Tiempo imaginario

El tiempo imaginario es una representación matemática del tiempo que aparece en algunas aproximaciones a la relatividad especial y a la mecánica cuántica . Tiene aplicaciones en ciertas teorías cosmológicas .

Matemáticamente, el tiempo imaginario es el tiempo real que ha sufrido una rotación de Wick de modo que sus coordenadas se multiplican por la unidad imaginaria i . El tiempo imaginario no es imaginario en el sentido de que sea irreal o inventado; simplemente se expresa en términos de números imaginarios .

Orígenes

En matemáticas, la unidad imaginaria es la raíz cuadrada de , tal que se define como . Un número que es un múltiplo directo de se conoce como un número imaginario . ^[1]^{: Cap. 4} ${\estilo de visualización i}$ ${\estilo de visualización -1}$ $i^{2}$ ${\estilo de visualización -1}$ ${\estilo de visualización i}$

En ciertas teorías físicas, los períodos de tiempo se multiplican por de esta manera. Matemáticamente, un período de tiempo imaginario se puede obtener a partir del tiempo real mediante una rotación de Wick por en el plano complejo : . ^[1]^{: 769} ${\estilo de visualización i}$ ${\textstyle \tau}$ ${\textstyle t}$ ${\textstyle \pi /2}$ ${\textstyle \tau =eso}$

Stephen Hawking popularizó el concepto de tiempo imaginario en su libro El universo en una cáscara de nuez .

"Se podría pensar que esto significa que los números imaginarios son sólo un juego matemático que no tiene nada que ver con el mundo real. Sin embargo, desde el punto de vista de la filosofía positivista , no se puede determinar qué es real. Todo lo que se puede hacer es encontrar qué modelos matemáticos describen el universo en el que vivimos. Resulta que un modelo matemático que implica un tiempo imaginario predice no sólo efectos que ya hemos observado, sino también efectos que no hemos podido medir pero en los que creemos por otras razones. Entonces, ¿qué es real y qué es imaginario? ¿La distinción está sólo en nuestras mentes?"
—Stephen Hawking ^[2]^{: 59}

De hecho, los términos “ real ” e “ imaginario ” para los números son sólo un accidente histórico, al igual que los términos “ racional ” e “ irracional ”:

"...las palabras real e imaginario son reliquias pintorescas de una época en la que no se comprendía adecuadamente la naturaleza de los números complejos ".
— H. S. M. Coxeter ^[3]

En cosmología

Derivación

En el modelo de espacio-tiempo de Minkowski adoptado por la teoría de la relatividad , el espacio-tiempo se representa como una superficie o variedad de cuatro dimensiones . Su equivalente de cuatro dimensiones de una distancia en el espacio tridimensional se llama intervalo . Suponiendo que un período de tiempo específico se representa como un número real de la misma manera que una distancia en el espacio, un intervalo en el espacio-tiempo relativista se da por la fórmula habitual pero con el tiempo negado: donde , y son distancias a lo largo de cada eje espacial y es un período de tiempo o "distancia" a lo largo del eje del tiempo (Estrictamente, la coordenada de tiempo es donde es la velocidad de la luz , sin embargo, elegimos convencionalmente unidades tales que ). ${\estilo de visualización d}$ $d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}$ ${\estilo de visualización x}$ ${\estilo de visualización y}$ ${\estilo de visualización z}$ ${\estilo de visualización t}$ $(ct)^{2}$ ${\estilo de visualización c}$ ${\estilo de visualización c=1}$

Matemáticamente esto es equivalente a escribir $d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+(it)^{2}$

En este contexto, puede aceptarse como una característica de la relación entre el espacio y el tiempo real, como se indicó anteriormente, o puede incorporarse alternativamente al tiempo mismo, de modo que el valor del tiempo sea en sí mismo un número imaginario , denotado por . La ecuación puede entonces reescribirse en forma normalizada: ${\estilo de visualización i}$ ${\estilo de visualización \tau}$ $d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\tau ^{2}$

