Ecuación del diodo Shockley

Ecuación de ingeniería eléctrica

Curvas de corriente-voltaje según la ley de diodos a 25 °C, 50 °C y dos factores de idealidad . La escala logarítmica utilizada para el gráfico inferior es útil para expresar la relación exponencial de la ecuación .

La ecuación del diodo de Shockley , o ley del diodo , llamada así por el coinventor del transistor William Shockley de Bell Labs , modela la relación exponencial corriente-voltaje (I–V) de los diodos semiconductores en polarización directa o inversa de corriente constante moderada :

${\displaystyle I_{\text{D}}=I_{\text{S}}\left(e^{\frac {V_{\text{D}}}{nV_{\text{T}}}}-1\right),}$

dónde

${\displaystyle I_{\text{D}}}$es la corriente del diodo,

${\displaystyle I_{\text{S}}}$es la corriente de saturación de polarización inversa (o corriente de escala),

${\displaystyle V_{\text{D}}}$es el voltaje a través del diodo,

${\displaystyle V_{\text{T}}}$es el voltaje térmico , y

${\displaystyle n}$es el factor de idealidad , también conocido como factor de calidad , coeficiente de emisión o constante del material .

La ecuación se denomina ecuación del diodo ideal de Shockley cuando el factor de idealidad es igual a 1, por lo que a veces se omite. El factor de idealidad varía normalmente de 1 a 2 (aunque en algunos casos puede ser mayor), según el proceso de fabricación y el material semiconductor . El factor de idealidad se añadió para tener en cuenta las uniones imperfectas observadas en transistores reales, principalmente debido a la recombinación de portadores a medida que los portadores de carga cruzan la región de agotamiento . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

La tensión térmica se define como: ${\displaystyle V_{\text{T}}}$

${\displaystyle V_{\text{T}}={\frac {kT}{q}},}$

dónde

${\displaystyle k}$es la constante de Boltzmann ,

${\displaystyle T}$es la temperatura absoluta de la unión p–n, y

${\displaystyle q}$es la carga elemental (la magnitud de la carga de un electrón ).

Por ejemplo, es aproximadamente 25,852  mV a 300 K (27 °C; 80 °F).

La corriente de saturación inversa no es constante para un dispositivo determinado, sino que varía con la temperatura; generalmente de manera más significativa que , por lo que normalmente disminuye a medida que aumenta. ${\displaystyle I_{\text{S}}}$ ${\displaystyle V_{\text{T}}}$ ${\displaystyle V_{\text{D}}}$ ${\displaystyle T}$

Bajo polarización inversa , el término exponencial de la ecuación del diodo está cerca de 0, por lo que la corriente está cerca del valor de corriente inversa algo constante (aproximadamente un picoamperio para diodos de silicio o un microamperio para diodos de germanio, ^[1] aunque esto es obviamente una función del tamaño). ${\displaystyle -I_{\text{S}}}$

Para voltajes de polarización directa moderados , la exponencial se vuelve mucho mayor que 1, ya que el voltaje térmico es muy pequeño en comparación. La en la ecuación del diodo es entonces despreciable, por lo que la corriente directa del diodo se aproximará ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle I_{\text{S}}e^{\frac {V_{\text{D}}}{nV_{\text{T}}}}.}$

El uso de la ecuación del diodo en problemas de circuitos se ilustra en el artículo sobre modelado de diodos .

Limitaciones

La resistencia interna provoca la "nivelación" de la curva I–V de un diodo real con una alta polarización directa. La ecuación de Shockley no modela esto, pero agregar una resistencia en serie sí lo hace.

La región de ruptura inversa (particularmente de interés para los diodos Zener ) no está modelada por la ecuación de Shockley.

La ecuación de Shockley no modela el ruido (como el ruido de Johnson-Nyquist de la resistencia interna o el ruido de disparo ).

La ecuación de Shockley es una relación de corriente constante (estado estable) y, por lo tanto, no tiene en cuenta la respuesta transitoria del diodo , que incluye la influencia de su unión interna y la capacitancia de difusión y el tiempo de recuperación inversa .

