Teorema de Green

Teorema de cálculo que relaciona las integrales lineales y dobles

En cálculo vectorial, el teorema de Green relaciona una integral de línea alrededor de una curva cerrada simple C con una integral doble sobre la región plana D (superficie en ) limitada por C . Es el caso especial bidimensional del teorema de Stokes (superficie en ). En una dimensión, es equivalente al teorema fundamental del cálculo. En tres dimensiones, es equivalente al teorema de divergencia . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Teorema

Sea C una curva cerrada simple , lisa por partes y orientada positivamente en un plano , y sea D la región limitada por C. Si L y M son funciones de ( x , y ) definidas en una región abierta que contiene a D y tienen allí derivadas parciales continuas , entonces

$${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA}$$

donde el camino de integración a lo largo de C es en sentido antihorario . ^{[1] [2]}

Solicitud

En física, el teorema de Green tiene muchas aplicaciones. Una de ellas es la solución de integrales de flujo bidimensionales, que establece que la suma del fluido que sale de un volumen es igual al flujo total sumado alrededor de un área circundante. En geometría plana y, en particular, en topografía de áreas , el teorema de Green se puede utilizar para determinar el área y el centroide de figuras planas simplemente integrando sobre el perímetro.

Prueba cuandoDes una región sencilla

Si D es un tipo simple de región cuyo límite consiste en las curvas C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ , se puede demostrar la mitad del teorema de Green.

La siguiente es una demostración de la mitad del teorema para el área simplificada D , una región de tipo I donde C ₁ y C ₃ son curvas conectadas por líneas verticales (posiblemente de longitud cero). Existe una demostración similar para la otra mitad del teorema cuando D es una región de tipo II donde C ₂ y C ₄ son curvas conectadas por líneas horizontales (de nuevo, posiblemente de longitud cero). Juntando estas dos partes, el teorema queda demostrado para regiones de tipo III (definidas como regiones que son tanto de tipo I como de tipo II). El caso general puede entonces deducirse de este caso especial descomponiendo D en un conjunto de regiones de tipo III.

Si se puede demostrar que

y

son verdaderas, entonces el teorema de Green se deduce inmediatamente para la región D. Podemos demostrar ( 1 ) fácilmente para regiones de tipo I, y ( 2 ) para regiones de tipo II. El teorema de Green se deduce entonces para regiones de tipo III.

Supongamos que la región D es una región de tipo I y, por lo tanto, puede caracterizarse, como se muestra en la imagen de la derecha, por donde g ₁ y g ₂ son funciones continuas en [ a , b ] . Calcule la integral doble en ( 1 ): $${\displaystyle D=\{(x,y)\mid a\leq x\leq b,g_{1}(x)\leq y\leq g_{2}(x)\}}$$

Ahora calcule la integral de línea en ( 1 ). C se puede reescribir como la unión de cuatro curvas: C ₁ , C ₂ , C ₃ , C ₄ .

Con C ₁ , utilice las ecuaciones paramétricas : x = x , y = g ₁ ( x ), a ≤ x ≤ b . Entonces $${\displaystyle \int _{C_{1}}L(x,y)\,dx=\int _{a}^{b}L(x,g_{1}(x))\,dx.}$$

Con C ₃ , utilice las ecuaciones paramétricas: x = x , y = g ₂ ( x ), a ≤ x ≤ b . Entonces $${\displaystyle \int _{C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{-C_{3}}L(x,y)\,dx=-\int _{a}^{b}L(x,g_{2}(x))\,dx.}$$

La integral sobre C ₃ se niega porque va en la dirección negativa de b a a , ya que C está orientada positivamente (en sentido contrario a las agujas del reloj). En C ₂ y C ₄ , x permanece constante, lo que significa $${\displaystyle \int _{C_{4}}L(x,y)\,dx=\int _{C_{2}}L(x,y)\,dx=0.}$$

Por lo tanto,

Combinando ( 3 ) con ( 4 ), obtenemos ( 1 ) para regiones de tipo I. Un tratamiento similar produce ( 2 ) para regiones de tipo II. Poniendo los dos juntos, obtenemos el resultado para regiones de tipo III.

