El problema de la Sra. Miniver es un problema de geometría sobre el área de círculos . Pregunta cómo colocar dos círculos y de radios dados de tal manera que la lente formada al cruzar sus dos interiores tenga un área igual a la diferencia simétrica de y (el área contenida en uno pero no en ambos círculos). [1] Debe su nombre a una analogía entre la geometría y la dinámica social enunciada por el personaje ficticio Sra. Miniver , quien "veía cada relación como un par de círculos que se cruzan". Su solución implica una ecuación trascendental .
El problema deriva de "A Country House Visit", uno de los artículos periodísticos de Jan Struther que apareció en el Times de Londres entre 1937 y 1939 en el que aparece su personaje, la Sra. Miniver. Según la historia:
Ella veía cada relación como un par de círculos que se cruzan. A primera vista parecería que cuanto más se superpusieran, mejor sería la relación; Pero esto no es así. Más allá de cierto punto, se impone la ley de los rendimientos decrecientes y no quedan suficientes recursos privados de ninguna de las partes para enriquecer la vida que se comparte. Probablemente se alcanza la perfección cuando el área de las dos medias lunas exteriores, sumadas, es exactamente igual a la de la pieza en forma de hoja en el medio. Sobre el papel debe haber alguna fórmula matemática clara para llegar a esto; en la vida, ninguno. [2]
Louis A. Graham y Clifton Fadiman formalizaron las matemáticas del problema y las popularizaron entre los matemáticos recreativos . [1] [3]
El problema se puede resolver cortando la luna a lo largo del segmento de línea entre los dos puntos de cruce de los círculos, en dos segmentos circulares , y usando la fórmula para el área de un segmento circular para relacionar la distancia entre los puntos de cruce con el área total. que el problema requiere que la luna tenga. Esto da una ecuación trascendental para la distancia entre puntos de cruce, pero se puede resolver numéricamente. [1] [4] Hay dos condiciones de contorno cuyas distancias entre centros se pueden resolver fácilmente: lo más alejados que pueden estar los centros es cuando los círculos tienen radios iguales, y lo más cerca que pueden estar es cuando un círculo está contenido completamente dentro del otro, lo que ocurre cuando la relación entre radios es . Si la relación de radios cae más allá de estos casos límite, los círculos no pueden satisfacer la restricción de área del problema. [4]
En el caso de dos círculos de igual tamaño, estas ecuaciones se pueden simplificar un poco. El rombo formado por los dos centros del círculo y los dos puntos de cruce, con longitudes de lados iguales al radio, tiene un ángulo en radianes en los centros del círculo, que se encuentra resolviendo la ecuación
