El límite de Minkowski

Limita los ideales que se deben comprobar para determinar el número de clase de un campo numérico

En la teoría de números algebraicos , el límite de Minkowski proporciona un límite superior de la norma de ideales que debe comprobarse para determinar el número de clase de un cuerpo de números K. Recibe su nombre en honor al matemático Hermann Minkowski .

Definición

Sea D el discriminante del cuerpo, n el grado de K sobre , y el número de incrustaciones complejas donde es el número de incrustaciones reales . Entonces cada clase en el grupo de clases ideal de K contiene un ideal integral de norma que no excede el límite de Minkowski ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 2r_{2}=n-r_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}}$

${\displaystyle M_{K}={\sqrt {|D|}}\left({\frac {4}{\pi }}\right)^{r_{2}}{\frac {n!}{n^{n}}}\ .}$

La constante de Minkowski para el campo K es este límite M _K . ^[1]

Propiedades

Dado que el número de ideales integrales de una norma dada es finito, la finitud del número de clase es una consecuencia inmediata, ^[1] y además, el grupo de clase ideal es generado por los ideales primos de la norma como máximo M _K .

El límite de Minkowski puede utilizarse para derivar un límite inferior para el discriminante de un campo K dados n , r ₁ y r ₂ . Como un ideal integral tiene norma al menos uno, tenemos 1 ≤ M _K , de modo que

${\displaystyle {\sqrt {|D|}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}{\frac {n^{n}}{n!}}\geq \left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}{\frac {n^{n}}{n!}}\ .}$

Para n al menos 2, es fácil demostrar que el límite inferior es mayor que 1, por lo que obtenemos el Teorema de Minkowski , que establece que el discriminante de todo cuerpo de números, excepto Q , no es trivial. Esto implica que el cuerpo de números racionales no tiene extensión no ramificada .

Prueba

El resultado es una consecuencia del teorema de Minkowski .

Referencias

1. Pohst y Zassenhaus (1989) p.384

• Koch, Helmut (1997). Teoría algebraica de números . Encycl. Math. Sci. Vol. 62 (segunda edición de la primera edición). Springer-Verlag . ISBN. 3-540-63003-1.Zbl 0819.11044  .
• Lang, Serge (1994). Teoría algebraica de números . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 110 (segunda edición). Nueva York: Springer. ISBN. 0-387-94225-4.Zbl 0811.11001  .
• Pohst, M.; Zassenhaus, H. (1989). Teoría de números algebraicos algorítmicos . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 30. Cambridge University Press . ISBN 0-521-33060-2.Zbl 0685.12001  .

Enlaces externos

• "Uso de la constante de Minkowski para hallar un número de clase". PlanetMath .
• Stevenhagen, Peter. Anillos numéricos.
• El destino de Minkowski en el seminario de blogs secretos