Derivación

Shockley deriva una ecuación para el voltaje a través de una unión pn en un largo artículo publicado en 1949. ^[2] Más tarde, da una ecuación correspondiente para la corriente en función del voltaje bajo supuestos adicionales, que es la ecuación que llamamos la ecuación del diodo ideal de Shockley. ^[3] La llama "una fórmula de rectificación teórica que da la rectificación máxima", con una nota al pie que hace referencia a un artículo de Carl Wagner , Physikalische Zeitschrift 32 , pp. 641-645 (1931).

Para derivar su ecuación para el voltaje, Shockley argumenta que la caída de voltaje total se puede dividir en tres partes:

• la caída del nivel cuasi-Fermi de huecos desde el nivel del voltaje aplicado en el terminal p hasta su valor en el punto donde el dopaje es neutro (lo que podemos llamar la unión),
• la diferencia entre el nivel cuasi-Fermi de los huecos en la unión y el de los electrones en la unión,
• la caída del nivel cuasi-Fermi de los electrones desde la unión hasta el terminal n.

Muestra que el primero y el tercero de estos pueden expresarse como una resistencia por la corriente: En cuanto al segundo, la diferencia entre los niveles de cuasi-Fermi en la unión, dice que podemos estimar la corriente que fluye a través del diodo a partir de esta diferencia. Señala que la corriente en el terminal p es toda de huecos, mientras que en el terminal n es toda de electrones, y la suma de estos dos es la corriente total constante. Por lo tanto, la corriente total es igual a la disminución de la corriente de huecos de un lado del diodo al otro. Esta disminución se debe a un exceso de recombinación de pares electrón-hueco sobre la generación de pares electrón-hueco. La tasa de recombinación es igual a la tasa de generación cuando está en equilibrio, es decir, cuando los dos niveles de cuasi-Fermi son iguales. Pero cuando los niveles de cuasi-Fermi no son iguales, entonces la tasa de recombinación es multiplicada por la tasa de generación. Entonces asumimos que la mayor parte del exceso de recombinación (o disminución en la corriente de huecos) tiene lugar en una capa que va por una longitud de difusión de un hueco hacia el material n y una longitud de difusión de un electrón hacia el material p, y que la diferencia entre los niveles cuasi-Fermi es constante en esta capa en Entonces encontramos que la corriente total, o la caída en la corriente de huecos, es ${\displaystyle I_{\text{D}}R_{1}.}$ ${\displaystyle e^{(\phi _{\text{p}}-\phi _{\text{n}})/V_{\text{T}}}}$ ${\displaystyle L_{\text{p}}}$ ${\displaystyle L_{\text{n}}}$ ${\displaystyle V_{\text{J}}.}$

${\displaystyle I_{\text{D}}=I_{\text{S}}\left(e^{\frac {V_{\text{J}}}{V_{\text{T}}}}-1\right),}$

dónde

${\displaystyle I_{\text{S}}=gq(L_{\text{p}}+L_{\text{n}}),}$

y es la tasa de generación. Podemos resolver en términos de : ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V_{\text{J}}}$ ${\displaystyle I_{\text{D}}}$

${\displaystyle V_{\text{J}}=V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I_{\text{D}}}{I_{\text{S}}}}\right),}$

y la caída de voltaje total es entonces

${\displaystyle V=I_{\text{D}}R_{1}+V_{\text{T}}\ln \left(1+{\frac {I_{\text{D}}}{I_{\text{S}}}}\right).}$

Cuando asumimos que es pequeño, obtenemos la ecuación del diodo ideal de Shockley. ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle V=V_{\text{J}}}$

La pequeña corriente que fluye bajo una alta polarización inversa es entonces el resultado de la generación térmica de pares electrón-hueco en la capa. Los electrones fluyen entonces hacia el terminal n, y los huecos hacia el terminal p. Las concentraciones de electrones y huecos en la capa son tan pequeñas que la recombinación allí es insignificante.

