Eigensolver cuántico variacional

Algoritmo cuántico

En computación cuántica , el solucionador de eigens cuánticos variacionales ( VQE ) es un algoritmo cuántico para química cuántica , simulaciones cuánticas y problemas de optimización . Es un algoritmo híbrido que utiliza tanto computadoras clásicas como computadoras cuánticas para encontrar el estado fundamental de un sistema físico dado. Dado un valor de conjetura o ansatz , el procesador cuántico calcula el valor esperado del sistema con respecto a un observable , a menudo el hamiltoniano, y se utiliza un optimizador clásico para mejorar el valor de conjetura. El algoritmo se basa en el método variacional de la mecánica cuántica.

Fue propuesto originalmente en 2014, con los autores correspondientes Alberto Peruzzo, Alán Aspuru-Guzik y Jeremy O'Brien . ^{[a] [1] [2]} El algoritmo también ha encontrado aplicaciones en el aprendizaje automático cuántico y ha sido corroborado por algoritmos híbridos generales entre computadoras cuánticas y clásicas. ^[3] Es un ejemplo de un algoritmo cuántico de escala intermedia ruidoso (NISQ).

Descripción

Codificación de Pauli

El objetivo de la VQE es encontrar un conjunto de operaciones cuánticas que preparen el estado de energía más bajo (o mínimos) de una aproximación cercana a alguna cantidad objetivo u observable. Si bien el único requisito estricto para la representación de un observable es que sea eficiente para estimar sus valores esperados, a menudo es más simple si ese operador tiene una expresión compacta o simple en términos de operadores de Pauli o productos tensoriales de operadores de Pauli.

Para un sistema fermiónico, suele ser más conveniente realizar una qubitización: es decir, escribir el hamiltoniano de muchos cuerpos del sistema utilizando una segunda cuantificación y luego utilizar una función para escribir los operadores de creación-aniquilación en términos de operadores de Pauli. Los esquemas comunes para los fermiones incluyen la transformación de Jordan-Wigner , la transformación de Bravyi-Kitaev y la transformación de paridad. ^{[4] [5]}

Una vez que el hamiltoniano se escribe en términos de operadores de Pauli y se descartan los estados irrelevantes (espacio de dimensión finita), consistiría en una combinación lineal de cadenas de Pauli que consisten en productos tensoriales de operadores de Pauli (por ejemplo ), tales que ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {P}}_{i}}$ ${\displaystyle X\otimes I\otimes Z\otimes X}$

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i}\alpha _{i}{\hat {P}}_{i}}$,

donde son coeficientes numéricos. En función de los coeficientes, se puede reducir el número de cadenas de Pauli para optimizar el cálculo. ^[6] ${\displaystyle \alpha _{i}}$

La VQE se puede adaptar a otros problemas de optimización adaptando el hamiltoniano para que sea una función de costo. ^[7]

Ansatz y función de prueba inicial

La elección del estado de ansatz depende del sistema de interés. En la computación cuántica basada en puertas , el ansatz lo proporciona un circuito cuántico parametrizado , cuyos parámetros se pueden actualizar después de cada ejecución. El ansatz tiene que ser lo suficientemente adaptable para no perder el estado deseado. Un método común para obtener un ansatz válido lo proporciona el marco de clúster acoplado unitario (UCC) y sus extensiones. ^[8]

Si no se elige el ansatz de forma adecuada, el procedimiento puede detenerse en parámetros subóptimos que no corresponden a un mínimo. En esta situación, se dice que el algoritmo ha llegado a una "meseta estéril". ^[5]

Ejemplo de un enfoque eficiente de hardware.

El ansatz se puede configurar como una función de prueba inicial para iniciar el algoritmo. Por ejemplo, para un sistema molecular, se puede utilizar el método Hartree-Fock para proporcionar un estado de inicio cercano al estado fundamental real.

Otra variante del circuito ansatz es el ansatz eficiente de hardware, que consiste en una secuencia de puertas rotacionales de 1 qubit y puertas entrelazadas de 2 qubits. ^{[ cita requerida ]} El número de repeticiones de puertas rotacionales de 1 qubit y puertas entrelazadas de 2 qubits se denomina profundidad del circuito.

