Elemento mayor y elemento menor

Elemento ≥ (o ≤) cada uno de los demás elementos

Diagrama de Hasse del conjunto de divisores de 60, parcialmente ordenado por la relación " divide ". El subconjunto rojo tiene un elemento mayor, a saber, 30, y un elemento menor, a saber, 1. Estos elementos son también elementos máximos y mínimos , respectivamente, del subconjunto rojo. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S=\{1,2,3,5,6,10,15,30\}}$

En matemáticas , especialmente en teoría del orden , el mayor elemento de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado (poset) es un elemento de que es mayor que cualquier otro elemento de . El término menor elemento se define dualmente , es decir, es un elemento de que es menor que cualquier otro elemento de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

Definiciones

Sea un conjunto preordenado y se dice que un elemento es el mayor elemento de si y si también satisface: ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq P.}$ ${\displaystyle g\in P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g\in S}$

${\displaystyle s\leq g}$a pesar de ${\displaystyle s\in S.}$

Al cambiar el lado de la relación que está activado en la definición anterior, se obtiene la definición de un elemento mínimo de. Explícitamente, se dice que un elemento es un elemento mínimo de si y si también satisface: ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle l\in P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle l\in S}$

${\displaystyle l\leq s}$a pesar de ${\displaystyle s\in S.}$

Si también es un conjunto parcialmente ordenado , entonces puede tener como máximo un elemento mayor y como máximo un elemento menor. Siempre que exista un elemento mayor de y sea único, este elemento se denomina el elemento mayor de . La terminología el elemento menor de se define de manera similar. ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Si tiene un elemento mayor (o un elemento menor), entonces este elemento también se llama superior ( o inferior ) de ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle (P,\leq ).}$

Relación con los límites superior e inferior

Los elementos mayores están estrechamente relacionados con los límites superiores .

Sea un conjunto preordenado y sea Un límite superior de en es un elemento tal que y para todos Es importante destacar que no se requiere que un límite superior de en sea un elemento de ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq P.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u\in P}$ ${\displaystyle s\leq u}$ ${\displaystyle s\in S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S.}$

Si entonces es un máximo elemento de si y solo si es un límite superior de en y En particular, cualquier máximo elemento de es también un límite superior de (en ) pero un límite superior de en es un máximo elemento de si y solo si pertenece a En el caso particular donde la definición de " es un límite superior de en " se convierte en: es un elemento tal que y para todo lo cual es completamente idéntico a la definición de máximo elemento dada antes. Por lo tanto es un máximo elemento de si y solo si es un límite superior de en . ${\displaystyle g\in P}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle g\in S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle P=S,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u\in S}$ ${\displaystyle s\leq u}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Si es un límite superior de en que no es un límite superior de en (lo que puede suceder si y solo si ), entonces no puede ser un máximo elemento de (sin embargo, puede ser posible que algún otro elemento sea un máximo elemento de ). En particular, es posible que simultáneamente no tenga un máximo elemento y que exista algún límite superior de en . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u\not \in S}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$

Incluso si un conjunto tiene algunos límites superiores, no necesita tener un elemento mayor, como lo demuestra el ejemplo de los números reales negativos . Este ejemplo también demuestra que la existencia de un límite superior mínimo (el número 0 en este caso) tampoco implica la existencia de un elemento mayor.

Contraste con elementos máximos y máximos locales/absolutos

En el orden de divisibilidad anterior, el subconjunto rojo tiene dos elementos máximos, a saber, 3 y 4, ninguno de los cuales es el mayor. Tiene un elemento mínimo, a saber, 1, que también es su elemento menor. ${\displaystyle S=\{1,2,3,4\}}$

Un elemento mayor de un subconjunto de un conjunto preordenado no debe confundirse con un elemento máximo del conjunto, que son elementos que no son estrictamente más pequeños que cualquier otro elemento del conjunto.

Sea un conjunto preordenado y sea Se dice que un elemento es un elemento maximo de si se cumple la siguiente condición: ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq P.}$ ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle S}$

siempre que satisfaga entonces necesariamente ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle m\leq s,}$ ${\displaystyle s\leq m.}$

Si es un conjunto parcialmente ordenado , entonces es un elemento maximo de si y solo si no existe ningún tal que y Un elemento maximo de se define como un elemento maximo del subconjunto ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle m\leq s}$ ${\displaystyle s\neq m.}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S:=P.}$

Un conjunto puede tener varios elementos máximos sin tener un elemento mayor. Al igual que los límites superiores y los elementos máximos, los elementos mayores pueden no existir.

En un conjunto totalmente ordenado, el elemento máximo y el elemento mayor coinciden; y también se denomina máximo ; en el caso de valores de función también se denomina máximo absoluto , para evitar la confusión con un máximo local . ^[1] Los términos duales son mínimo y mínimo absoluto . Juntos se denominan extremos absolutos . Conclusiones similares se aplican para los elementos mínimos.

