Teorema de Engel

Teorema de la teoría de la representación de Lie

En la teoría de la representación , una rama de las matemáticas, el teorema de Engel establece que un álgebra de Lie de dimensión finita es un álgebra de Lie nilpotente si y solo si para cada , la función adjunta ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (X)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},}$

dada por , es un endomorfismo nilpotente en ; es decir, para algún k . ^[1] Es una consecuencia del teorema, también llamado teorema de Engel, que dice que si un álgebra de Lie de matrices consiste en matrices nilpotentes, entonces todas las matrices pueden llevarse simultáneamente a una forma estrictamente triangular superior . Nótese que si simplemente tenemos un álgebra de Lie de matrices que es nilpotente como un álgebra de Lie , entonces esta conclusión no se sigue (es decir, el reemplazo ingenuo en el teorema de Lie de "resoluble" con "nilpotente", y "triangular superior" con "estrictamente triangular superior", es falso; esto ya falla para el subálgebra de Lie unidimensional de matrices escalares). ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(Y)=[X,Y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)^{k}=0}$

El teorema recibe su nombre del matemático Friedrich Engel , quien esbozó una prueba del mismo en una carta a Wilhelm Killing fechada el 20 de julio de 1890 (Hawkins 2000, p. 176). El alumno de Engel, KA Umlauf, presentó una prueba completa en su disertación de 1891, reimpresa como (Umlauf 2010).

Declaraciones

Sea el álgebra de Lie de los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita V y una subálgebra. Entonces el teorema de Engel establece que son equivalentes: ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$

1. Cada uno es un endomorfismo nilpotente en V. ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$
2. Existe una bandera tal que ; es decir, los elementos de son simultáneamente estrictamente triangulizables en sentido superior. ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0,\,\operatorname {codim} V_{i}=i}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cdot V_{i}\subset V_{i+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Tenga en cuenta que no se requiere ninguna suposición sobre el campo base subyacente.

Observamos que la afirmación 2. para varios y V es equivalente a la afirmación ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Para cada espacio vectorial de dimensión finita distinto de cero V y una subálgebra , existe un vector v distinto de cero en V tal que para cada ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle X(v)=0}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}.}$

Esta es la forma del teorema demostrado en #Prueba. (Esta afirmación es trivialmente equivalente a la afirmación 2, ya que permite construir inductivamente una bandera con la propiedad requerida).

En general, se dice que un álgebra de Lie es nilpotente si su serie central inferior se anula en un paso finito; es decir, para = ( i + 1)-ésima potencia de , existe algún k tal que . Entonces el teorema de Engel implica el siguiente teorema (también llamado teorema de Engel): cuando tiene dimensión finita, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle C^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},C^{i}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},C^{i-1}{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle C^{k}{\mathfrak {g}}=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es nilpotente si y sólo si es nilpotente para cada . ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

En efecto, si consta de operadores nilpotentes, entonces por 1. 2. aplicado al álgebra , existe una bandera tal que . Como , esto implica que es nilpotente. (La inversa se deduce directamente de la definición). ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \cdots \supset {\mathfrak {g}}_{n}=0}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}}$ ${\displaystyle C^{i}{\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {g}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Prueba

Demostramos la siguiente forma del teorema: ^[2] si es una subálgebra de Lie tal que todo es un endomorfismo nilpotente y si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ V tiene dimensión positiva, entonces existe un vector v distinto de cero en V tal que para cada ${\displaystyle X(v)=0}$ X en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La prueba se realiza por inducción sobre la dimensión de y consta de unos pocos pasos. (Nótese que la estructura de la prueba es muy similar a la del teorema de Lie , que se refiere a un álgebra resoluble). El caso básico es trivial y suponemos que la dimensión de es positiva. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Paso 1 : Encuentra un ideal de codimensión uno en . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Este es el paso más difícil. Sea una subálgebra maximal (propia) de , que existe por dimensionalidad finita. Afirmamos que es un ideal de codimensión uno. Para cada , es fácil comprobar que (1) induce un endomorfismo lineal y (2) esta función inducida es nilpotente (de hecho, es nilpotente como es nilpotente; véase la descomposición de Jordan en las álgebras de Lie ). Así, por hipótesis inductiva aplicada a la subálgebra de Lie de generada por , existe un vector v distinto de cero en tal que para cada . Es decir, si para algún Y en pero no en , entonces para cada . Pero entonces el subespacio generado por e Y es una subálgebra de Lie en la que es un ideal de codimensión uno. Por tanto, por maximalidad, . Esto prueba la afirmación. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(v)=0}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle v=[Y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle [X,Y]=\operatorname {ad} (X)(Y)\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}'\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}'={\mathfrak {g}}}$

Paso 2 : Sea . Entonces se estabiliza W ; es decir, para cada . ${\displaystyle W=\{v\in V|X(v)=0,X\in {\mathfrak {h}}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X(v)\in W}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}},v\in W}$

En efecto, para en y en , tenemos: ya que es un ideal y por lo tanto . Por lo tanto, es en W . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle X(Y(v))=Y(X(v))+[X,Y](v)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle Y(v)}$

Paso 3 : Termine la prueba encontrando un vector distinto de cero que sea eliminado por . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Escribe donde L es un subespacio vectorial unidimensional. Sea Y un vector distinto de cero en L y v un vector distinto de cero en W. Ahora, es un endomorfismo nilpotente (por hipótesis) y, por lo tanto, para algún k . Entonces es un vector requerido ya que el vector se encuentra en W según el Paso 2. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+L}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{k}(v)\neq 0,Y^{k+1}(v)=0}$ ${\displaystyle Y^{k}(v)}$ ${\displaystyle \square }$

Véase también

• Teorema de Lie
• Grupo de Heisenberg

Notas

Citas

1. Fulton y Harris 1991, Ejercicio 9.10..
2. Fulton y Harris 1991, Teorema 9.9.

Obras citadas

• Erdmann, Karin ; Wildon, Mark (2006). Introducción a las álgebras de Lie (1.ª ed.). Springer. ISBN 1-84628-040-0.
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Hawkins, Thomas (2000), Surgimiento de la teoría de los grupos de Lie, Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98963-1, Sr.  1771134
• Hochschild, G. (1965). La estructura de los grupos de Lie . Holden Day.
• Humphreys, J. (1972). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Springer.
• Umlauf, Karl Arthur (2010) [Publicado por primera vez en 1891], Über Die Zusammensetzung Der Endlichen Continuierlichen Transformationsgruppen, Insbesondre Der Gruppen Vom Range Null, Disertación inaugural, Leipzig (en alemán), Nabu Press, ISBN 978-1-141-58889-3