rangle ,J)}$

es un espacio vectorial complejo de dimensión infinita equipado con un producto interno indefinido ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle \,}$

y un producto interno semidefinido positivo

${\displaystyle (x,\,y)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle x,\,Jy\rangle ,}$

donde el operador métrico es un endomorfismo de obedecer ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle J^{3}=J.\,}$

El espacio del producto interno indefinido en sí mismo no es necesariamente un espacio de Hilbert ; pero la existencia de un producto interno semidefinido positivo implica que se puede formar un espacio cociente en el que hay un producto interno definido positivo. Dada una topología lo suficientemente fuerte en este espacio cociente, tiene la estructura de un espacio de Hilbert y muchos objetos de interés en aplicaciones típicas caen en este espacio cociente. ${\displaystyle K}$

Un espacio de producto interno indefinido se llama espacio de Kerin (o -espacio ) si es definido positivo y posee una topología importante. Los espacios de Kerin reciben su nombre en honor al matemático soviético Mark Grigorievich Kerin . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle (x,\,y)}$ ${\displaystyle K}$

Productos internos y el operador métrico.

Considere un espacio vectorial complejo equipado con una forma hermitiana indefinida . En la teoría de los espacios de Kerin es común llamar a dicha forma hermitiana producto interno indefinido . Los siguientes subconjuntos se definen en términos de la norma cuadrática inducida por el producto interno indefinido: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle }$

${\displaystyle K_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle =0\}}$("neutral")

${\displaystyle K_{++}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle >0\}}$("positivo")

${\displaystyle K_{--}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle <0\}}$("negativo")

${\displaystyle K_{+0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{++}\cup K_{0}}$("no negativo")

${\displaystyle K_{-0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{--}\cup K_{0}}$("no positivo")

Un subespacio que se encuentra dentro se llama subespacio neutral . De manera similar, un subespacio que se encuentra dentro de ( ) se llama semidefinido positivo ( negativo ) , y un subespacio que se encuentra dentro de ( ) se llama definido positivo ( negativo ) . Un subespacio en cualquiera de las categorías anteriores puede llamarse semidefinido , y cualquier subespacio que no sea semidefinido se llama indefinido . ${\displaystyle L\subset K}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle K_{+0}}$ ${\displaystyle K_{-0}}$ ${\displaystyle K_{++}\cup \{0\}}$ ${\displaystyle K_{--}\cup \{0\}}$

Supongamos que nuestro espacio producto interior indefinido también esté equipado con una descomposición en un par de subespacios , llamada descomposición fundamental , que respeta la estructura compleja . Por lo tanto, los operadores de proyección lineal correspondientes coinciden con la identidad en y aniquilan , y conmutan con la multiplicación por el de la estructura compleja. Si esta descomposición es tal que y , entonces se llama espacio producto interno indefinido ; Si , entonces se llama espacio de Kerin , sujeto a la existencia de una topología mayor (una topología localmente convexa donde el producto interno es conjuntamente continuo). ${\displaystyle K=K_{+}\oplus K_{-}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P_{\pm }}$ ${\displaystyle K_{\pm }}$ ${\displaystyle K_{\mp }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle K_{+}\subset K_{+0}}$ ${\displaystyle K_{-}\subset K_{-0}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\pm }\subset K_{\pm \pm }\cup \{0\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

El operador se denomina operador métrico (fase real) o simetría fundamental y puede usarse para definir el producto interno de Hilbert : ${\displaystyle J\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ P_{+}-P_{-}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\,\cdot )}$

${\displaystyle (x,\,y)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle x,\,Jy\rangle =\langle x,\,P_{+}y\rangle -\langle x,\,P_{-}y\rangle }$

En un espacio de Kerin, el producto interno de Hilbert es definido positivo, dando la estructura de un espacio de Hilbert (bajo una topología adecuada). Bajo la restricción más débil , algunos elementos del subespacio neutral pueden seguir siendo neutrales en el producto interno de Hilbert, pero muchos no lo son. Por ejemplo, los subespacios son parte del subespacio neutro del producto interno de Hilbert, porque un elemento obedece . Pero un elemento ( ) que se encuentra en porque tendrá una norma cuadrada positiva bajo el producto interno de Hilbert. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\pm }\subset K_{\pm 0}}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle K_{0}\cap K_{\pm }}$ ${\displaystyle k\in K_{0}\cap K_{\pm }}$ ${\displaystyle (k,\,k)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle k,\,Jk\rangle =\pm \langle k,\,k\rangle =0}$ ${\displaystyle k=k_{+}+k_{-}}$ ${\displaystyle k_{\pm }\in K_{\pm }}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle \langle k_{-},\,k_{-}\rangle =-\langle k_{+},\,k_{+}\rangle }$

Observamos que la definición del producto interno indefinido como forma hermitiana implica que:

${\displaystyle \langle x,\,y\rangle ={\frac {1}{4}}(\langle x+y,\,x+y\rangle -\langle x-y,\,x-y\rangle )}$

(Nota: esto no es correcto para las formas hermitianas de valores complejos. Sólo da la parte real.) Por lo tanto, el producto interno indefinido de dos elementos cualesquiera que difieren sólo en un elemento es igual a la norma cuadrada de su promedio . En consecuencia, el producto interno de cualquier elemento distinto de cero con cualquier otro elemento debe ser cero, para que no podamos construir algo cuyo producto interno con tenga el signo incorrecto como norma cuadrada de . ${\displaystyle x,\,y\in K}$ ${\displaystyle x-y\in K_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {x+y}{2}}}$ ${\displaystyle k_{0}\in (K_{0}\cap K_{\pm })}$ ${\displaystyle k_{\pm }\in K_{\pm }}$ ${\displaystyle k_{\pm }+2\lambda k_{0}}$ ${\displaystyle k_{\pm }}$ ${\displaystyle k_{\pm }+\lambda k_{0}\in K_{\pm }}$