Prueba de curvas de Jordan rectificables

Vamos a demostrar lo siguiente

Teorema  —  Sea una curva de Jordan rectificable y orientada positivamente en y sea su región interna. Supóngase que son funciones continuas con la propiedad de que tiene una segunda derivada parcial en cada punto de , tiene una primera derivada parcial en cada punto de y que las funciones son integrables por Riemann sobre . Entonces ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{1}B,D_{2}A:R\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \int _{\Gamma }(A\,dx+B\,dy)=\int _{R}\left(D_{1}B(x,y)-D_{2}A(x,y)\right)\,d(x,y).}$$

Necesitamos los siguientes lemas cuyas pruebas se pueden encontrar en: ^[3]

Lema 1 (Lema de descomposición)  —  Supongamos que es una curva de Jordan rectificable y orientada positivamente en el plano y sea su región interior. Para cada real positivo , sea la colección de cuadrados en el plano delimitada por las líneas , donde recorre el conjunto de los enteros. Entonces, para este , existe una descomposición de en un número finito de subregiones no superpuestas de tal manera que ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}$ ${\displaystyle x=m\delta ,y=m\delta }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\overline {R}}}$

1. Cada una de las subregiones contenidas en , digamos , es un cuadrado de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{1},R_{2},\ldots ,R_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}$
2. Cada una de las subregiones restantes, digamos , tiene como límite una curva de Jordan rectificable formada por un número finito de arcos de y partes de los lados de algún cuadrado de . ${\displaystyle R_{k+1},\ldots ,R_{s}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta )}$
3. Cada una de las regiones fronterizas puede encerrarse en un cuadrado de longitud de arista . ${\displaystyle R_{k+1},\ldots ,R_{s}}$ ${\displaystyle 2\delta }$
4. Si es la curva límite orientada positivamente de , entonces ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma _{2}+\cdots +\Gamma _{s}.}$
5. El número de regiones fronterizas no es mayor que , donde es la longitud de . ${\displaystyle s-k}$ ${\textstyle 4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Gamma }$

Lema 2  —  Sea una curva rectificable en el plano y sea el conjunto de puntos en el plano cuya distancia desde (el rango de) es como máximo . El contenido de Jordan externo de este conjunto satisface . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Delta _{\Gamma }(h)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\overline {c}}\,\,\Delta _{\Gamma }(h)\leq 2h\Lambda +\pi h^{2}}$

Lema 3  :  Sea una curva rectificable en y sea una función continua. Entonces y donde es la oscilación de en el rango de . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f:{\text{range of }}\Gamma \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f},}$$ $${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }f(x,y)\,dx\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\Lambda \Omega _{f},}$$ ${\displaystyle \Omega _{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Ahora estamos en condiciones de demostrar el teorema:

Demostración del teorema. Sea un número real positivo arbitrario. Por continuidad de , y compacidad de , dado , existe tal que siempre que dos puntos de están menos separados que , sus imágenes bajo están menos separadas que . Para esto , considere la descomposición dada por el Lema anterior. Tenemos ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\overline {R}}}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle 0<\delta <1}$ ${\displaystyle {\overline {R}}}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad +\sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy.}$$

Poner . ${\displaystyle \varphi :=D_{1}B-D_{2}A}$

Para cada , la curva es un cuadrado orientado positivamente, para lo cual se cumple la fórmula de Green. Por lo tanto ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,k\}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy=\sum _{i=1}^{k}\int _{R_{i}}\varphi =\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\,\varphi .}$$

Cada punto de una región fronteriza está a una distancia no mayor que de . Por lo tanto, si es la unión de todas las regiones fronterizas, entonces ; por lo tanto , por el Lema 2. Nótese que Esto produce ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}\,\delta }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\subset \Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )}$ ${\displaystyle c(K)\leq {\overline {c}}\,\Delta _{\Gamma }(2{\sqrt {2}}\,\delta )\leq 4{\sqrt {2}}\,\delta +8\pi \delta ^{2}}$ $${\displaystyle \int _{R}\varphi \,\,-\int _{\bigcup _{i=1}^{k}R_{i}}\varphi =\int _{K}\varphi .}$$ $${\displaystyle \left\vert \sum _{i=1}^{k}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert \leq M\delta (1+\pi {\sqrt {2}}\,\delta ){\text{ for some }}M>0.}$$

También podemos elegir que el lado derecho de la última desigualdad sea ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle <\varepsilon .}$

La observación al comienzo de esta prueba implica que las oscilaciones de y en cada región límite son como máximo . Tenemos ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle \left\vert \sum _{i=k+1}^{s}\int _{\Gamma _{i}}A\,dx+B\,dy\right\vert \leq {\frac {1}{2}}\varepsilon \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}.}$$

Por el Lema 1(iii), $${\displaystyle \sum _{i=k+1}^{s}\Lambda _{i}\leq \Lambda +(4\delta )\,4\!\left({\frac {\Lambda }{\delta }}+1\right)\leq 17\Lambda +16.}$$

Combinando todo esto, finalmente obtenemos . Como esto es cierto para cada , hemos terminado. $${\displaystyle \left\vert \int _{\Gamma }A\,dx+B\,dy\quad -\int _{R}\varphi \right\vert <C\varepsilon ,}$$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Validez bajo diferentes hipótesis

