Ecuaciones de Dehn-Sommerville

En matemáticas, las ecuaciones de Dehn-Sommerville son un conjunto completo de relaciones lineales entre los números de caras de diferente dimensión de un politopo simplicial . Para politopos de dimensión 4 y 5, fueron encontradas por Max Dehn en 1905. Su forma general fue establecida por Duncan Sommerville en 1927. Las ecuaciones de Dehn-Sommerville pueden ser reformuladas como una condición de simetría para el vector h del politopo simplicial y esta se ha convertido en la formulación estándar en la literatura combinatoria reciente. Por dualidad, ecuaciones análogas son válidas para politopos simples .

Declaración

Sea P un politopo simplicial de dimensión d . Para i = 0, 1, ..., d  − 1, sea f _i el número de caras de dimensión i de P. La secuencia

${\displaystyle f(P)=(f_{0},f_{1},\ldots ,f_{d-1})}$

se llama f -vector del politopo P . Además, el conjunto

${\displaystyle f_{-1}=1,f_{d}=1.}$

Entonces, para cualquier k = −1, 0, ..., d  − 2, se cumple la siguiente ecuación de Dehn-Sommerville :

${\displaystyle \sum _{j=k}^{d-1}(-1)^{j}{\binom {j+1}{k+1}}f_{j}=(-1)^{d-1}f_{k}.}$

Cuando k = −1, expresa el hecho de que la característica de Euler de una esfera simplicial de ( d  − 1) dimensión es igual a 1 + (−1) ^{d  − 1} .

Las ecuaciones de Dehn–Sommerville con diferentes k no son independientes. Hay varias maneras de elegir un subconjunto independiente máximo que consta de ecuaciones. Si d es par, entonces las ecuaciones con k = 0, 2, 4, ...,  d  − 2 son independientes. Otro conjunto independiente consta de las ecuaciones con k = −1, 1, 3, ..., d  − 3. Si d es impar, entonces las ecuaciones con k = −1, 1, 3, ..., d  − 2 forman un conjunto independiente y las ecuaciones con k = −1, 0, 2, 4, ..., d  − 3 forman otro. ${\textstyle \left[{\frac {d+1}{2}}\right]}$

Formulaciones equivalentes

Sommerville encontró una forma diferente de formular estas ecuaciones:

${\displaystyle \sum _{i=-1}^{k-1}(-1)^{d+i}{\binom {d-i-1}{d-k}}f_{i}=\sum _{i=-1}^{d-k-1}(-1)^{i}{\binom {d-i-1}{k}}f_{i},}$

donde 0 ≤ k ≤ 1 ⁄ 2 (d−1). Esto se puede facilitar aún más introduciendo la noción de h -vector de P . Para k = 0, 1, ..., d , sea

${\displaystyle h_{k}=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{\binom {d-i}{k-i}}f_{i-1}.}$

La secuencia

${\displaystyle h(P)=(h_{0},h_{1},\ldots ,h_{d})}$

se llama el h -vector de P. El f -vector y el h -vector se determinan de forma única entre sí a través de la relación

${\displaystyle \sum _{i=0}^{d}f_{i-1}(t-1)^{d-i}=\sum _{k=0}^{d}h_{k}t^{d-k}.}$

Entonces las ecuaciones de Dehn-Sommerville pueden reformularse simplemente como

${\displaystyle h_{k}=h_{d-k}\quad {\text{ for }}0\leq k\leq d.}$

Las ecuaciones con 0 ≤ k ≤ 1 ⁄ 2 (d−1) son independientes, y las demás son manifiestamente equivalentes a ellas.

Richard Stanley dio una interpretación de los componentes del vector h de un politopo convexo simplicial P en términos de la variedad tórica proyectiva X asociada con (el dual de)  P . Es decir, son las dimensiones de los grupos  de cohomología de intersección par de X :

${\displaystyle h_{k}=\dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {IH} ^{2k}(X,\mathbb {Q} )}$

(los grupos de cohomología de intersección impares de X son todos cero). En este lenguaje, la última forma de las ecuaciones de Dehn-Sommerville, la simetría del vector h , es una manifestación de la dualidad de Poincaré en la cohomología de intersección  de X.

Referencias

• Branko Grünbaum , Politopos convexos . Segunda edición. Textos de posgrado en matemáticas, vol. 221, Springer, 2003 ISBN  0-387-00424-6
• Richard P. Stanley , Combinatoria y álgebra conmutativa . Segunda edición. Progress in Mathematics, 41. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. ISBN 0-8176-3836-9 
• DMY Sommerville (1927) Las relaciones que conectan las sumas de ángulos y el volumen de un politopo en el espacio de n dimensiones. Actas de la Royal Society Series A, 115:103–19, enlace web desde JSTOR .
• Günter M. Ziegler , Lecciones sobre politopos . Springer , 1998. ISBN 0-387-94365-X