En 1950, Shockley y sus colaboradores publicaron un breve artículo que describía un diodo de germanio que seguía de cerca la ecuación ideal. ^[4]

En 1954, Bill Pfann y W. van Roosbroek (que también trabajaban en Bell Telephone Laboratories) informaron que, si bien la ecuación de Shockley era aplicable a ciertas uniones de germanio, para muchas uniones de silicio la corriente (bajo una polarización directa apreciable) era proporcional a A , teniendo un valor tan alto como 2 o 3. ^[5] Este es el factor de idealidad anterior. ${\displaystyle e^{V_{\text{J}}/AV_{\text{T}}},}$ ${\displaystyle n}$

Feynman dio una derivación usando el trinquete browniano en The Feynman Lectures on Physics I.46. ^[6]

Conversión de energía fotovoltaica

En 1981, Alexis de Vos y Herman Pauwels demostraron que un análisis más cuidadoso de la mecánica cuántica de una unión, bajo ciertos supuestos, da una característica de corriente versus voltaje de la forma

${\displaystyle I_{\text{D}}(V)=-qA[F_{i}-2F_{o}(V)],}$

donde A es el área de la sección transversal de la unión, y F _i es el número de fotones entrantes por unidad de área, por unidad de tiempo, con energía sobre la energía de la banda prohibida, y F _o ( V ) son los fotones salientes, dados por ^[7]

${\displaystyle F_{o}(V)=\int _{\nu _{g}}^{\infty }{\frac {1}{\exp \left({\frac {h\nu -qV}{kT_{c}}}\right)-1}}{\frac {2\pi \nu ^{2}}{c^{2}}}\,d\nu .}$

El factor de 2 que multiplica el flujo saliente es necesario porque los fotones se emiten desde ambos lados, pero se supone que el flujo entrante proviene de un solo lado. Aunque el análisis se realizó para células fotovoltaicas bajo iluminación, también se aplica cuando la iluminación es simplemente radiación térmica de fondo, siempre que se utilice un factor de 2 también para este flujo entrante. El análisis proporciona una expresión más rigurosa para los diodos ideales en general, excepto que supone que la célula es lo suficientemente gruesa como para poder producir este flujo de fotones. Cuando la iluminación es simplemente radiación térmica de fondo, la característica es

${\displaystyle I_{\text{D}}(V)=2q[F_{o}(V)-F_{o}(0)].}$

Obsérvese que, a diferencia de la ley de Shockley, la corriente tiende al infinito a medida que el voltaje tiende al voltaje de brecha hν _g /q . Por supuesto, esto requeriría un espesor infinito para proporcionar una cantidad infinita de recombinación.

Esta ecuación se revisó recientemente para tener en cuenta la nueva escala de temperatura en la corriente revisada utilizando un modelo reciente ^[8] para diodos Schottky basados ​​en materiales 2D. ${\displaystyle I_{\text{S}}}$

Referencias

1. McAllister, Willy (14 de noviembre de 2022). "Ecuación del diodo". Spinning Numbers . Consultado el 17 de enero de 2023 .
2. William Shockley (julio de 1949). "La teoría de las uniones pn en semiconductores y transistores de unión pn". The Bell System Technical Journal . 28 (3): 435–489. doi :10.1002/j.1538-7305.1949.tb03645.x.. Ecuación 3.13 en la página 454.
3. Ibíd. pág. 456.
4. FS Goucher; et al. (diciembre de 1950). "Teoría y experimento para una unión pn de germanio". Physical Review . 81 . doi :10.1103/PhysRev.81.637.2.
5. WG Pfann ; W. van Roosbroek (noviembre de 1954). "Fuentes de energía de unión pn fotoeléctricas y radiactivas". Revista de Física Aplicada . 25 (11): 1422–1434. Bibcode :1954JAP....25.1422P. doi :10.1063/1.1721579.
6. https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_46.html ^{[ URL básica ]}
7. A. De Vos y H. Pauwels (1981). "Sobre el límite termodinámico de la conversión de energía fotovoltaica". Appl. Phys . 25 (2): 119–125. Bibcode :1981ApPhy..25..119D. doi :10.1007/BF00901283. S2CID  119693148.. Apéndice.
8. YS Ang, HY Yang y LK Ang (agosto de 2018). "Escalamiento universal en heteroestructuras laterales de Schottky a escala nanométrica". Phys. Rev. Lett. 121 (5): 056802. arXiv : 1803.01771 . doi :10.1103/PhysRevLett.121.056802. PMID  30118283.