Control no lineal

Teoría de control para sistemas no lineales o variables en el tiempo.

Un sistema de control de retroalimentación . Se desea controlar un sistema (a menudo llamado planta ) para que su salida siga una señal de referencia deseada . Un sensor monitorea la salida y un controlador resta la salida real de la salida de referencia deseada y aplica esta señal de error al sistema para acercar la salida a la referencia. En un sistema de control no lineal, al menos uno de los bloques, sistema, sensor o controlador, es no lineal.

La teoría del control no lineal es el área de la teoría del control que se ocupa de sistemas que son no lineales , variables en el tiempo o ambos. La teoría del control es una rama interdisciplinaria de la ingeniería y las matemáticas que se ocupa del comportamiento de los sistemas dinámicos con entradas y de cómo modificar la salida mediante cambios en la entrada mediante retroalimentación , avance o filtrado de señales . El sistema a controlar se denomina " planta ". Una forma de hacer que la salida de un sistema siga una señal de referencia deseada es comparar la salida de la planta con la salida deseada y proporcionar retroalimentación a la planta para modificar la salida y acercarla a la salida deseada.

La teoría del control se divide en dos ramas. La teoría del control lineal se aplica a sistemas formados por dispositivos que obedecen al principio de superposición . Se rigen por ecuaciones diferenciales lineales . Una subclase importante son los sistemas que además tienen parámetros que no cambian con el tiempo, llamados sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). Estos sistemas pueden resolverse mediante potentes técnicas matemáticas en el dominio de la frecuencia de gran generalidad, como la transformada de Laplace , la transformada de Fourier , la transformada Z , el diagrama de Bode , el lugar geométrico de las raíces y el criterio de estabilidad de Nyquist .

La teoría del control no lineal cubre una clase más amplia de sistemas que no obedecen al principio de superposición. Se aplica a más sistemas del mundo real, porque todos los sistemas de control reales son no lineales. Estos sistemas suelen estar gobernados por ecuaciones diferenciales no lineales . Las técnicas matemáticas que se han desarrollado para manejarlos son más rigurosas y mucho menos generales, aplicándose a menudo sólo a categorías estrechas de sistemas. Estos incluyen la teoría del ciclo límite , los mapas de Poincaré , la teoría de la estabilidad de Lyapunov y las funciones descriptivas . Si sólo son de interés soluciones cercanas a un punto estable, los sistemas no lineales a menudo se pueden linealizar aproximandolos mediante un sistema lineal obtenido expandiendo la solución no lineal en una serie , y luego se pueden utilizar técnicas lineales. ^[1] Los sistemas no lineales a menudo se analizan utilizando métodos numéricos en computadoras , por ejemplo simulando su funcionamiento usando un lenguaje de simulación . Incluso si la planta es lineal, un controlador no lineal a menudo puede tener características atractivas como una implementación más simple, una velocidad más rápida, más precisión o una energía de control reducida, que justifican el procedimiento de diseño más difícil.

Un ejemplo de un sistema de control no lineal es un sistema de calefacción controlado por termostato . Un sistema de calefacción de edificio, como una caldera, tiene una respuesta no lineal a los cambios de temperatura; está "encendido" o "apagado", no tiene el control fino en respuesta a las diferencias de temperatura que tendría un dispositivo proporcional (lineal). Por lo tanto, el calefactor está apagado hasta que la temperatura cae por debajo del punto de ajuste de "encendido" del termostato, cuando se enciende. Debido al calor agregado por el horno, la temperatura aumenta hasta que alcanza el punto de ajuste de "apagado" del termostato, que apaga el horno y el ciclo se repite. Este ciclo de la temperatura alrededor de la temperatura deseada se denomina ciclo límite y es característico de los sistemas de control no lineales.

Propiedades de los sistemas no lineales.

Algunas propiedades de los sistemas dinámicos no lineales son

• No siguen el principio de superposición (linealidad y homogeneidad).
• Pueden tener múltiples puntos de equilibrio aislados.
• Pueden exhibir propiedades tales como ciclo límite , bifurcación y caos .
• Tiempo de escape finito: Es posible que las soluciones de sistemas no lineales no existan en todos los tiempos.

Análisis y control de sistemas no lineales.

Existen varias técnicas bien desarrolladas para analizar sistemas de retroalimentación no lineales:

• Método de función descriptiva
• Método del plano de fase
• Análisis de estabilidad de Lyapunov
• Método de perturbación singular
• El criterio de Popov y el criterio del círculo para la estabilidad absoluta.
• Teorema del colector central
• Teorema de pequeña ganancia
• Análisis de pasividad

También existen técnicas de diseño de control para sistemas no lineales. Estas se pueden subdividir en técnicas que intentan tratar el sistema como un sistema lineal en un rango limitado de operación y utilizan técnicas de diseño lineal (bien conocidas) para cada región:

• Ganar programación

Aquellos que intentan introducir retroalimentación auxiliar no lineal de tal manera que el sistema pueda ser tratado como lineal para propósitos de diseño de control:

• Linealización de retroalimentación

Y métodos basados ​​en Lyapunov :

• Rediseño de Lyapunov
• Función de control-Lyapunov
• Amortiguación no lineal
• Retroceder
• Control de modo deslizante

Análisis de retroalimentación no lineal: el problema de Lur'e

Diagrama de bloques del problema de Lur'e

AI Lur'e formuló uno de los primeros problemas de análisis de sistemas de retroalimentación no lineal . Los sistemas de control descritos por el problema de Lur'e tienen una ruta directa que es lineal e invariante en el tiempo, y una ruta de retroalimentación que contiene una no linealidad estática sin memoria, posiblemente variable en el tiempo.