Las hipótesis del último teorema no son las únicas bajo las cuales la fórmula de Green es verdadera. Otro conjunto común de condiciones es el siguiente:

Se sigue suponiendo que las funciones son continuas. Sin embargo, ahora requerimos que sean diferenciables por Fréchet en cada punto de . Esto implica la existencia de todas las derivadas direccionales, en particular , donde, como es habitual, es la base ordenada canónica de . Además, requerimos que la función sea integrable por Riemann sobre . ${\displaystyle A,B:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D_{e_{i}}A=:D_{i}A,D_{e_{i}}B=:D_{i}B,\,i=1,2}$ ${\displaystyle (e_{1},e_{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle D_{1}B-D_{2}A}$ ${\displaystyle R}$

Como corolario de esto, obtenemos el Teorema Integral de Cauchy para curvas de Jordan rectificables:

Teorema (Cauchy)  —  Si es una curva de Jordan rectificable en y si es una aplicación continua holomorfa en toda la región interna de , entonces la integral es una integral de contorno compleja. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:{\text{closure of inner region of }}\Gamma \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ $${\displaystyle \int _{\Gamma }f=0,}$$

Prueba

Consideramos el plano complejo como . Ahora, definamos que sea tal que Estas funciones son claramente continuas. Es bien sabido que y son diferenciables por Fréchet y que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle u,v:{\overline {R}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y).}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D_{1}v+D_{2}u=D_{1}u-D_{2}v={\text{zero function}}}$

Ahora bien, analizando las sumas utilizadas para definir la integral de contorno compleja en cuestión, es fácil darse cuenta de que las integrales del lado derecho son las integrales de línea habituales. Estas observaciones nos permiten aplicar el teorema de Green a cada una de estas integrales de línea, terminando la demostración. $${\displaystyle \int _{\Gamma }f=\int _{\Gamma }u\,dx-v\,dy\quad +i\int _{\Gamma }v\,dx+u\,dy,}$$

Regiones multiconectadas

Teorema. Sean curvas de Jordan rectificables orientadas positivamente en que satisfacen donde es la región interna de . Sea ${\displaystyle \Gamma _{0},\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{i}\subset R_{0},&&{\text{if }}1\leq i\leq n\\\Gamma _{i}\subset \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {R}}_{j},&&{\text{if }}1\leq i,j\leq n{\text{ and }}i\neq j,\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle R_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{i}}$ $${\displaystyle D=R_{0}\setminus ({\overline {R}}_{1}\cup {\overline {R}}_{2}\cup \cdots \cup {\overline {R}}_{n}).}$$

Supóngase que y son funciones continuas cuya restricción a es diferenciable según Fréchet. Si la función es integrable según Riemann sobre , entonces ${\displaystyle p:{\overline {D}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:{\overline {D}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle (x,y)\longmapsto {\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)}$$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{\Gamma _{0}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy-\sum _{i=1}^{n}\int _{\Gamma _{i}}p(x,y)\,dx+q(x,y)\,dy\\[5pt]={}&\int _{D}\left\{{\frac {\partial q}{\partial e_{1}}}(x,y)-{\frac {\partial p}{\partial e_{2}}}(x,y)\right\}\,d(x,y).\end{aligned}}}$$

Relación con el teorema de Stokes

El teorema de Green es un caso especial del teorema de Kelvin-Stokes , cuando se aplica a una región en el plano. ${\displaystyle xy}$

Podemos ampliar el campo bidimensional a un campo tridimensional con un componente z que siempre sea 0. Escriba F para la función vectorial . Comience con el lado izquierdo del teorema de Green: ${\displaystyle \mathbf {F} =(L,M,0)}$ $${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .}$$

El teorema de Kelvin-Stokes: $${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.}$$

La superficie es simplemente la región en el plano , con la unidad normal definida (por convención) para tener un componente z positivo para coincidir con las definiciones de "orientación positiva" para ambos teoremas. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

La expresión dentro de la integral se convierte en $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).}$$

Así obtenemos el lado derecho del teorema de Green. $${\displaystyle \iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}$$

El teorema de Green también es un resultado directo del teorema general de Stokes utilizando formas diferenciales y derivadas externas : $${\displaystyle \oint _{C}L\,dx+M\,dy=\oint _{\partial D}\!\omega =\int _{D}d\omega =\int _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dy\wedge \,dx+{\frac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge \,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.}$$

Relación con el teorema de divergencia

Considerando únicamente campos vectoriales bidimensionales, el teorema de Green es equivalente a la versión bidimensional del teorema de divergencia :

