En matemáticas , los números enteros de Eisenstein (llamados así por Gotthold Eisenstein ), a veces también conocidos [1] como números enteros de Euler (en honor a Leonhard Euler ), son los números complejos de la forma
donde a y b son números enteros y
es una raíz cúbica primitiva (y por lo tanto no real) de la unidad .
Los números enteros de Eisenstein forman una red triangular en el plano complejo , en contraste con los números enteros de Gauss , que forman una red cuadrada en el plano complejo. Los números enteros de Eisenstein son un conjunto infinito numerable .
Los números enteros de Eisenstein forman un anillo conmutativo de números enteros algebraicos en el cuerpo de números algebraicos Q ( ω ) – el tercer cuerpo ciclotómico . Para ver que los números enteros de Eisenstein son números enteros algebraicos, observe que cada z = a + bω es una raíz del polinomio mónico
En particular, ω satisface la ecuación
El producto de dos números enteros de Eisenstein a + bω y c + dω se da explícitamente por
La 2-norma de un entero de Eisenstein es simplemente su módulo al cuadrado , y está dada por
que es claramente un entero ordinario (racional) positivo.
Además, el complejo conjugado de ω satisface
El grupo de unidades de este anillo es el grupo cíclico formado por las raíces sextas de la unidad en el plano complejo: {±1, ± ω , ± ω 2 } , los enteros de Eisenstein de norma 1 .
El anillo de números enteros de Eisenstein forma un dominio euclidiano cuya norma N está dada por el módulo cuadrado, como se muestra arriba:
Un algoritmo de división , aplicado a cualquier dividendo α y divisor β ≠ 0 , da un cociente κ y un resto ρ menor que el divisor, satisfaciendo:
Aquí, α , β , κ y ρ son todos números enteros de Eisenstein. Este algoritmo implica el algoritmo euclidiano , que demuestra el lema de Euclides y la factorización única de los números enteros de Eisenstein en primos de Eisenstein.
Un algoritmo de división es el siguiente: primero se realiza la división en el campo de los números complejos y se escribe el cociente en términos de ω :
Para a racional , b ∈ Q. Luego, obtenga el cociente entero de Eisenstein redondeando los coeficientes racionales al entero más cercano:
Aquí puede denotar cualquiera de las funciones estándar de redondeo a números enteros.
La razón por la que esto satisface N ( ρ ) < N ( β ) , mientras que el procedimiento análogo falla para la mayoría de los otros anillos enteros cuadráticos , es la siguiente. Un dominio fundamental para el ideal Z [ ω ] β = Z β + Z ωβ , que actúa por traslaciones en el plano complejo, es el rombo de 60°–120° con vértices 0 , β , ωβ , β + ωβ . Cualquier entero de Eisenstein α se encuentra dentro de una de las traslaciones de este paralelogramo, y el cociente κ es uno de sus vértices. El resto es la distancia al cuadrado de α a este vértice, pero la distancia máxima posible en nuestro algoritmo es solo , por lo que . (El tamaño de ρ podría reducirse ligeramente tomando κ como la esquina más cercana).
Si x e y son números enteros de Eisenstein, decimos que x divide a y si existe algún número entero de Eisenstein z tal que y = zx . Se dice que un número entero de Eisenstein no unitario x es un primo de Eisenstein si sus únicos divisores no unitarios tienen la forma ux , donde u es cualquiera de las seis unidades. Son el concepto correspondiente a los primos gaussianos en los números enteros gaussianos.
Hay dos tipos de primos de Eisenstein.
En el segundo tipo, los factores de 3 , y son asociados : , por lo que se considera un tipo especial en algunos libros. [2] [3]
Los primeros primos de Eisenstein de la forma 3 n − 1 son:
Los primos naturales congruentes con 0 o 1 módulo 3 no son primos de Eisenstein: [4] admiten factorizaciones no triviales en Z [ ω ] . Por ejemplo:
En general, si un primo natural p es 1 módulo 3 y por lo tanto puede escribirse como p = a 2 − ab + b 2 , entonces se factoriza sobre Z [ ω ] como
Algunos números primos de Eisenstein no reales son
Hasta la conjugación y los múltiplos unitarios, los primos enumerados anteriormente, junto con 2 y 5 , son todos los primos de Eisenstein de valor absoluto que no exceden 7 .
A partir de octubre de 2023 [update], el primo de Eisenstein real más grande conocido es el décimo primo más grande conocido 10223 × 2 31172165 + 1 , descubierto por Péter Szabolcs y PrimeGrid . [5] Con una excepción, [ aclaración necesaria ] todos los primos conocidos más grandes son primos de Mersenne , descubiertos por GIMPS . Los primos de Eisenstein reales son congruentes con 2 módulo 3 , y todos los primos de Mersenne mayores que 3 son congruentes con 1 módulo 3 ; por lo tanto, ningún primo de Mersenne es un primo de Eisenstein.
La suma de los recíprocos de todos los números enteros de Eisenstein, excepto 0 elevado a la cuarta potencia, es 0 : [6] por lo que es una raíz de j-invariante . En general, si y solo si . [7]
La suma de los recíprocos de todos los números enteros de Eisenstein excluyendo 0 elevado a la sexta potencia se puede expresar en términos de la función gamma : donde E son los números enteros de Eisenstein y G 6 es la serie de Eisenstein de peso 6. [8]
El cociente del plano complejo C por la red que contiene todos los números enteros de Eisenstein es un toro complejo de dimensión real 2. Este es uno de los dos toros con máxima simetría entre todos esos toros complejos. [ cita requerida ] Este toro se puede obtener identificando cada uno de los tres pares de aristas opuestas de un hexágono regular.
El otro toro máximamente simétrico es el cociente del plano complejo por la red aditiva de números enteros gaussianos , y se puede obtener identificando cada uno de los dos pares de lados opuestos de un dominio fundamental cuadrado, tal como [0, 1] × [0, 1] .