La parte lineal se puede caracterizar por cuatro matrices ( A , B , C , D ), mientras que la parte no lineal es Φ( y ) con (una no linealidad del sector). ${\displaystyle {\frac {\Phi (y)}{y}}\in [a,b],\quad a<b\quad \forall y}$

Problema de estabilidad absoluta

Considerar:

1. ( A , B ) es controlable y ( C , A ) es observable
2. dos números reales a , b con a  <  b , definiendo un sector para la función Φ

El problema de Lur'e (también conocido como problema de estabilidad absoluta) consiste en derivar condiciones que involucran solo la matriz de transferencia H ( s ) y { a , b } tales que x  = 0 es un equilibrio globalmente uniforme y asintóticamente estable del sistema.

Hay dos conjeturas erróneas bien conocidas sobre el problema de la estabilidad absoluta:

• La conjetura de Aizerman
• La conjetura de Kalman .

Gráficamente, estas conjeturas se pueden interpretar en términos de restricciones gráficas sobre la gráfica de Φ( y ) x y o también sobre la gráfica de d Φ/ dy x Φ/ y . ^[2] Hay contraejemplos a las conjeturas de Aizerman y Kalman, tales como que la no linealidad pertenece al sector de la estabilidad lineal y el equilibrio estable único coexiste con una solución periódica estable: la oscilación oculta .

Hay dos teoremas principales relacionados con el problema de Lur'e que dan condiciones suficientes para una estabilidad absoluta:

• El criterio del círculo (una extensión del criterio de estabilidad de Nyquist para sistemas lineales)
• El criterio de Popov .

Resultados teóricos en control no lineal.

Teorema de Frobenius

El teorema de Frobenius es un resultado profundo de la geometría diferencial. Cuando se aplica al control no lineal, dice lo siguiente: Dado un sistema de la forma

${\displaystyle {\dot {x}}=\sum _{i=1}^{k}f_{i}(x)u_{i}(t)\,}$

donde , son campos vectoriales pertenecientes a una distribución y son funciones de control, las curvas integrales de están restringidas a una variedad de dimensión si y es una distribución involutiva . ${\displaystyle x\in R^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle u_{i}(t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \operatorname {span} (\Delta )=m}$ ${\displaystyle \Delta }$

Ver también

• Pasivación de retroalimentación
• Bucle de fase bloqueada
• Propiedad de control pequeño

Referencias

1. punto de recorte
2. Naderi, T.; Materassi, D.; Innocenti, G.; Genesio, R. (2019). "Revisando las conjeturas de Kalman y Aizerman mediante una interpretación gráfica". Transacciones IEEE sobre control automático . 64 (2): 670–682. doi :10.1109/TAC.2018.2849597. ISSN  0018-9286. S2CID  59553748.

Otras lecturas

• Lur'e, AI; Póstnikov, VN (1944). "К теории устойчивости регулируемых систем" [Sobre la teoría de la estabilidad de los sistemas de control]. Prikladnaya Matematika I Mekhanika (en ruso). 8 (3): 246–248.
• Vidyasagar, M. (1993). Análisis de sistemas no lineales (2ª ed.). Acantilados de Englewood: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-623463-0.
• Isidori, A. (1995). Sistemas de control no lineales (3ª ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-19916-8.
• Khalil, Hong Kong (2002). Sistemas no lineales (3ª ed.). Río Upper Saddle: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-067389-3.
• Brogliato, B.; Lozano, R.; Maschke, B.; Egeland, O. (2020). Análisis y control de sistemas disipativos (3ª ed.). Londres: Springer.
• Leónov GA; Kuznetsov NV (2011). "Algoritmos para la búsqueda de oscilaciones ocultas en los problemas de Aizerman y Kalman" (PDF) . Doklady Matemáticas . 84 (1): 475–481. doi :10.1134/S1064562411040120. S2CID  120692391.
• Bragin VO; Vagaitsev VI; Kuznetsov NV; Leónov GA (2011). "Algoritmos para encontrar oscilaciones ocultas en sistemas no lineales. Las conjeturas de Aizerman y Kalman y los circuitos de Chua" (PDF) . Revista Internacional de Ciencias de la Computación y Sistemas . 50 (5): 511–543. doi :10.1134/S106423071104006X. S2CID  21657305.
• Leonov GA, Kuznetsov NV (2011). Sergio, Bittanti (ed.). "Métodos analítico-numéricos para la investigación de oscilaciones ocultas en sistemas de control no lineales" (PDF) . Volúmenes de procedimientos de la IFAC (IFAC-PapersOnline) . Actas del 18º Congreso Mundial de la IFAC. 18 (1): 2494–2505. doi :10.3182/20110828-6-IT-1002.03315. ISBN 9783902661937.

enlaces externos

• Funciones de Wolfram Language para sistemas de control no lineales.