Enstrofia

En dinámica de fluidos , la enstrofia puede interpretarse como otro tipo de densidad potencial ; o, más concretamente, la cantidad directamente relacionada con la energía cinética en el modelo de flujo que corresponde a efectos de disipación en el fluido. Es particularmente útil en el estudio de flujos turbulentos , y a menudo se identifica en el estudio de propulsores así como en teoría de combustión y meteorología . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Dado un dominio y un campo vectorial débilmente diferenciable que representa un flujo de fluido, como una solución a las ecuaciones de Navier-Stokes , su enstrofia está dada por: ^[1] ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}({\bf {u}}):=\int _{\Omega }|\nabla \mathbf {u} |^{2}\,dx}$

donde . Esta cantidad es la misma que la seminorma al cuadrado de la solución en el espacio de Sobolev . ${\displaystyle |\nabla \mathbf {u} |^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}\left|\partial _{i}u^{j}\right|^{2}}$ ${\displaystyle |\mathbf {u} |_{H^{1}(\Omega )^{n}}^{2}}$ ${\displaystyle H^{1}(\Omega )^{n}}$

Flujo incompresible

En el caso de que el flujo sea incompresible , o equivalentemente que , la enstrofia puede describirse como la integral del cuadrado de la vorticidad : ^[2] ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$

${\displaystyle {\mathcal {E}}({\boldsymbol {\omega }})\equiv \int _{\Omega }|{\boldsymbol {\omega }}|^{2}\,dx}$

o, en términos de la velocidad del flujo :

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\mathbf {u} )\equiv \int _{\Omega }|\nabla \times \mathbf {u} |^{2}\,dx}$

En el contexto de las incompresibles ecuaciones de Navier-Stokes, la enstrofia aparece en el siguiente resultado útil: ^[1]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\int _{\Omega }|\mathbf {u} |^{2}\right)=-\nu {\mathcal {E}}(\mathbf {u} )}$

La cantidad entre paréntesis a la izquierda es la energía cinética en el flujo, por lo que el resultado dice que la energía disminuye proporcionalmente a la viscosidad cinemática multiplicada por la enstrofia. ${\displaystyle \nu }$

Véase también

• Circulación atmosférica
• Turbulencia

Referencias

1. Ecuaciones de Navier-Stokes y turbulencia. Ciprian Foiaş. Cambridge: Cambridge University Press. 2001. págs. 28-29. ISBN 0-511-03936-0.OCLC 56416088  .{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: otros ( enlace )
2. Doering, CR y Gibbon, JD (1995). Análisis aplicado de las ecuaciones de Navier-Stokes , pág. 11, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 052144568-X . 

Lectura adicional

• Arakawa, A.; Lamb, VR (enero de 1981). "Un esquema de conservación de energía y enstrofia potencial para las ecuaciones de aguas someras". Monthly Weather Review . 109 (1): 18–36. doi : 10.1175/1520-0493(1981)109<0018:APEAEC>2.0.CO;2 . ISSN  1520-0493.
• Umurhan, OM; Regev, O. (diciembre de 2004). "Estabilidad hidrodinámica de flujos con soporte rotacional: resultados de caja de corte 2D lineal y no lineal". Astronomía y astrofísica . 427 (3): 855–872. arXiv : astro-ph/0404020 . Bibcode :2004A&A...427..855U. doi :10.1051/0004-6361:20040573. S2CID  15418079.
• Weiss, John (marzo de 1991). "La dinámica de la transferencia de enstrofia en la hidrodinámica bidimensional". Physica D: Nonlinear Phenomena . 48 (2–3): 273–294. Bibcode :1991PhyD...48..273W. doi :10.1016/0167-2789(91)90088-Q.