Argumentos similares sobre el producto interno de Hilbert (que se puede demostrar que es una forma hermitiana, lo que justifica el nombre de "producto interno") llevan a la conclusión de que su espacio neutral es precisamente , que los elementos de este espacio neutral tienen un producto interno de Hilbert cero con cualquier elemento de , y que el producto interno de Hilbert es semidefinido positivo. Por lo tanto, induce un producto interno definido positivo (también denotado ) en el espacio cociente , que es la suma directa de . Por tanto, existe un espacio de Hilbert (dada una topología adecuada). ${\displaystyle K_{00}=(K_{0}\cap K_{+})\oplus (K_{0}\cap K_{-})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (\cdot ,\,\cdot )}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K/K_{00}}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{\pm }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{\pm }/(K_{0}\cap K_{\pm })}$ ${\displaystyle ({\tilde {K}},\,(\cdot ,\,\cdot ))}$

Propiedades y aplicaciones

Los espacios de Kerin surgen naturalmente en situaciones donde el producto interno indefinido tiene una propiedad analíticamente útil (como la invariancia de Lorentz ) de la que carece el producto interno de Hilbert. También es común que uno de los dos productos internos, generalmente el indefinido, esté definido globalmente en una variedad y el otro dependa de las coordenadas y, por lo tanto, esté definido solo en una sección local.

En muchas aplicaciones, el producto interno semidefinido positivo depende de la descomposición fundamental elegida, que, en general, no es única. Pero se puede demostrar (por ejemplo, cf. Proposiciones 1.1 y 1.2 en el artículo de H. Langer a continuación) que dos operadores métricos cualesquiera y compatibles con el mismo producto interno indefinido dan como resultado espacios de Hilbert y cuyas descomposiciones tienen dimensiones iguales. Aunque los productos internos de Hilbert en estos espacios cocientes generalmente no coinciden, inducen normas cuadradas idénticas, en el sentido de que las normas cuadradas de las clases de equivalencia y en las cuales a dado si son iguales. Todas las nociones topológicas en un espacio de Kerin, como continuidad , carácter cerrado de conjuntos y el espectro de un operador en , se entienden con respecto a esta topología del espacio de Hilbert . ${\displaystyle (\cdot ,\,\cdot )}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J^{\prime }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}^{\prime }}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{\pm }}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{\pm }^{\prime }}$ ${\displaystyle {\tilde {k}}\in {\tilde {K}}}$ ${\displaystyle {\tilde {k}}^{\prime }\in {\tilde {K}}^{\prime }}$ ${\displaystyle k\in K}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}}$

Parte isotrópica y subespacios degenerados.

Sean , , subespacios de . El subespacio para todos se llama compañero ortogonal de y es la parte isotrópica de . Si , se llama no degenerado ; de lo contrario es degenerado . Si es para todos , entonces se dice que los dos subespacios son ortogonales y escribimos . Si donde , escribimos . Si además esta es una suma directa , escribimos . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L^{[\perp ]}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,y\rangle =0}$ ${\displaystyle y\in L\}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ L\cap L^{[\perp ]}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{0}=\{0\}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \langle x,\,y\rangle =0}$ ${\displaystyle x\in L_{1},\,\,y\in L_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}[\perp ]L_{2}}$ ${\displaystyle L=L_{1}+L_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}[\perp ]L_{2}}$ ${\displaystyle L=L_{1}[+]L_{2}}$ ${\displaystyle L=L_{1}[{\dot {+}}]L_{2}}$

Espacio Pontryagin

Si , el espacio de Kerin se llama espacio o espacio de Pontryagin . (Convencionalmente, al producto interno indefinido se le da el signo que lo hace finito.) En este caso se conoce como número de cuadrados positivos de . Los espacios de Pontrjagin llevan el nombre de Lev Semenovich Pontryagin . ${\displaystyle \kappa :=\min\{\dim K_{+},\dim K_{-}\}<\infty }$ ${\displaystyle (K,\langle \cdot ,\,\cdot \rangle ,J)}$ ${\displaystyle \Pi _{\kappa }}$ ${\displaystyle \dim K_{+}}$ ${\displaystyle \dim K_{+}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle }$

operador pesonen

Un operador simétrico A en un espacio producto interno indefinido K con dominio K se llama operador de Pesonen si ( x , x ) = 0 = ( x , Ax ) implica x = 0.

Referencias

• Azizov, T.Ya.; Iokhvidov, IS: Operadores lineales en espacios con métrica indefinida , John Wiley & Sons, Chichester, 1989, ISBN  0-471-92129-7 .
• Bognár, J.: Espacios de producto interior indefinidos , Springer-Verlag, Berlín-Heidelberg-Nueva York, 1974, ISBN 3-540-06202-5 . 
• Langer, H. (2001) [1994], "Krein space", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Langer, H.: Funciones espectrales de operadores definitizables en espacios Kerin , Actas de análisis funcional de una conferencia celebrada en Dubrovnik, Yugoslavia, del 2 al 14 de noviembre de 1981, Lecture Notes in Mathematics, 948 , Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-Nueva York, 1982, 1-46, ISSN  0075-8434.
• Nikol'skii, NK; Pavlov, BS (2001) [1994], "Espacio de Hilbert con métrica indefinida", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Nikol'skii, NK; Pavlov, BS (2001) [1994], "Pontryagin space", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press