Papel de la (in)comparabilidad en la distinción entre elementos mayores y máximos

Una de las diferencias más importantes entre un elemento mayor y un elemento máximo de un conjunto preordenado tiene que ver con los elementos con los que son comparables. Se dice que dos elementos son comparables si o ; se dice que son incomparables si no son comparables. Debido a que los preórdenes son reflexivos (lo que significa que es cierto para todos los elementos ), cada elemento siempre es comparable consigo mismo. En consecuencia, los únicos pares de elementos que podrían ser incomparables son pares distintos . En general, sin embargo, los conjuntos preordenados (e incluso los conjuntos parcialmente ordenados dirigidos ) pueden tener elementos que son incomparables. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle x,y\in P}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\leq x}$ ${\displaystyle x\leq x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Por definición, un elemento es el mayor elemento de si para cada ; por lo tanto, por su propia definición, un mayor elemento de debe, en particular, ser comparable a cada elemento en Esto no se requiere de elementos máximos. No se requiere que los elementos máximos de sean comparables a cada elemento en Esto se debe a que, a diferencia de la definición de "mayor elemento", la definición de "elemento máximo" incluye una importante declaración if . La condición definitoria para ser un elemento máximo de se puede reformular como: ${\displaystyle g\in P}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle s\leq g,}$ ${\displaystyle s\in P}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle m\in P}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$

Para todos los SI (por lo que los elementos que no son comparables con se ignoran), entonces ${\displaystyle s\in P,}$ ${\displaystyle m\leq s}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s\leq m.}$

Ejemplo donde todos los elementos son máximos pero ninguno es el mayor

Supóngase que es un conjunto que contiene al menos dos elementos (distintos) y defina un orden parcial en declarando que si y solo si Si pertenecen a entonces no se cumplen ni , lo que demuestra que todos los pares de elementos distintos (es decir, no iguales) en en son comparables. En consecuencia, no puede tener un elemento máximo (porque un elemento máximo de tendría, en particular, que ser comparable a cada elemento de pero no tiene tal elemento). Sin embargo, cada elemento es un elemento máximo de porque hay exactamente un elemento en que es comparable a y ese elemento es él mismo (que por supuesto, es ). ^{[nota 1]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle i=j.}$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle j\leq i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (S,\leq )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle (S,\leq )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \geq m,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \leq m}$

Por el contrario, si resulta que un conjunto preordenado tiene un elemento mayor , entonces necesariamente será un elemento maximo de y, además, como consecuencia de que el elemento mayor es comparable a cada elemento de si también está parcialmente ordenado, entonces es posible concluir que es el único elemento maximo de Sin embargo, la conclusión de unicidad ya no está garantizada si el conjunto preordenado no está también parcialmente ordenado. Por ejemplo, supongamos que es un conjunto no vacío y definamos un preorden en declarando que siempre se cumple para todos El conjunto preordenado dirigido está parcialmente ordenado si y solo si tiene exactamente un elemento. Todos los pares de elementos de son comparables y cada elemento de es un elemento mayor (y, por lo tanto, también un elemento maximo) de Entonces, en particular, si tiene al menos dos elementos, entonces tiene múltiples elementos mayores distintos . ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (P,\leq ).}$ ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle i,j\in R.}$ ${\displaystyle (R,\leq )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (R,\leq ).}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (R,\leq )}$

Propiedades

En todo caso, sea un conjunto parcialmente ordenado y sea ${\displaystyle (P,\leq )}$ ${\displaystyle S\subseteq P.}$

• Un conjunto puede tener como máximo un elemento mayor. ^{[nota 2]} Por lo tanto, si un conjunto tiene un elemento mayor, entonces es necesariamente único. ${\displaystyle S}$
• Si existe, entonces el elemento más grande de es un límite superior de que también está contenido en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
• Si es el mayor elemento de entonces es también un elemento máximo de ^{[nota 3]} y además, cualquier otro elemento máximo de será necesariamente igual a ^{[nota 4]} ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle g.}$
  • Por lo tanto, si un conjunto tiene varios elementos máximos, entonces no puede tener un elemento mayor. ${\displaystyle S}$
• Si satisface la condición de cadena ascendente , un subconjunto de tiene un elemento mayor si, y sólo si , tiene un elemento máximo. ^{[nota 5]} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$
• Cuando la restricción de a es un orden total ( en la imagen superior hay un ejemplo), entonces las nociones de elemento máximo y elemento mayor coinciden. ^{[nota 6]} ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\{1,2,4\}}$
  • Sin embargo, esto no es una condición necesaria, pues siempre que hay un elemento mayor, las nociones también coinciden, como se dijo anteriormente. ${\displaystyle S}$
• Si las nociones de elemento máximo y elemento mayor coinciden en cada subconjunto de dos elementos de entonces es un orden total en ^{[nota 7]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle P.}$

Condiciones suficientes

• Una cadena finita siempre tiene un elemento mayor y un elemento menor.