Medición

El valor esperado de un estado dado con parámetros , tiene un valor esperado de la función de energía o costo dado por ${\displaystyle |\psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})\rangle }$ ${\displaystyle \{\theta _{i}\}_{i=1}^{N}}$

${\displaystyle E(\theta _{1},\cdots ,\theta _{n})=\langle {\hat {H}}\rangle =\sum _{i}\alpha _{i}\langle \psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})|{\hat {P}}_{i}|\psi (\theta _{1},\cdots ,\theta _{N})\rangle }$

entonces para obtener el valor esperado de la energía, uno puede medir el valor esperado de cada cadena de Pauli (número de cuentas para un valor dado sobre el número total de cuentas). Este paso corresponde a medir cada qubit en el eje proporcionado por la cadena de Pauli. ^[7] Por ejemplo, para la cadena , el primer qubit se medirá en el eje x , mientras que los dos últimos se medirán en el eje y de la esfera de Bloch . Si la medición en el eje z solo es posible, entonces se pueden usar puertas de Clifford para transformar entre ejes. Si dos cadenas de Pauli conmutan, entonces se pueden medir ambas simultáneamente usando el mismo circuito e interpretando el resultado de acuerdo con el álgebra de Pauli. ${\displaystyle X\otimes Y\otimes Y}$

Método variacional y optimización

Dado un ansatz parametrizado para el estado fundamental, con parámetros que pueden modificarse, uno seguramente encontrará el estado parametrizado que es más cercano al estado fundamental basado en el método variacional de la mecánica cuántica . Usando algoritmos clásicos en una computadora digital, los parámetros del ansatz pueden optimizarse. Para esta minimización, es necesario encontrar los mínimos de una función multivariable. Los optimizadores clásicos que usan descenso de gradiente pueden usarse para este propósito. ^[7]

Formulación

Para un hamiltoniano (H) dado y un vector de estado, si podemos variar arbitrariamente, entonces será la energía del estado fundamental y sería un estado fundamental (suponiendo que no haya degeneración). Pero el problema de minimización anterior sobre todos los estados posibles , donde el estado es dimensional, es impráctico. Por lo tanto, para restringir el espacio de búsqueda a un tamaño más práctico (por ejemplo, poly(n)), necesitamos restringirlo a solo un subconjunto de posibles estados de n-qubit que se basa en el conocimiento convencional de física, química y mecánica cuántica. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \min _{|\psi \rangle }\langle \psi |H|\psi \rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {argmin} _{|\psi \rangle }\langle \psi |H|\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Ilustración de alto nivel del algoritmo cuántico variacional

Algoritmo

La figura adjunta ilustra los pasos de alto nivel del algoritmo VQE.

El circuito controla el subconjunto de estados posibles que se pueden crear, y el parámetro contiene los parámetros variacionales, donde el número de parámetros elegidos es suficiente para brindarle al algoritmo poder expresivo para calcular el estado fundamental del sistema, pero no demasiado grande para aumentar el costo computacional del paso de optimización. ${\displaystyle U({\vec {\theta }})}$ ${\displaystyle {\vec {\theta }}}$ ${\displaystyle {\vec {\theta }}={\begin{pmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\\\vdots \\\theta _{p}\end{pmatrix}}}$

Al ejecutar el circuito muchas veces y actualizar constantemente los parámetros para encontrar los mínimos globales del valor esperado del observable deseado, uno puede aproximarse al estado fundamental del sistema dado y almacenarlo en un procesador cuántico como una serie de instrucciones de puerta cuántica .

En caso de descenso de gradiente, se requiere minimizar una función de costo donde para el caso VQE . La regla de actualización es: ${\displaystyle f({\vec {\theta }})}$ ${\displaystyle f({\vec {\theta }})=\langle \psi ({\vec {\theta }})|H|\psi ({\vec {\theta }})\rangle }$

${\displaystyle {\vec {\theta }}^{({\text{new}})}={\vec {\theta }}^{({\text{old}})}-r\nabla f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})}$

donde r es la tasa de aprendizaje (tamaño del paso) y

${\displaystyle \Delta f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})=\left({\frac {\partial f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})}{\partial \theta _{1}}},{\frac {\partial f({\vec {\theta }}^{({\text{old}})})}{\partial \theta _{2}}},\ldots \right)^{\top }}$

Para calcular los gradientes, se utiliza la regla de desplazamiento de parámetros.