${\displaystyle \iint _{D}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dA=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds,}$

donde es la divergencia en el campo vectorial bidimensional , y es el vector normal unitario que apunta hacia afuera en el límite. ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

Para ver esto, considere la normal unitaria en el lado derecho de la ecuación. Dado que en el teorema de Green hay un vector que apunta tangencialmente a lo largo de la curva, y la curva C es la curva orientada positivamente (es decir, en sentido antihorario) a lo largo del límite, una normal externa sería un vector que apunta 90° a la derecha de esta; una opción sería . La longitud de este vector es Entonces ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle d\mathbf {r} =(dx,dy)}$ ${\displaystyle (dy,-dx)}$ ${\textstyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=ds.}$ ${\displaystyle (dy,-dx)=\mathbf {\hat {n}} \,ds.}$

Comencemos con el lado izquierdo del teorema de Green: Aplicando el teorema de divergencia bidimensional con , obtenemos el lado derecho del teorema de Green: $${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(M,-L)\cdot (dy,-dx)=\oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds.}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} =(M,-L)}$ $${\displaystyle \oint _{C}(M,-L)\cdot \mathbf {\hat {n}} \,ds=\iint _{D}\left(\nabla \cdot (M,-L)\right)\,dA=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.}$$

Cálculo de área

El teorema de Green se puede utilizar para calcular el área mediante una integral de línea. ^[4] El área de una región plana está dada por ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle A=\iint _{D}dA.}$$

Elija y tal que , el área está dada por ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}=1}$ $${\displaystyle A=\oint _{C}(L\,dx+M\,dy).}$$

Posibles fórmulas para el área de incluyen ^[4] ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle A=\oint _{C}x\,dy=-\oint _{C}y\,dx={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx+x\,dy).}$$

Historia

El teorema de Green recibe su nombre de George Green , quien afirmó un resultado similar en un artículo de 1828 titulado Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo . En 1846, Augustin-Louis Cauchy publicó un artículo en el que afirmaba que el teorema de Green era la penúltima oración. De hecho, se trata de la primera versión impresa del teorema de Green en la forma en que aparece en los libros de texto modernos. Bernhard Riemann dio la primera prueba del teorema de Green en su tesis doctoral sobre la teoría de funciones de una variable compleja. ^{[5] [6]}

Véase también

• Portal de matemáticas

• Planímetro  – Herramienta para medir áreas
• Método de cargas de imagen : método utilizado en electrostática que aprovecha el teorema de unicidad (derivado del teorema de Green)
• Fórmula del cordón : un caso especial del teorema de Green para polígonos simples
• Desmos : una calculadora gráfica basada en la web

Referencias

1. Riley, KF; Hobson, MP; Bence, SJ (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
2. Spiegel, MR; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Análisis vectorial . Schaum's Outlines (2.ª ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
3. Apostol, Tom (1960). Análisis matemático (1.ª ed.). Reading, Massachusetts, EE. UU.: Addison-Wesley Publishing Company, INC.
4. Stewart, James (1999). Cálculo (6.ª ed.). Thomson, Brooks/Cole. ISBN 9780534359492.
5. George Green, An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Nottingham, Inglaterra: T. Wheelhouse, 1828). Green no derivó realmente la forma del "teorema de Green" que aparece en este artículo; más bien, derivó una forma del "teorema de la divergencia", que aparece en las páginas 10-12 de su Ensayo .
   En 1846, la forma del "teorema de Green" que aparece en este artículo se publicó por primera vez, sin prueba, en un artículo de Augustin Cauchy : A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (Sobre integrales que se extienden sobre todos los puntos de una curva cerrada), Comptes rendus , 23 : 251-255. (La ecuación aparece en la parte inferior de la página 254, donde ( S ) denota la integral de línea de una función k a lo largo de la curva s que encierra el área S .)
   Una prueba del teorema fue finalmente proporcionada en 1851 por Bernhard Riemann en su disertación inaugural: Bernhard Riemann (1851) Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Bases para una teoría general de funciones de una cantidad compleja variable), (Göttingen, (Alemania): Adalbert Rente, 1867); consulte las páginas 8-9.
6. Katz, Victor (2009). "22.3.3: Funciones complejas e integrales de línea". Una historia de las matemáticas: una introducción . Addison-Wesley. págs. 801–5. ISBN 978-0-321-38700-4.

Lectura adicional

• Marsden, Jerrold E.; Tromba, Anthony J. (2003). "Los teoremas integrales del análisis vectorial". Cálculo vectorial (Quinta ed.). Nueva York: Freeman. págs. 518–608. ISBN 0-7167-4992-0.

Enlaces externos

• Teorema de Green en MathWorld