Desigualdades de Newton

En matemáticas , las desigualdades de Newton se denominan así en honor a Isaac Newton . Supóngase que a ₁ ,  a ₂ , ...,  a _n son números reales no negativos y sea el k -ésimo polinomio simétrico elemental en a ₁ ,  a ₂ , ...,  a _n . Entonces, la simetría elemental significa , dada por ${\displaystyle e_{k}}$

${\displaystyle S_{k}={\frac {e_{k}}{\binom {n}{k}}},}$

satisface la desigualdad

${\displaystyle S_{k-1}S_{k+1}\leq S_{k}^{2}.}$

La igualdad se cumple si y sólo si todos los números a _i son iguales.

Se puede ver que S ₁ es la media aritmética y S _n es la n -ésima potencia de la media geométrica .

Véase también

• Desigualdad de Maclaurin

Referencias

• Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952). Desigualdades . Cambridge University Press. ISBN 978-0521358804.

• Newton, Isaac (1707). Arithmetica universalis: sive de composición y resolución arithmetica liber .
• Matemáticas matriciales de DS Bernstein : teoría, hechos y fórmulas (Princeton, 2009) pág. 55
• Maclaurin, C. (1729). "Una segunda carta a Martin Folks, Esq.; sobre las raíces de ecuaciones, con la demostración de otras reglas en álgebra". Philosophical Transactions . 36 (407–416): 59–96. doi : 10.1098/rstl.1729.0011 .
• Whiteley, JN (1969). "Sobre la desigualdad de Newton para polinomios reales". The American Mathematical Monthly . 76 (8). The American Mathematical Monthly, vol. 76, núm. 8: 905–909. doi :10.2307/2317943. JSTOR  2317943.
• Niculescu, Constantin (2000). "Una nueva mirada a las desigualdades de Newton". Revista de desigualdades en matemáticas puras y aplicadas . 1 (2). Artículo 17.