Ejemplo

Consideremos un único ejemplo de puerta Pauli:

${\displaystyle U(\theta )=e^{-i{\frac {\theta }{2}}P},}$

donde P = X,Y o Z , entonces

${\displaystyle \nabla _{\theta }U={\frac {\partial U}{\partial \theta }}=-{\frac {i}{2}}Pe^{-i{\frac {\theta }{2}}P}=-{\frac {i}{2}}PU=-{\frac {i}{2}}UP}$

Como, . Por lo tanto, ${\displaystyle f(\theta )=\langle \phi |U^{\dagger }AU|\phi \rangle }$

${\displaystyle \nabla _{\theta }f(\theta )={\frac {\partial }{\partial \theta }}\langle \phi |U^{\dagger }AU|\phi \rangle =\langle \phi |\left({\frac {i}{2}}P\right)U^{\dagger }AU|\phi \rangle +\langle \phi |U^{\dagger }A\left(-{\frac {i}{2}}P\right)U|\phi \rangle }$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\langle \phi |U^{\dagger }(\theta +{\frac {\pi }{2}})AU(\theta +{\frac {\pi }{2}})|\phi \rangle -{\frac {1}{2}}\langle \phi |U^{\dagger }(\theta -{\frac {\pi }{2}})AU(\theta -{\frac {\pi }{2}})|\phi \rangle }$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(f(\theta +{\frac {\pi }{2}})-f(\theta -{\frac {\pi }{2}})\right)}$

El resultado anterior tiene propiedades interesantes como:

1. El mismo circuito se puede utilizar para evaluar y ${\displaystyle f(\theta )}$ ${\displaystyle \nabla _{\theta }f(\theta )}$
2. ${\displaystyle f(\cdot )}$Debe evaluarse dos veces para llegar al valor del gradiente.
3. Como la precisión del ángulo es grande, la precisión de la compuerta se puede mantener baja. ${\displaystyle \pm {\frac {\pi }{2}}}$

Ventajas y desventajas

1. El circuito VQE no requiere muchas puertas en comparación con el algoritmo de estimación de fase cuántica (QPE), es más robusto a los errores y se presta bien a las estrategias de mitigación de errores.
2. Es un método heurístico y, por lo tanto, no garantiza la convergencia al valor del estado fundamental. El método está muy influenciado por la elección del circuito de ansatz y los métodos de optimización.
3. El número de mediciones necesarias para concluir el valor del estado fundamental es mayor en comparación con el QPE y escala aproximadamente con el número de términos del hamiltoniano.
4. VQE puede ejecutarse en hardware NISQ.
5. La VQE es muy versátil, ya que los problemas (aparte de la química) pueden expresarse como hamiltonianos.

Usar

En química

A partir de 2022, el solucionador de propiedades cuánticas variacionales solo puede simular moléculas pequeñas como el ion hidruro de helio ^[1] o la molécula de hidruro de berilio . ^[9] Se pueden simular moléculas más grandes teniendo en cuenta consideraciones de simetría. En 2020, se demostró una simulación de 12 qubits de una cadena de hidrógeno (H _{12 ) utilizando} el procesador cuántico Sycamore de Google . ^[10]

Véase también

• Algoritmos de optimización cuántica

Notas

1. Autores completos: Alberto Peruzzo, Jarrod McClean, Peter Shadbolt, Man-Hong Yung, Xiao-Qi Zhou, Peter J. Love, Alan Aspuru-Guzik y Jeremy L. O'Brien. Todos ellos contribuyen por igual.

