Susceptibilidad eléctrica

Grado de polarización

En electricidad ( electromagnetismo ), la susceptibilidad eléctrica ( ; latín : susceptibilis "receptivo") es una constante de proporcionalidad adimensional que indica el grado de polarización de un material dieléctrico en respuesta a un campo eléctrico aplicado . Cuanto mayor sea la susceptibilidad eléctrica, mayor será la capacidad de un material para polarizarse en respuesta al campo y, por lo tanto, reducir el campo eléctrico total dentro del material (y almacenar energía). Es de esta manera que la susceptibilidad eléctrica influye en la permitividad eléctrica del material y así influye en muchos otros fenómenos en ese medio, desde la capacitancia de los condensadores hasta la velocidad de la luz . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \chi _{\text{e}}}$

Definición de dieléctricos lineales

Si un material dieléctrico es un dieléctrico lineal, entonces la susceptibilidad eléctrica se define como la constante de proporcionalidad (que puede ser una matriz) que relaciona un campo eléctrico E con la densidad de polarización dieléctrica inducida P tal que ^{[3] [4]}

$${\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{\text{e}}{\mathbf {E} },}$$

• ${\displaystyle \mathbf {P} }$es la densidad de polarización;
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad eléctrica del espacio libre (constante eléctrica);
• ${\displaystyle \chi _{\text{e}}}$es la susceptibilidad eléctrica;
• ${\displaystyle \mathbf {E} }$es el campo eléctrico.

En materiales donde la susceptibilidad es anisotrópica (diferente según la dirección), la susceptibilidad se representa como una matriz conocida como tensor de susceptibilidad. Muchos dieléctricos lineales son isotrópicos, pero, no obstante, es posible que un material muestre un comportamiento que sea tanto lineal como anisotrópico, o que un material sea no lineal pero isotrópico. La susceptibilidad anisotrópica pero lineal es común en muchos cristales. ^[3]

La susceptibilidad está relacionada con su permitividad relativa (constante dieléctrica) por ${\displaystyle \varepsilon _{\textrm {r}}}$

$${\displaystyle \chi _{\text{e}}\ =\varepsilon _{\text{r}}-1}$$

$${\displaystyle \chi _{\text{e}}\ =0.}$$

Al mismo tiempo, el desplazamiento eléctrico D está relacionado con la densidad de polarización P mediante la siguiente relación: ^[3]

$${\displaystyle \mathbf {D} \ =\ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \ =\ \varepsilon _{0}(1+\chi _{\text{e}})\mathbf {E} \ =\ \varepsilon _{\text{r}}\varepsilon _{0}\mathbf {E} \ =\ \varepsilon \mathbf {E} }$$

• ${\displaystyle \varepsilon \ =\ \varepsilon _{\text{r}}\varepsilon _{0}}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{\text{r}}\ =\ 1+\chi _{\text{e}}}$

Polarizabilidad molecular

Existe un parámetro similar para relacionar la magnitud del momento dipolar inducido p de una molécula individual con el campo eléctrico local E que indujo el dipolo. Este parámetro es la polarizabilidad molecular ( α ), y el momento dipolar resultante del campo eléctrico local E _local viene dado por:

$${\displaystyle \mathbf {p} =\varepsilon _{0}\alpha \mathbf {E_{\text{local}}} }$$

Sin embargo, esto introduce una complicación, ya que localmente el campo puede diferir significativamente del campo aplicado en general. Tenemos:

$${\displaystyle \mathbf {P} =N\mathbf {p} =N\varepsilon _{0}\alpha \mathbf {E} _{\text{local}},}$$

PN

$${\displaystyle \chi _{\text{e}}\mathbf {E} =N\alpha \mathbf {E} _{\text{local}}}$$

Así, sólo si el campo local es igual al campo ambiental podemos escribir:

$${\displaystyle \chi _{\text{e}}=N\alpha .}$$

De lo contrario, habría que encontrar una relación entre el campo local y el macroscópico. En algunos materiales, la relación Clausius-Mossotti se mantiene y se lee

$${\displaystyle {\frac {\chi _{\text{e}}}{3+\chi _{\text{e}}}}={\frac {N\alpha }{3}}.}$$

Ambigüedad en la definición

La definición de polarizabilidad molecular depende del autor. En la definición anterior,

$${\displaystyle \mathbf {p} =\varepsilon _{0}\alpha \mathbf {E_{\text{local}}} ,}$$

${\displaystyle p}$^3[5] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \mathbf {p} =\alpha \mathbf {E_{\text{local}}} .}$$

En esta segunda definición, la polarizabilidad tendría la unidad SI de Cm ² /V. Existe otra definición más ^[5] donde y se expresan en el sistema cgs y todavía se define como ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \mathbf {p} =\alpha \mathbf {E_{\text{local}}} .}$$

Usando las unidades cgs se obtiene la dimensión de un volumen, como en la primera definición, pero con un valor menor . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 4\pi }$

Susceptibilidad no lineal

En muchos materiales, la polarizabilidad comienza a saturarse con valores elevados de campo eléctrico. Esta saturación puede modelarse mediante una susceptibilidad no lineal . Estas susceptibilidades son importantes en la óptica no lineal y conducen a efectos como la generación de segundos armónicos (como los que se utilizan para convertir la luz infrarroja en luz visible, en los punteros láser verdes ).

