Teorema de monadicidad de Beck

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , el teorema de monadicidad de Beck proporciona un criterio que caracteriza a los funtores monádicos , introducido por Jonathan Mock Beck  (2003) alrededor de 1964. A menudo se enuncia en forma dual para las comónadas . A veces se lo denomina teorema de triplicabilidad de Beck debido al término más antiguo triple para una mónada.

El teorema de monadicidad de Beck afirma que un funtor

${\displaystyle U:C\to D}$

es monádico si y sólo si ^[1]

1. U tiene un adjunto izquierdo ;
2. U refleja isomorfismos (si U ( f ) es un isomorfismo entonces también lo es f ); y
3. C tiene coecualizadores de pares paralelos divididos en U (esos pares paralelos de morfismos en C , que U envía a pares que tienen un coecualizador dividido en D ), y U preserva esos coecualizadores.

Hay varias variaciones del teorema de Beck: si U tiene un adjunto izquierdo, entonces cualquiera de las siguientes condiciones asegura que U sea monádico:

• U refleja isomorfismos y C tiene coecualizadores de pares reflexivos (aquellos con un inverso derecho común) y U preserva esos coecualizadores. (Esto da como resultado el teorema de monadicidad crudo).
• Cada diagrama en C que es enviado por U a una secuencia coecualizadora dividida en D es en sí mismo una secuencia coecualizadora en C. En otras palabras, U crea (preserva y refleja) secuencias coecualizadoras divididas por U.

Otra variación del teorema de Beck caracteriza a los funtores estrictamente monádicos: aquellos para los cuales el funtor de comparación es un isomorfismo en lugar de simplemente una equivalencia de categorías . Para esta versión, las definiciones de lo que significa crear coecualizadores se modifican ligeramente: el coecualizador tiene que ser único en lugar de simplemente único hasta el isomorfismo.

El teorema de Beck es particularmente importante en su relación con la teoría de descendencia , que desempeña un papel en la teoría de haces y pilas , así como en el enfoque de Alexander Grothendieck a la geometría algebraica . La mayoría de los casos de descenso fielmente plano de estructuras algebraicas (por ejemplo, aquellos en FGA y en SGA1 ) son casos especiales del teorema de Beck. El teorema da una descripción categórica exacta del proceso de "descenso", a este nivel. En 1970, el enfoque de Grothendieck a través de categorías fibrosas y datos de descenso se demostró (por Jean Bénabou y Jacques Roubaud ) que era equivalente (bajo algunas condiciones) al enfoque de comónadas. En un trabajo posterior, Pierre Deligne aplicó el teorema de Beck a la teoría de categorías de Tannakian , simplificando en gran medida los desarrollos básicos.

Ejemplos

• El funtor olvidadizo de espacios topológicos a conjuntos no es monádico ya que no refleja isomorfismos: las biyecciones continuas entre espacios topológicos (no compactos o no Hausdorff) no necesitan ser homeomorfismos.
• Negrepontis (1971, §1) muestra que el funtor de las C*-álgebras conmutativas a los conjuntos que envían dicha álgebra A a la bola unidad , es decir, el conjunto , es monádico. Negrepontis también deduce la dualidad de Gelfand , es decir, la equivalencia de categorías entre la categoría opuesta de los espacios de Hausdorff compactos y las C*-álgebras conmutativas se puede deducir de esto. ${\displaystyle \{a\in A,\|a\|\leq 1\}}$
• El funtor de conjunto potencia de Set ^op a Set es monádico, donde Set es la categoría de conjuntos. En términos más generales, el teorema de Beck se puede utilizar para demostrar que el funtor de conjunto potencia de T ^op a T es monádico para cualquier topo T, lo que a su vez se utiliza para demostrar que el topo T tiene colimites finitos.
• El funtor olvidadizo de semigrupos a conjuntos es monádico. Este funtor no conserva coecualizadores arbitrarios, lo que demuestra que es necesaria alguna restricción sobre los coecualizadores en el teorema de Beck si se quieren tener condiciones que sean necesarias y suficientes.
• Si B es un anillo conmutativo fielmente plano sobre el anillo conmutativo A , entonces el funtor T de módulos A a módulos B que toman M a B ⊗ _A M es comonádico. Esto se deduce del dual del teorema de Beck, ya que la condición de que B sea plano implica que T preserva límites, mientras que la condición de que B sea fielmente plano implica que T refleja isomorfismos. Una coalgebra sobre T resulta ser esencialmente un B -módulo con datos de descendencia, por lo que el hecho de que T sea comonádico es equivalente al teorema principal de descendencia fielmente plana, que dice que los B -módulos con descendencia son equivalentes a los A -módulos. ^[2]

Enlaces externos

• Teorema de monadicidad en el laboratorio n
• Descenso monádico en el laboratorio n

Referencias

1. Pedicchio y Tholen 2004, pag. 228
2. Deligne 1990, §4.2

• Balmer, Paul (2012), "Descenso en categorías trianguladas", Mathematische Annalen , 353 (1): 109–125, doi :10.1007/s00208-011-0674-z, MR  2910783, S2CID  121964355
• Barr, M.; Wells, C. (2013) [1985], Triples, topos y teorías , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 278, Springer, ISBN 9781489900234pdf
• Beck, Jonathan Mock (2003) [1967], "Triples, álgebras y cohomología" (PDF) , Reimpresiones en Teoría y aplicaciones de categorías , Tesis doctoral de la Universidad de Columbia, 2 : 1–59, MR  1987896
• Benabou, Jean ; Roubaud, Jacques (12 de enero de 1970), "Monades et descente", CR Acad. Ciencia. París , 270 (A): 96–98
• Leinster, Tom (2013), "Codensidad y la mónada del ultrafiltro", Teoría y aplicaciones de categorías , 28 : 332–370, arXiv : 1209.3606 , Bibcode :2012arXiv1209.3606L
• Negrepontis, Joan W. (1971), "Dualidad en el análisis desde el punto de vista de las tripletas", Journal of Algebra , 19 (2): 228–253, doi : 10.1016/0021-8693(71)90105-0 , ISSN  0021-8693, MR  0280571
• Pavlović, Duško (1991), "Interpolación categórica: descendencia y la condición de Beck-Chevalley sin imágenes directas", en Carboni, A.; Pedicchio, MC; Rosolini, G. (eds.), Teoría de categorías , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1488, Springer, págs. 306–325, doi :10.1007/BFb0084229, ISBN 978-3-540-54706-8
• Deligne, Pierre (1990), Catégories Tannakiennes, Grothendieck Festschrift, vol. II , Progreso en Matemáticas, vol. 87, Birkhäuser, págs. 111-195
• Grothendieck, A. (1962), "Fondements de la géométrie algébrique", [Extraits du Séminaire Bourbaki, 1957—1962] , París: Secrétariat Math., MR  0146040
• Grothendieck, A.; Raynaud, M. (1971), Revêtements Etales et Groupe Fondamental , Lecture Notes in Mathematics, vol. 224, Springer, arXiv : math.AG/0206203 , doi : 10.1007/BFb0058656, ISBN 978-3-540-36910-3
• Borceux, Francis (1994), Teoría básica de categorías, Manual de álgebra categórica, vol. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44178-0(3 volúmenes).
• Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Illusie, Luc; Kleiman, Steven L.; Nitsure, Nitin; Vistoli, Angelo (2005), Geometría algebraica fundamental: explicación de la FGA de Grothendieck, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 123, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4245-4, Sr.  2222646
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004), Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de haces , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 97, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-83414-7, Zbl1034.18001 ​