Elipsoide de estrés de Lamé

Representación geométrica de fuerzas internas en un material continuo

El elipsoide de tensiones de Lamé es una alternativa al círculo de Mohr para la representación gráfica del estado de tensiones en un punto . La superficie del elipsoide representa el lugar geométrico de los puntos finales de todos los vectores de tensiones que actúan sobre todos los planos que pasan por un punto dado en el cuerpo continuo. En otras palabras, los puntos finales de todos los vectores de tensiones en un punto dado en el cuerpo continuo se encuentran en la superficie del elipsoide de tensiones, es decir, el radio-vector desde el centro del elipsoide, ubicado en el punto material en consideración, hasta un punto en la superficie del elipsoide es igual al vector de tensiones en algún plano que pasa por el punto. En dos dimensiones, la superficie se representa mediante una elipse .

Una vez conocidas las ecuaciones del elipsoide, se puede obtener la magnitud del vector de tensión para cualquier plano que pase por ese punto.

Para determinar la ecuación del elipsoide de esfuerzos se consideran los ejes de coordenadas tomados en las direcciones de los ejes principales, es decir, en un espacio de esfuerzos principal. Así, las coordenadas del vector de esfuerzos en un plano con vector unitario normal que pasa por un punto dado se representan por ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\!}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$ ${\displaystyle P\,\!}$

${\displaystyle T_{1}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{1}n_{1},\qquad T_{2}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{2}n_{2},\qquad T_{3}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{3}n_{3}\,}$

Y sabiendo que es un vector unitario tenemos ${\displaystyle \mathbf {n} \,\!}$

${\displaystyle n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}={\frac {T_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}+{\frac {T_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}+{\frac {T_{3}^{2}}{\sigma _{3}^{2}}}=1\,}$

que es la ecuación de un elipsoide centrado en el origen del sistema de coordenadas, con las longitudes de los semiejes del elipsoide iguales a las magnitudes de los esfuerzos principales, es decir, las intersecciones del elipsoide con los ejes principales son . ${\displaystyle \pm \sigma _{1},\pm \sigma _{2},\pm \sigma _{3}\,\!}$

• El primer invariante de tensión es directamente proporcional a la suma de los radios principales del elipsoide. ${\displaystyle I_{1}\,\!}$
• El segundo invariante de tensión es directamente proporcional a la suma de las tres áreas principales del elipsoide. Las tres áreas principales son las elipses en cada plano principal. ${\displaystyle I_{2}\,\!}$
• El tercer invariante de tensión es directamente proporcional al volumen del elipsoide. ${\displaystyle I_{3}\,\!}$
• Si dos de las tres tensiones principales son numéricamente iguales el elipsoide de tensiones se convierte en un elipsoide de revolución . ^[1] Por lo tanto, dos áreas principales son elipses y la tercera es un círculo .
• Si todas las tensiones principales son iguales y del mismo signo, el elipsoide de tensiones se convierte en una esfera y se pueden tomar tres direcciones perpendiculares cualesquiera como ejes principales. ^[1]

Sin embargo, el elipsoide de tensiones por sí solo no indica el plano en el que actúa el vector de tracción dado. Solo en el caso en que el vector de tensiones se encuentre a lo largo de una de las direcciones principales es posible conocer la dirección del plano, ya que las tensiones principales actúan perpendicularmente a sus planos. Para encontrar la orientación de cualquier otro plano, utilizamos la superficie directora de tensiones ^[1] o la cuádrica directora de tensiones ^[1] representada por la ecuación

${\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{\sigma _{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{\sigma _{2}}}+{\frac {x_{3}^{2}}{\sigma _{3}}}=1}$

La tensión representada por un radio-vector del elipsoide de tensión actúa sobre un plano orientado paralelo al plano tangente a la superficie directora de tensión en el punto de su intersección con el radio-vector. ^[1]

Referencias

1. Timochenko

Bibliografía

• Timoshenko, Stephen P. ; James Norman Goodier (1970). Teoría de la elasticidad (tercera edición). McGraw-Hill International Editions. ISBN 0-07-085805-5.
• Timoshenko, Stephen P. (1983). Historia de la resistencia de los materiales: con una breve descripción de la historia de la teoría de la elasticidad y la teoría de las estructuras . Dover Books on Physics. Dover Publications. ISBN 0-486-61187-6.