La definición estándar de susceptibilidades no lineales en unidades del SI es mediante una expansión de Taylor de la reacción de polarización al campo eléctrico: ^[6]

$${\displaystyle P=P_{0}+\varepsilon _{0}\chi ^{(1)}E+\varepsilon _{0}\chi ^{(2)}E^{2}+\varepsilon _{0}\chi ^{(3)}E^{3}+\cdots .}$$

ferroeléctricos(m/V) ^{n −1} ${\displaystyle P_{0}=0}$ ${\displaystyle \chi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \chi ^{(n)}}$

Las susceptibilidades no lineales se pueden generalizar a materiales anisotrópicos en los que la susceptibilidad no es uniforme en todas las direcciones. En estos materiales, cada susceptibilidad se convierte en un tensor de ( n + 1 ) grados . ${\displaystyle \chi ^{(n)}}$

Dispersión y causalidad

Gráfico de la constante dieléctrica en función de la frecuencia que muestra varias resonancias y mesetas, que indican los procesos que responden en la escala de tiempo de un período . Esto demuestra que es útil pensar en la susceptibilidad en términos de su transformada de Fourier.

En general, un material no puede polarizarse instantáneamente en respuesta a un campo aplicado, por lo que la formulación más general en función del tiempo es

$${\displaystyle \mathbf {P} (t)=\varepsilon _{0}\int _{-\infty }^{t}\chi _{\text{e}}(t-t')\mathbf {E} (t')\,\mathrm {d} t'.}$$

Es decir, la polarización es una convolución del campo eléctrico en momentos anteriores con susceptibilidad dependiente del tiempo dada por . El límite superior de esta integral también se puede extender hasta el infinito si se define para . Una respuesta instantánea corresponde a la susceptibilidad a la función delta de Dirac . ${\displaystyle \chi _{\text{e}}(\Delta t)}$ ${\displaystyle \chi _{\text{e}}(\Delta t)=0}$ ${\displaystyle \Delta t<0}$ ${\displaystyle \chi _{\text{e}}(\Delta t)=\chi _{\text{e}}\delta (\Delta t)}$

En un sistema lineal es más conveniente tomar la transformada de Fourier y escribir esta relación en función de la frecuencia. Debido al teorema de convolución , la integral se convierte en un producto,

$${\displaystyle \mathbf {P} (\omega )=\varepsilon _{0}\chi _{\text{e}}(\omega )\mathbf {E} (\omega ).}$$

Esto tiene una forma similar a la relación Clausius-Mossotti : ^[7]

$${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )=\varepsilon _{0}{\frac {N\alpha (\mathbf {r} )}{1-{\frac {1}{3}}N(\mathbf {r} )\alpha (\mathbf {r} )}}\mathbf {E} (\mathbf {r} )=\varepsilon _{0}\chi _{\text{e}}(\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$$

Esta dependencia de la frecuencia de la susceptibilidad conduce a la dependencia de la frecuencia de la permitividad. La forma de la susceptibilidad con respecto a la frecuencia caracteriza las propiedades de dispersión del material.

Además, el hecho de que la polarización solo pueda depender del campo eléctrico en momentos anteriores (es decir, para ), una consecuencia de la causalidad , impone restricciones de Kramers-Kronig a la susceptibilidad . ${\displaystyle \chi _{\text{e}}(\Delta t)=0}$ ${\displaystyle \Delta t<0}$ ${\displaystyle \chi _{\text{e}}(0)}$

Ver también

• Aplicación de la teoría del tensor en física.
• Susceptibilidad magnética
• ecuaciones de maxwell
• Relación Clausius-Mossotti
• Función de respuesta lineal
• Relaciones Verde-Kubo

Referencias

1. "Susceptibilidad eléctrica". Enciclopedia Británica .
2. Cardarelli, François (2000-2008). Manual de materiales: una referencia de escritorio concisa (2ª ed.). Londres: Springer-Verlag . págs. 524 (sección 8.1.16). doi :10.1007/978-1-84628-669-8. ISBN 978-1-84628-668-1.
3. Griffiths, David J (2017). Introducción a la electrodinámica (4 ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 181-190.
4. Hombre libre, Richard; Rey James; Lafyatis, Gregorio (2019). "Fundamentos de la electricidad y el magnetismo". Radiación electromagnética. Prensa de la Universidad de Oxford. doi :10.1093/oso/9780198726500.003.0001. ISBN 978-0-19-872650-0.
5. Manual de química y física del CRC (PDF) (84 ed.). CDN. págs. 10-163. Archivado desde el original (PDF) el 6 de octubre de 2016 . Consultado el 19 de agosto de 2016 .
6. Carnicero, Paul N.; Cotter, David (1990). Los elementos de la óptica no lineal . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/CBO9781139167994. ISBN 9781139167994.
7. Hombre libre, Richard; Rey James; Lafyatis, Gregory (2019), "Fundamentos de la electricidad y el magnetismo", Radiación electromagnética , Oxford: Oxford University Press, doi :10.1093/oso/9780198726500.001.0001/oso-9780198726500-chapter-1#oso-9780198726500-chapter-1- displaymaths-20 (inactivo el 31 de enero de 2024), ISBN 978-0-19-872650-0, recuperado el 18 de febrero de 2022{{citation}}: CS1 maint: DOI inactive as of January 2024 (link)