El axioma de elección de Luce

En teoría de la probabilidad , el axioma de elección de Luce , formulado por R. Duncan Luce (1959), ^[1] establece que las probabilidades relativas de seleccionar un elemento en lugar de otro de un conjunto de muchos elementos no se ven afectadas por la presencia o ausencia de otros elementos en el conjunto. Se dice que la selección de este tipo tiene " independencia de alternativas irrelevantes " (IIA). ^[2]

Descripción general

Consideremos un conjunto de resultados posibles y consideremos una regla de selección tal que para cualquier con un conjunto finito, el selector selecciona entre con probabilidad . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle a\in A\subset X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P(a\mid A)}$

Luce propuso dos axiomas de elección. El segundo suele denominarse "axioma de elección de Luce", mientras que el primero suele denominarse " independencia de alternativas irrelevantes " (IIA). ^[3]

Axioma de elección de Luce 1 (IIA): si , entonces para cualquier , todavía tenemos . ${\displaystyle P(a\mid A)=0,P(b\mid A)>0}$ ${\displaystyle a,b\in B\subset A}$ ${\displaystyle P(a\mid B)=0}$

Axioma de elección 2 de Luce ("independencia de camino"): para cualquier . ^[4] $${\displaystyle P(a\mid A)=P(a\mid B)\sum _{b\in B}P(b\mid A)}$$ ${\displaystyle a\in B\subset A}$

El axioma de elección 1 de Luce está implícito en el axioma de elección 2.

Formulación de la ley de correspondencia

Defina la regla de selección de la ley de correspondencia para una función de "valor" . A veces se la denomina función softmax o distribución de Boltzmann . ${\displaystyle P(a\mid A)={\frac {u(a)}{\sum _{a'\in A}u(a')}}}$ ${\displaystyle u:A\to (0,\infty )}$

Teorema : Cualquier regla de selección de ley coincidente satisface el axioma de elección de Luce. Por el contrario, si para todo , entonces el axioma de elección de Luce implica que es una regla de selección de ley coincidente. ${\displaystyle P(a\mid A)>0}$ ${\displaystyle a\in A\subset X}$

Aplicaciones

En economía , se puede utilizar para modelar la tendencia de un consumidor a elegir una marca de producto en lugar de otra. ^{[ cita requerida ]}

En psicología del comportamiento , se utiliza para modelar el comportamiento de respuesta en forma de ley de correspondencia .

En la ciencia cognitiva , se utiliza para modelar procesos de decisión aproximadamente racionales.

Referencias

1. Luce, R. Duncan (2005). El comportamiento de elección individual: un análisis teórico. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 0-486-44136-9.OCLC 874031603  .
2. Luce, R. Duncan (junio de 1977). "El axioma de elección después de veinte años". Revista de Psicología Matemática . 15 (3): 215–233. doi :10.1016/0022-2496(77)90032-3.
3. Luce, R. Duncan (junio de 1977). "El axioma de elección después de veinte años". Revista de Psicología Matemática . 15 (3): 215–233. doi :10.1016/0022-2496(77)90032-3.
4. Luce, R. Duncan (2008-12-02). "El axioma de elección de Luce". Scholarpedia . 3 (12): 8077. Bibcode :2008SchpJ...3.8077L. doi : 10.4249/scholarpedia.8077 . ISSN  1941-6016.