Enlace (complejo simplicial)

El vínculo en un complejo simplicial es una generalización de la vecindad de un vértice en un grafo. El vínculo de un vértice codifica información sobre la estructura local del complejo en el vértice.

Enlace de un vértice

Dado un complejo simplicial abstracto $X$ y un vértice en , su vínculo es un conjunto que contiene cada cara tal que y es una cara de $X$ . ${\textstyle v}$ ${\textstyle V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle \tau \en X}$ ${\textstyle v\no \en \tau }$ ${\textstyle \tau \cup \{v\}}$

En el caso especial en el que $X$ es un complejo unidimensional (es decir: un grafo ), contiene todos los vértices tales que es una arista en el grafo; es decir, la vecindad de en el grafo. ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle u\neq v}$ ${\textstyle \{u,v\}}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)={\mathcal {N}}(v)=}$ ${\textstyle v}$

Dado un complejo simplicial geométrico $X$ y , su enlace es un conjunto que contiene cada cara tal que y hay un símplex en que tiene como vértice y como cara. ^[1]^{: 3} De manera equivalente, la unión es una cara en . ^[2]^{: 20} ${\textstyle v\en V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle \tau \en X}$ ${\textstyle v\no \en \tau }$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle \tau}$ ${\textstyle v\star \tau }$ ${\textstyle X}$

Por ejemplo, supongamos que v es el vértice superior del tetraedro de la izquierda. Entonces, el vínculo de v es el triángulo en la base del tetraedro. Esto se debe a que, para cada arista de ese triángulo, la unión de v con la arista es un triángulo (uno de los tres triángulos en los lados del tetraedro); y la unión de v con el triángulo mismo es el tetraedro entero.
El vínculo de un vértice de un tetraedro es el triángulo.

Una definición alternativa es: el vínculo de un vértice es el grafo $Lk($ $v$ $,$ $X$ $)$ construido de la siguiente manera. Los vértices de $Lk($ $v$ $,$ $X$ $)$ son las aristas de $X$ incidentes a $v$ . Dos de esas aristas son adyacentes en $Lk($ $v$ $,$ $X$ $)$ si y solo si son incidentes a una celda 2 común en $v$ . ${\textstyle v\en V(X)}$

Al gráfico $Lk(v, X)$ a menudo se le da la topología de una bola de radio pequeño centrada en $v$ ; es análogo a una esfera centrada en un punto. ^[3]

Enlace de una cara

La definición de un enlace puede extenderse desde un solo vértice a cualquier cara.

Dado un complejo simplicial abstracto $X$ y cualquier cara de $X$ , su vínculo es un conjunto que contiene todas las caras tales que son disjuntas y es una cara de $X$ : . ${\textstyle \sigma}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$ ${\textstyle \tau \en X}$ ${\textstyle \sigma ,\tau }$ ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X):=\{\tau \en X:~\tau \cap \sigma =\conjunto vacío ,~\tau \cup \sigma \en X\}}$

Dado un complejo geométrico simplicial $X$ y cualquier cara , su vínculo es un conjunto que contiene todas las caras tales que son disjuntas y hay un símplex en que tiene como caras. ^[1]^{: 3} ${\textstyle \sigma \en X}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$ ${\textstyle \tau \en X}$ ${\textstyle \sigma ,\tau }$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle \sigma}$ ${\textstyle \tau}$

Ejemplos

El vértice de un tetraedro se une a un triángulo: los tres vértices del vértice corresponden a las tres aristas que inciden en el vértice, y las tres aristas del vértice corresponden a las caras que inciden en el vértice. En este ejemplo, el vínculo se puede visualizar cortando el vértice con un plano; formalmente, se corta el tetraedro con un plano cerca del vértice; la sección transversal resultante es el vínculo.

A continuación se muestra otro ejemplo. Hay un complejo simplicial bidimensional. A la izquierda, un vértice está marcado en amarillo. A la derecha, el enlace de ese vértice está marcado en verde.

Un vértice y su enlace .

Propiedades

Para cualquier complejo simplicial $X$ , cada enlace está cerrado hacia abajo y, por lo tanto, también es un complejo simplicial; es un subcomplejo de $X$ . ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$
Como $X$ es simplicial, existe un isomorfismo de conjuntos entre y el conjunto : todo corresponde a , que está en . ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$ $X_{\sigma }:=\{\rho \in X{\text{ tal que }}\sigma \subseteq \rho \}$ ${\textstyle \tau \in \operatorname {Lk} (\sigma,X)}$ ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ $X_{\sigma}$

Enlace y estrella

Un concepto muy relacionado con el vínculo es el de estrella .

Dado un complejo simplicial abstracto $X$ y cualquier cara , , su estrella es un conjunto que contiene todas las caras tales que son caras de $X$ . En el caso especial en el que $X$ es un complejo unidimensional (es decir: un grafo ), contiene todas las aristas de todos los vértices que son vecinos de . Es decir, es una estrella de teoría de grafos centrada en . ${\textstyle \sigma \en X}$ ${\textstyle V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma,X)}$ ${\textstyle \tau \en X}$ ${\textstyle \tau \cup \sigma }$ ${\textstyle \operatorname {St} (v,X)}$ ${\textstyle \{u,v\}}$ ${\textstyle u}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle u}$

Dado un complejo simplicial geométrico $X$ y cualquier cara , su estrella es un conjunto que contiene todas las caras tales que existe un símplex en que tiene como caras: . En otras palabras, es la clausura del conjunto : el conjunto de símplex que tienen como una cara. ${\textstyle \sigma \en X}$ ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma,X)}$ ${\textstyle \tau \en X}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle \sigma}$ ${\textstyle \tau}$ ${\textstyle \operatorname {St} (\sigma ,X):=\{\tau \in X:\exists \rho \in X:\tau ,\sigma {\text{ son caras de }}\rho \}}$ ${\textstyle \{\rho \in X:\sigma {\text{ es una cara de }}\rho \}}$ ${\textstyle \sigma}$

Por lo tanto, el enlace es un subconjunto de la estrella. La estrella y el enlace están relacionados de la siguiente manera:

Para cualquier , . ^[1]^{: 3} ${\textstyle \sigma \en X}$ ${\textstyle \operatorname {Lk} (\sigma ,X)=\{\tau \in \operatorname {St} (\sigma ,X):\tau \cap \sigma =\emptyset \}}$
Para cualquier , , es decir, la estrella de es el cono de su enlace en . ^[2]^{: 20} ${\textstyle v\en V(X)}$ ${\textstyle \operatorname {St} (v,X)=v\star \operatorname {Lk} (v,X)}$ ${\textstyle v}$ ${\textstyle v}$

A continuación se muestra un ejemplo. Hay un complejo simplicial bidimensional. A la izquierda, un vértice está marcado en amarillo. A la derecha, la estrella de ese vértice está marcada en verde.

Un vértice y su estrella .

Véase también

Figura de vértice : concepto geométrico similar al enlace simplicial.

Referencias

^ abc Bryant, John L. (1 de enero de 2001), Daverman, RJ; Sher, RB (eds.), "Capítulo 5 - Topología lineal por partes", Handbook of Geometric Topology , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 219-259, ISBN 978-0-444-82432-5, consultado el 15 de noviembre de 2022
^ ab Rourke, Colin P. ; Sanderson, Brian J. (1972). Introducción a la topología lineal por partes. doi :10.1007/978-3-642-81735-9. ISBN 978-3-540-11102-3.
^ Bridson, Martín ; Haefliger, André (1999), Espacios métricos de curvatura no positiva , Springer , ISBN 3-540-64324-9