Modelo de capa marginal libre de células

En la hemodinámica de capilares pequeños , la capa libre de células es una capa cercana a la pared de plasma sin glóbulos rojos, ya que están sujetos a la migración al centro capilar en el flujo de Poiseuille . ^[1] El modelo de capa marginal libre de células es un modelo matemático que intenta explicar matemáticamente el efecto Fåhræus-Lindqvist .

Modelado matemático

Ecuaciones de gobierno

Consideremos un flujo constante de sangre a través de un capilar de radio . La sección transversal del capilar se puede dividir en una región central y una región de plasma libre de células cerca de la pared. Las ecuaciones que rigen ambas regiones se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones: ^[2] ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {-\Delta P}{L}}={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}(\mu _{c}r{\frac {du_{c}}{dr}});}$ ${\displaystyle 0\leq r\ \leq R-\delta \,}$

${\displaystyle {\frac {-\Delta P}{L}}={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}(\mu _{p}r{\frac {du_{p}}{dr}});}$ ${\displaystyle R-\delta \leq r\ \leq R\ \,}$

dónde:

${\displaystyle \Delta P}$es la caída de presión a través del capilar

${\displaystyle L}$es la longitud del capilar

${\displaystyle u_{c}}$¿ La velocidad está en la región central?

${\displaystyle u_{p}}$¿Es la velocidad del plasma en la región libre de células?

${\displaystyle \mu _{c}}$¿Es la viscosidad en la región central?

${\displaystyle \mu _{p}}$¿Es la viscosidad del plasma en la región libre de células?

${\displaystyle \delta }$es el espesor de la capa de plasma libre de células

Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno para obtener la solución de las dos ecuaciones diferenciales presentadas anteriormente son que el gradiente de velocidad sea cero en el centro del tubo, no se produzca deslizamiento en la pared del tubo y la velocidad y la tensión de corte sean continuas en la interfaz entre las dos zonas. Estas condiciones de contorno se pueden expresar matemáticamente como:

• ${\displaystyle \left.{\frac {du_{c}}{dr}}\right|_{r=0}=0}$
• ${\displaystyle \left.u_{p}\right|_{r=R}=0}$
• ${\displaystyle \left.u_{p}\right|_{r=R-\delta }=\left.u_{c}\right|_{r=R-\delta }}$
• ${\displaystyle \left.\tau _{p}\right|_{r=R-\delta }=\left.\tau _{c}\right|_{r=R-\delta }}$

Perfiles de velocidad

La integración de las ecuaciones de gobierno con respecto a r y la aplicación de las condiciones de contorno analizadas anteriormente darán como resultado:

${\displaystyle u_{c}={\frac {\Delta PR^{2}}{4\mu _{p}L}}[1-({\frac {R-\delta }{R}})^{2}-{\frac {\mu _{p}}{\mu _{c}}}({\frac {r}{R}})^{2}+{\frac {\mu _{p}}{\mu _{c}}}({\frac {R-\delta }{R}})^{2}]}$

${\displaystyle u_{p}={\frac {\Delta PR^{2}}{4\mu _{p}L}}[1-({\frac {r}{R}})^{2}]}$

Caudal volumétrico para regiones libres de células y centrales

${\displaystyle Q_{p}=\int \limits _{R-\delta }^{R}2\pi *u_{p}rdr={\frac {\pi \Delta P}{8\mu _{p}L}}(R^{2}-(R-\delta )^{2})^{2}}$

${\displaystyle Q_{c}=\int \limits _{0}^{R-\delta }2\pi *u_{c}rdr={\frac {\pi \Delta P*(R-\delta )^{2}}{8L}}[{\frac {(R-\delta )^{2}}{\mu _{c}}}+{\frac {2(R^{2}-(R-\delta )^{2})}{8\mu _{p}}}]}$

El caudal volumétrico total es la suma algebraica de los caudales en la región del núcleo y del plasma. La expresión del caudal volumétrico total se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle Q=Q_{c}+Q_{p}={\frac {\pi \Delta PR^{4}}{8\mu _{p}L}}[1-(1-{\frac {\delta }{R}})^{4}(1-{\frac {\mu _{p}}{\mu _{c}}})]}$

La comparación con la viscosidad que se aplica en el flujo de Poiseuille arroja la viscosidad efectiva , como: ${\displaystyle \mu _{e}}$

${\displaystyle \mu _{e}={\frac {\mu _{p}}{[1-(1-{\frac {\delta }{R}})^{4}(1-{\frac {\mu _{p}}{\mu _{c}}})]}}}$

Se puede lograr cuando el radio del vaso sanguíneo es mucho mayor que el espesor de la capa de plasma libre de células , la viscosidad efectiva es igual a la viscosidad sanguínea a granel a altas tasas de cizallamiento (fluido newtoniano). ${\displaystyle \mu _{c}}$

Relación entre el hematocrito y la viscosidad aparente/efectiva

La conservación de la masa requiere:

${\displaystyle QH_{D}=Q_{c}H_{c}}$

${\displaystyle {\frac {H_{T}}{H_{C}}}=\sigma ^{2}}$

${\displaystyle H_{T}}$= Fracción de volumen promedio de glóbulos rojos (RBC) en capilares pequeños

${\displaystyle H_{D}}$= Fracción de volumen promedio de glóbulos rojos en la capa central

${\displaystyle {\frac {H_{T}}{H_{D}}}={\frac {Q}{Q_{c}}}\sigma ^{2}}$, ${\displaystyle \sigma ={\frac {R-\delta }{R}}}$

${\displaystyle u_{e}={\frac {\pi \Delta PR^{4}}{8Q}}}$

${\displaystyle {\frac {u_{p}}{u_{e}}}=1+\sigma ^{4}[{\frac {u_{a}}{u_{c}}}-1]}$

Viscosidad sanguínea como fracción del hematocrito:

${\displaystyle {\frac {u_{e}}{u}}=1-\alpha H}$

Véase también

• Efecto Fåhræus-Lindqvist
• Hemorreología
• Hemodinámica

Referencias

1. W. Pan, B. Caswell y GE Karniadakis (2010). "Un modelo de baja dimensión para el glóbulo rojo". Soft Matter . 6 (18): 4366. Bibcode :2010SMat....6.4366P. doi :10.1039/C0SM00183J. PMC  3838865 . PMID  24282440.
2. Krishnan B. Chandran, Alit P. Yoganathan, Ajit P. Yoganathan, Stanley E. Rittgers (2007). Mecánica de biofluidos: la circulación humana . Boca Raton: CRC/Taylor & Francis. ISBN 978-0-8493-7328-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

• Chebbi, R (2015). "Dinámica del flujo sanguíneo: modelado del efecto Fahraeus-Lindqvist". Revista de Física Biológica . 41 (3): 313–26. doi :10.1007/s10867-015-9376-1. PMC  4456490 . PMID  25702195.