Consecuencia mirabilis

Patrón de razonamiento en lógica proposicional

La consecuencia mirabilis ( del latín «consecuencia admirable»), también conocida como ley de Clavius , se utiliza en la lógica tradicional ypara establecer la verdad de una proposición a partir de la inconsistencia de su negación. ^[1] Por lo tanto, está relacionada con el reductio ad absurdum , pero puede probar una proposición utilizando solo su propia negación y el concepto de consistencia. Para una formulación más concreta, establece que si una proposición es una consecuencia de su negación, entonces es verdadera, por consistencia. En notación formal:

${\displaystyle (\neg A\to A)\to A}$.

Las variantes más débiles del principio se pueden demostrar en la lógica minimal , pero el principio completo en sí no se puede demostrar ni siquiera en la lógica intuicionista .

Historia

Consequentia mirabilis fue un patrón de argumentación popular en la Europa del siglo XVII que apareció por primera vez en un fragmento del Protrepticus de Aristóteles : "Si debemos filosofar, entonces debemos filosofar; y si no debemos filosofar, entonces debemos filosofar (es decir, para justificar este punto de vista); en cualquier caso, por lo tanto, debemos filosofar". ^[2]

Barnes afirma de paso que el término consequentia mirabilis se refiere únicamente a la inferencia de la proposición a partir de la inconsistencia de su negación, y que el término Lex Clavia (o Ley de Clavius) se refiere a la inferencia de la negación de la proposición a partir de la inconsistencia de la proposición. ^[3]

Derivaciones

Lógica mínima

Lo que sigue muestra qué formas débiles de la ley aún se mantienen en la lógica mínima, en la que faltan tanto el principio del tercio excluido como el principio de explosión .

Variantes más débiles

El teorema de Frege establece

${\displaystyle {\big (}B\rightarrow (C\to D){\big )}\to {\Big (}(B\rightarrow C)\to (B\to D){\Big )}}$

Porque esta es una forma de introducción de la negación , y luego, para y utilizando la ley de identidad , se reduce a ${\displaystyle D=\bot }$ ${\displaystyle B=C}$

${\displaystyle {\big (}B\rightarrow \neg B{\big )}\rightarrow \neg B}$

Ahora bien , para , se sigue que . Por introducción implícita , esto es de hecho una equivalencia, ${\displaystyle B=\neg A}$ ${\displaystyle (\neg A\to \neg \neg A)\to \neg \neg A}$

${\displaystyle (\neg A\to \neg \neg A)\leftrightarrow \neg \neg A}$

En la lógica mínima, la primera doble negación en la implicación original también se puede eliminar opcionalmente, lo que debilita la afirmación de dirección hacia adelante a . Aquí, la consequentia mirabilis se cumple siempre que . Por supuesto, al adoptar el principio de eliminación de la doble negación para todas las proposiciones, la consequentia mirabilis también se sigue simplemente porque esta última devuelve la lógica mínima a la lógica clásica completa. ${\displaystyle (\neg A\to A)\to \neg \neg A}$ ${\displaystyle \neg \neg A\leftrightarrow A}$

Esto demuestra que ya la lógica mínima valida que una proposición no puede ser rechazada exactamente si esto está implícito en su negación, y que esto es así exactamente cuando está implícito tanto en como en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle \neg \neg A}$

La forma débil también puede considerarse equivalente al principio de no contradicción . Para ello, observemos primero que, utilizando el modus ponens y la introducción de implicación, el principio es equivalente a . La afirmación se deduce ahora de , es decir, del hecho de que existen caracterizaciones equivalentes de dos proposiciones que son mutuamente excluyentes. ${\displaystyle (\neg A\to A)\to \neg (\neg A)}$ ${\displaystyle \neg {\big (}A\land \neg A{\big )}}$ ${\displaystyle \neg {\big (}(\neg A\to A)\land (\neg A){\big )}}$ ${\displaystyle (B\to \neg C)\leftrightarrow \neg (B\land C)}$

Equivalencia con el tercio excluido

La negación de cualquier disyunción de tercero excluido implica la disyunción misma. De la forma débil anterior se sigue que la afirmación de tercero excluido con doble negación es válida, en lógica mínima. Asimismo, este argumento muestra cómo la consecuencia mirabilis completa implica tercero excluido.

El siguiente argumento muestra que lo inverso también es válido. Un principio relacionado con el análisis de casos puede formularse de la siguiente manera: Si tanto y cada uno implica , y cualquiera de ellos debe cumplirse, entonces se sigue. Formalmente, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\big (}(B\to A)\land (C\to A)\land (B\lor C){\big )}\to A}$

Para y , el principio de identidad ahora implica ${\displaystyle B=A}$ ${\displaystyle C=\neg A}$

${\displaystyle {\big (}(\neg A\to A)\land (A\lor \neg A){\big )}\to A}$

Siempre que el segundo conjuntivo del antecedente, , es verdadero, entonces es la instancia del principio. ${\displaystyle A\lor \neg A}$

Lógica intuicionista

Se tiene que implica . Por eliminación de conjunción , esto es de hecho una equivalencia. En particular, se tiene ${\displaystyle (A\to B)\to A}$ ${\displaystyle (A\to B)\to (A\land B)}$

${\displaystyle {\big (}\neg A\to A{\big )}\leftrightarrow {\big (}\neg A\to (A\land \bot ){\big )}}$

La mano derecha de esto también implica , lo que da otra demostración de cómo la eliminación de la doble negación implica consequentia mirabilis, en lógica mínima. ${\displaystyle \neg \neg A}$

En lógica intuicionista, el principio de explosión en sí mismo puede formularse como , y por lo tanto . Así que aquí, ${\displaystyle \bot \to (A\land \bot )}$ ${\displaystyle \bot \leftrightarrow (A\land \bot )}$

${\displaystyle {\big (}\neg A\to A{\big )}\leftrightarrow \neg \neg A}$

Lógica clásica

Se ha establecido cómo la consequentia mirabilis se sigue de la eliminación de la doble negación en la lógica minimal, y cómo es equivalente al tercio excluido. De hecho, también se puede establecer utilizando la forma proposicional clásicamente válida del silogismo disyuntivo inverso encadenado junto con el principio de eliminación de la doble negación en la forma . ${\displaystyle (B\to A)\to (\neg B\lor A)}$ ${\displaystyle (\neg \neg A\lor A)\to A}$

En relación con la última derivación intuicionista dada anteriormente, las consequentia mirabilis también se deducen como el caso especial de la ley de Pierce.

${\displaystyle {\big (}(A\to B)\to A{\big )}\to A}$

para . Se puede consultar dicho artículo para conocer más equivalencias relacionadas. ${\displaystyle B=\bot }$

Véase también

• Ex falso quodlibet
• Tercio sin fecha
• Ley de Peirce

Referencias

1. Sainsbury, Richard. Paradojas . Cambridge University Press, 2009, pág. 128.
2. Kneale, William (1957). "Aristóteles y la Consequentia Mirabilis". Revista de Estudios Helénicos . 77 (1): 62–66. doi :10.2307/628635. JSTOR  628635. S2CID  163283107.
3. Barnes, Jonathan. Los filósofos presocráticos: los argumentos de los filósofos . Routledge, 1982, pág. 217 (pág. 277 en la edición de 1979).