teorema de engel

Teorema de la teoría de la representación de Lie

En la teoría de la representación , una rama de las matemáticas, el teorema de Engel establece que un álgebra de Lie de dimensión finita es un álgebra de Lie nilpotente si y sólo si para cada uno , el mapa adjunto ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (X)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},}$

dado por , es un endomorfismo nilpotente en ; es decir, para algunos k . ^[1] Es una consecuencia del teorema, también llamado teorema de Engel, que dice que si un álgebra de matrices de Lie consta de matrices nilpotentes, entonces todas las matrices pueden llevarse simultáneamente a una forma triangular estrictamente superior . Tenga en cuenta que si simplemente tenemos un álgebra de Lie de matrices que es nilpotente como un álgebra de Lie , entonces esta conclusión no se sigue (es decir, la ingenua sustitución en el teorema de Lie de "resoluble" por "nilpotente" y "triangular superior" por "estrictamente triangular superior", es falso; esto ya falla para la subálgebra de Lie unidimensional de matrices escalares). ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(Y)=[X,Y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)^{k}=0}$

El teorema lleva el nombre del matemático Friedrich Engel , quien esbozó una prueba del mismo en una carta a Wilhelm Killing fechada el 20 de julio de 1890 (Hawkins 2000, p. 176). El alumno de Engel, KA Umlauf, dio una prueba completa en su disertación de 1891, reimpresa como (Umlauf 2010).

Declaraciones

Sea el álgebra de Lie de los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita V y una subálgebra. Entonces el teorema de Engel establece que lo siguiente es equivalente: ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$

1. Cada uno es un endomorfismo nilpotente en V . ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$
2. Existe una bandera tal que ; es decir, los elementos de son simultáneamente estrictamente triangularizables desde arriba. ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0,\,\operatorname {codim} V_{i}=i}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cdot V_{i}\subset V_{i+1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Tenga en cuenta que no se requiere ninguna suposición sobre el campo base subyacente.

Observamos que el enunciado 2. para varios y V es equivalente al enunciado ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• Para cada espacio vectorial de dimensión finita V distinto de cero y una subálgebra , existe un vector v distinto de cero en V tal que para cada ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle X(v)=0}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}.}$

Esta es la forma del teorema demostrado en #Demostración. (Esta afirmación es trivialmente equivalente a la Declaración 2, ya que permite construir inductivamente una bandera con la propiedad requerida).

En general, se dice que un álgebra de Lie es nilpotente si su serie central inferior desaparece en un paso finito; es decir, para = ( i +1)-ésima potencia de , hay algo k tal que . Entonces el teorema de Engel implica el siguiente teorema (también llamado teorema de Engel): cuando tiene dimensión finita, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle C^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},C^{i}{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},C^{i-1}{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle C^{k}{\mathfrak {g}}=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es nilpotente si y sólo si es nilpotente para cada uno . ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

De hecho, si consta de operadores nilpotentes, entonces 1. 2. aplicado al álgebra , existe una bandera tal que . Dado que , esto implica que es nilpotente. (Lo contrario se desprende directamente de la definición). ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \cdots \supset {\mathfrak {g}}_{n}=0}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}}$ ${\displaystyle C^{i}{\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {g}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Prueba

Probamos la siguiente forma del teorema: ^[2] si es una subálgebra de Lie tal que cada es un endomorfismo nilpotente y si ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ V tiene dimensión positiva, entonces existe un vector distinto de cero v en V tal que para cada ${\displaystyle X(v)=0}$ X en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La prueba es por inducción sobre la dimensión de y consta de unos pocos pasos. (Tenga en cuenta que la estructura de la demostración es muy similar a la del teorema de Lie , que se refiere a un álgebra resoluble). El caso básico es trivial y asumimos que la dimensión de es positiva. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Paso 1 : Encuentra un ideal de codimensión uno en . ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Este es el paso más difícil. Sea una subálgebra máxima (adecuada) de , que existe por dimensión finita. Afirmamos que es un ideal de codimensión uno. Para cada uno , es fácil comprobar que (1) induce un endomorfismo lineal y (2) este mapa inducido es nilpotente (de hecho, es nilpotente como lo es; consulte la descomposición de Jordan en Álgebras de Lie ). Así, por hipótesis inductiva aplicada a la subálgebra de Lie de generada por , existe un vector v distinto de cero tal que para cada . Es decir, si para algún Y en pero no en , entonces para cada . Pero entonces el subespacio abarcado por e Y es una subálgebra de Lie en la que hay un ideal de codimensión uno. Por tanto, por maximalidad, . Esto prueba la afirmación. ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(v)=0}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle v=[Y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle [X,Y]=\operatorname {ad} (X)(Y)\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}'\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}'={\mathfrak {g}}}$

Paso 2 : Deja . Luego estabiliza W ; es decir, para cada uno . ${\displaystyle W=\{v\in V|X(v)=0,X\in {\mathfrak {h}}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X(v)\in W}$ ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}},v\in W}$

De hecho, para in y in , tenemos: since es un ideal y so . Por tanto, está en W . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle X(Y(v))=Y(X(v))+[X,Y](v)=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle [X,Y]\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle Y(v)}$

Paso 3 : Termine la prueba encontrando un vector distinto de cero que sea eliminado por . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Escribe donde L es un subespacio vectorial unidimensional. Sea Y un vector distinto de cero en L y v un vector distinto de cero en W. Ahora, es un endomorfismo nilpotente (por hipótesis) y así para algunos k . Entonces es un vector requerido ya que el vector se encuentra en W en el Paso 2. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+L}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{k}(v)\neq 0,Y^{k+1}(v)=0}$ ${\displaystyle Y^{k}(v)}$ ${\displaystyle \square }$

Ver también

• teorema de mentira
• grupo heisenberg

Notas

Citas

1. Fulton y Harris 1991, ejercicio 9.10.
2. Fulton y Harris 1991, teorema 9.9.

Obras citadas

• Erdmann, Karin ; Wildon, Mark (2006). Introducción a las álgebras de mentira (1ª ed.). Saltador. ISBN 1-84628-040-0.
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.
• Hawkins, Thomas (2000), Aparición de la teoría de los grupos de Lie, Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98963-1, señor  1771134
• Hochschild, G. (1965). La estructura de los grupos de mentiras . Día de Holden.
• Humphreys, J. (1972). Introducción a las álgebras de mentira y la teoría de la representación . Saltador.
• Umlauf, Karl Arthur (2010) [Publicado por primera vez en 1891], Über Die Zusammensetzung Der Endlichen Continuierlichen Transformationsgruppen, Insbesondre Der Gruppen Vom Range Null, Disertación inaugural, Leipzig (en alemán), Nabu Press, ISBN 978-1-141-58889-3