Arriba y abajo

El elemento mínimo y máximo de todo el conjunto parcialmente ordenado desempeñan un papel especial y también se denominan inferior (⊥) y superior (⊤), o cero (0) y unidad (1), respectivamente. Si ambos existen, el conjunto parcial se denomina conjunto parcial acotado . La notación de 0 y 1 se utiliza preferentemente cuando el conjunto parcial es un retículo complementado y cuando no es probable que haya confusión, es decir, cuando no se habla de órdenes parciales de números que ya contienen elementos 0 y 1 diferentes de inferior y superior. La existencia de elementos mínimos y máximos es una propiedad de completitud especial de un orden parcial.

Puede encontrar más información introductoria en el artículo sobre la teoría del orden .

Ejemplos

Diagrama de Hasse del ejemplo 2

• El subconjunto de números enteros no tiene límite superior en el conjunto de números reales . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Sea la relación en dada por El conjunto tiene límites superiores y pero no tiene límite superior mínimo, ni elemento máximo (cf. imagen). ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$ ${\displaystyle a\leq c,}$ ${\displaystyle a\leq d,}$ ${\displaystyle b\leq c,}$ ${\displaystyle b\leq d.}$ ${\displaystyle \{a,b\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d,}$
• En los números racionales , el conjunto de números cuyo cuadrado es menor que 2 tiene límites superiores pero no tiene máximo ni mínimo.
• En el conjunto de números menores que 1 tiene un límite superior mínimo, es decir, 1, pero no tiene un elemento mayor. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
• En el conjunto de números menores o iguales a 1 hay un elemento mayor, a saber, 1, que es también su límite superior mínimo. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
• En el orden del producto , el conjunto de pares con no tiene límite superior. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle 0<x<1}$
• En el orden lexicográfico , este conjunto tiene límites superiores, por ejemplo, no tiene límite superior mínimo. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (1,0).}$

Véase también

• Esencial supremo y esencial ínfimo
• Objetos iniciales y terminales
• Elementos maximos y minimos
• Límite superior y límite inferior (límite mínimo)
• Límites superior e inferior
• Buen orden : un orden no estricto tal que cada conjunto no vacío tiene un elemento mínimo

Notas

1. Por supuesto, en este ejemplo particular, sólo existe un elemento en que es comparable y que es necesariamente él mismo, por lo que la segunda condición "y " era redundante. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \geq m,}$
2. Si y son ambos mayores, entonces y y por lo tanto por antisimetría . ${\displaystyle g_{1}}$ ${\displaystyle g_{2}}$ ${\displaystyle g_{1}\leq g_{2}}$ ${\displaystyle g_{2}\leq g_{1},}$ ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$
3. Si es el mayor elemento de y entonces Por antisimetría , esto hace que ( y ) sea imposible. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s\in S,}$ ${\displaystyle s\leq g.}$ ${\displaystyle g\leq s}$ ${\displaystyle g\neq s}$
4. Si es un elemento maximo, entonces dado que es el mayor, por lo tanto dado que es maximo. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\leq g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle M=g}$ ${\displaystyle M}$
5. Solo si: ver arriba. — Si: Supongamos por contradicción que tiene solo un elemento maximalista, pero ningún elemento mayor. Como no es mayor, debe existir alguno que sea incomparable con Por lo tanto no puede ser maximalista, es decir, debe cumplirse para algún Este último también debe ser incomparable con, ya que contradice la maximalidad de mientras que contradice la incomparabilidad de y Repitiendo este argumento, se puede encontrar una cadena ascendente infinita (tal que cada uno sea incomparable con y no maximalista). Esto contradice la condición de cadena ascendente. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{1}\in S}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle s_{1}\in S}$ ${\displaystyle s_{1}<s_{2}}$ ${\displaystyle s_{2}\in S.}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle m<s_{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{2}\leq m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s_{1}.}$ ${\displaystyle s_{1}<s_{2}<\cdots <s_{n}<\cdots }$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle m}$
6. Sea un elemento maximo, para cualquier o En el segundo caso, la definición de elemento maximo requiere que por lo que se sigue que En otras palabras, es un elemento mayor. ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle s\leq m}$ ${\displaystyle m\leq s.}$ ${\displaystyle m=s,}$ ${\displaystyle s\leq m.}$ ${\displaystyle m}$
7. Si fueran incomparables, entonces habría dos elementos máximos, pero ningún elemento mayor, contradiciendo la coincidencia. ${\displaystyle a,b\in P}$ ${\displaystyle S=\{a,b\}}$

Referencias

1. La noción de localidad requiere que el dominio de la función sea al menos un espacio topológico .

• Davey, BA; Priestley, HA (2002). Introducción a los retículos y el orden (2.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-78451-1.