Referencias

1. Peruzzo, Alberto; McClean, Jarrod; Shadbolt, Peter; Yung, Man-Hong; Zhou, Xiao-Qi; Love, Peter J.; Aspuru-Guzik, Alán; O'Brien, Jeremy L. (2014). "Un solucionador de valores propios variacional en un procesador cuántico fotónico". Nature Communications . 5 (1): 4213. arXiv : 1304.3061 . Bibcode :2014NatCo...5.4213P. doi :10.1038/ncomms5213. ISSN  2041-1723. PMC  4124861 . PMID  25055053.
2. Bharti, Kishor; Cervera-Lierta, Alba; Kyaw, Thi Ha; Haug, Tobías; Alperin-Lea, Sumner; Anand, Abhinav; Degroote, Matías; Heimonen, Hermanni; Kottmann, Jakob S.; Menke, Tim; Mok, Wai-Keong; Sim, Sukin; Kwek, Leong-Chuan; Aspuru-Guzik, Alán (15 de febrero de 2022). "Algoritmos cuánticos ruidosos de escala intermedia". Reseñas de Física Moderna . 94 (1): 015004. arXiv : 2101.08448 . Código Bib : 2022RvMP...94a5004B. doi : 10.1103/RevModPhys.94.015004. tamaño de archivo : 10356/161272 .
3. McClean, Jarrod R; Romero, Jonathan; Babbush, Ryan; Aspuru-Guzik, Alán (4 de febrero de 2016). "La teoría de algoritmos variacionales híbridos cuántico-clásicos". New Journal of Physics . 18 (2): 023023. arXiv : 1509.04279 . Bibcode :2016NJPh...18b3023M. doi : 10.1088/1367-2630/18/2/023023 . ISSN  1367-2630. S2CID  92988541.
4. Steudtner, M (2019). Métodos para simular fermiones en computadoras cuánticas con limitaciones de hardware (Tesis doctoral). Universidad de Leiden.
5. Tilly, Jules; Chen, Hongxiang; Cao, Shuxiang; Picozzi, Dario; Setia, Kanav; Li, Ying; Grant, Edward; Wossnig, Leonard; Rungger, Ivan; Booth, George H.; Tennyson, Jonathan (12 de junio de 2022). "El solucionador de propiedades cuánticas variacionales: una revisión de métodos y mejores prácticas". Physics Reports . 986 : 1–128. arXiv : 2111.05176 . Código Bibliográfico :2022PhR...986....1T. doi :10.1016/j.physrep.2022.08.003. S2CID  243861087.
6. Seeley, Jacob T.; Richard, Martin J.; Love, Peter J. (12 de diciembre de 2012). "La transformación de Bravyi-Kitaev para el cálculo cuántico de la estructura electrónica". The Journal of Chemical Physics . 137 (22): 224109. arXiv : 1208.5986 . Código Bibliográfico :2012JChPh.137v4109S. doi :10.1063/1.4768229. ISSN  0021-9606. PMID  23248989. S2CID  30699239.
7. Moll, Nikolaj; Barkoutsos, Panagiotis; Bishop, Lev S; Chow, Jerry M; Cross, Andrew; Egger, Daniel J; Filipp, Stefan; Fuhrer, Andreas; Gambetta, Jay M; Ganzhorn, Marc; Kandala, Abhinav; Mezzacapo, Antonio; Müller, Peter; Riess, Walter; Salis, Gian (2018). "Optimización cuántica utilizando algoritmos variacionales en dispositivos cuánticos de corto plazo". Ciencia y tecnología cuántica . 3 (3): 030503. arXiv : 1710.01022 . Código Bibliográfico :2018QS&T....3c0503M. doi :10.1088/2058-9565/aab822. ISSN  2058-9565. S2CID  56376912.
8. Tilly, Jules; Chen, Hongxiang; Cao, Shuxiang; Picozzi, Dario; Setia, Kanav; Li, Ying; Grant, Edward; Wossnig, Leonard; Rungger, Ivan; Booth, George H.; Tennyson, Jonathan (12 de junio de 2022). "El solucionador de propiedades cuánticas variacionales: una revisión de los métodos y las mejores prácticas". Physics Reports . 986 : 1–128. arXiv : 2111.05176 . Código Bibliográfico :2022PhR...986....1T. doi :10.1016/j.physrep.2022.08.003. S2CID  243861087.
9. Kandala, Abhinav; Mezzacapo, Antonio; Temme, Kristan; Takita, Maika; Brink, Markus; Chow, Jerry M.; Gambetta, Jay M. (2017). "Solucionador de propiedades cuánticas variacionales de hardware eficiente para moléculas pequeñas e imanes cuánticos". Nature . 549 (7671): 242–246. arXiv : 1704.05018 . Bibcode :2017Natur.549..242K. doi :10.1038/nature23879. ISSN  1476-4687. PMID  28905916. S2CID  4390182.
10. Arute, Frank; Arya, Kunal; Babbush, Ryan; et al. (2020). "Hartree-Fock en una computadora cuántica de cúbits superconductores". Science . 369 (6507): 1084–1089. arXiv : 2004.04174 . Bibcode :2020Sci...369.1084.. doi :10.1126/science.abb9811. ISSN  0036-8075. PMID  32855334. S2CID  215548188.