De manera similar, sus cuatro vectores pueden escribirse como donde las distancias se representan como , y donde es la velocidad de la luz y el tiempo es imaginario. ${\estilo de visualización (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})}$ $Estilo de visualización x_{n}$ $x_{0}=ict$ ${\estilo de visualización c}$

Aplicación a la cosmología

Hawking señaló la utilidad de rotar intervalos de tiempo en una métrica imaginaria en ciertas situaciones, en 1971. ^[4]

En la cosmología física , el tiempo imaginario puede incorporarse en ciertos modelos del universo que son soluciones a las ecuaciones de la relatividad general . En particular, el tiempo imaginario puede ayudar a suavizar las singularidades gravitacionales , donde las leyes físicas conocidas fallan, para eliminar la singularidad y evitar tales fallas (ver estado de Hartle-Hawking ). El Big Bang , por ejemplo, aparece como una singularidad en el tiempo ordinario pero, cuando se modela con tiempo imaginario, la singularidad puede eliminarse y el Big Bang funciona como cualquier otro punto en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones . Cualquier límite al espacio-tiempo es una forma de singularidad, donde la naturaleza suave del espacio-tiempo se rompe. ^[1]^{: 769–772} Con todas esas singularidades eliminadas del Universo, este no puede tener límites y Stephen Hawking especuló que "la condición límite del Universo es que no tiene límites". ^[2]^{: 85}

Sin embargo, la naturaleza no demostrada de la relación entre el tiempo físico real y el tiempo imaginario incorporado en tales modelos ha suscitado críticas. ^[5] Roger Penrose ha señalado que es necesario realizar una transición desde la métrica de Riemann (a menudo denominada " euclidiana " en este contexto) con tiempo imaginario en el Big Bang a una métrica de Lorentz con tiempo real para el Universo en evolución. Además, las observaciones modernas sugieren que el Universo está abierto y nunca se contraerá hasta un Big Crunch. Si esto resulta ser cierto, entonces el límite del fin del tiempo aún permanece. ^[1]^{: 769–772}

Véase también

Referencias

^ abcd Penrose, Roger (2004). El camino hacia la realidad. Jonathan Cape . ISBN 9780224044479.
^ ab Hawking, Stephen W. (noviembre de 2001). El universo en una cáscara de nuez. Estados Unidos y Canadá: Bantam Books . pp. 58–61, 63, 82–85, 90–94, 99, 196. ISBN 9780553802023.OL 7850510M .
^ Coxeter, HSM (1949). El plano proyectivo real. Nueva York: McGraw-Hill Book Company . pág. 187, nota al pie.
^ Hawking, SW (15 de septiembre de 1978). "Gravedad cuántica e integrales de trayectoria" . Phys. Rev. D. 18 ( 6): 1747–1753. Bibcode :1978PhRvD..18.1747H. doi :10.1103/PhysRevD.18.1747 . Consultado el 25 de enero de 2023. Es conveniente rotar el intervalo de tiempo en este tubo temporal entre las dos superficies en el plano complejo para que se vuelva puramente imaginario.
^ Deltete, Robert J.; Guy, Reed A. (agosto de 1996). "Emerging from imaginary time" (Emergencia del tiempo imaginario) . Synthese . 108 (2): 185–203. doi :10.1007/BF00413497. S2CID : 44131608. Consultado el 25 de enero de 2023 .

Lectura adicional

Hawking, Stephen W. (1998). Breve historia del tiempo (edición conmemorativa del décimo aniversario). Bantam Books. pág. 157. ISBN 978-0-553-10953-5.
Gerald D. Mahan. Física de múltiples partículas, capítulo 3
A. Zee La teoría cuántica de campos en pocas palabras, Capítulo V.2

Enlaces externos

El comienzo del tiempo: conferencia de Stephen Hawking que analiza el tiempo imaginario.
El universo de Stephen Hawking: cosas extrañas explicadas Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine — Sitio de PBS sobre el tiempo imaginario.