Ecuación de von Foerster

La ecuación de McKendrick-von Foerster es una ecuación diferencial parcial lineal de primer orden que se encuentra en varias áreas de la biología matemática , por ejemplo, demografía ^[1] y modelado de proliferación celular ; se aplica cuando la estructura de edades es una característica importante en el modelo matemático . ^[2] Fue presentado por primera vez por Anderson Gray McKendrick en 1926 como un límite determinista de los modelos reticulares aplicados a la epidemiología , ^[3] y posteriormente de forma independiente en 1959 por el profesor de biofísica Heinz von Foerster para describir los ciclos celulares.

Fórmula matemática

La fórmula matemática se puede derivar de los primeros principios. Se lee:

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}+{\frac {\partial n}{\partial a}}=-m(a)n}$

donde la densidad de población es función de la edad y el tiempo , y es la función de muerte. Cuando , tenemos: ^[2] ${\displaystyle n(t,a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m(a)}$ ${\displaystyle m(a)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=-{\frac {\partial n}{\partial a}}}$

Relata que una población envejece, y ese hecho es el único que influye en el cambio en la densidad poblacional; el signo negativo muestra que el tiempo fluye en una sola dirección, que no hay nacimientos y la población se va a extinguir.

Derivación

Supongamos que para un cambio de tiempo y un cambio de edad , la densidad de población es: ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle da}$

$${\displaystyle n(t+dt,a+da)=[1-m(a)dt]n(t,a)}$$

en serie de Taylor ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle m(a)dt}$ ${\displaystyle dt}$

$${\displaystyle n(t+dt,a+da)\approx n(t,a)+{\partial n \over {\partial t}}dt+{\partial n \over {\partial a}}da}$$

${\textstyle da/dt=1}$

$${\displaystyle {\partial n \over {\partial t}}+{\partial n \over {\partial a}}=-m(a)n}$$

Solucion analitica

La ecuación de von Foerster es una ecuación de continuidad ; se puede resolver mediante el método de las características . ^[2] Otra forma es mediante solución de similitud ; y un tercero es un enfoque numérico como el de diferencias finitas .

Para obtener la solución, se deben agregar las siguientes condiciones de contorno:

${\displaystyle n(t,0)=\int _{0}^{\infty }b(a)n(t,a)\,da}$

que establece que los nacimientos iniciales deben conservarse (consulte la ecuación de Sharpe-Lotka-McKendrick para lo contrario), y que:

${\displaystyle n(0,a)=f(a)}$

que establece que se debe dar la población inicial; entonces evolucionará según la ecuación diferencial parcial.

Ecuaciones similares

En Sebastian Aniţa, Viorel Arnăutu, Vincenzo Capasso. Una introducción a los problemas de control óptimo en ciencias biológicas y economía (Birkhäuser. 2011), esta ecuación aparece como un caso especial de la ecuación de Sharpe-Lotka-McKendrick; en este último hay entrada y las matemáticas se basan en la derivada direccional . La ecuación de McKendrick aparece ampliamente en el contexto de la biología celular como un buen enfoque para modelar el ciclo celular eucariota. ^[4]

Ver también

• método de diferencias finitas
• Ecuación diferencial parcial
• Teoría de la renovación
• Ecuación de continuidad
• Ecuación integral de Volterra

Referencias

1. Keyfitz, BL; Keyfitz, N. (1 de septiembre de 1997). "La ecuación diferencial parcial de McKendrick y sus usos en epidemiología y estudio de población". Modelado Matemático e Informático . 26 (6): 1–9. doi :10.1016/S0895-7177(97)00165-9. ISSN  0895-7177. S2CID  15550610.
2. Murray, JD (2002). Biología Matemática I: Introducción . Matemática Aplicada Interdisciplinaria. vol. 17 (3ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-95223-3.
3. McKendrick, AG (1926). "Aplicaciones de las matemáticas a problemas médicos". Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 44 : 98-130. doi : 10.1017/S0013091500034428 . ISSN  1464-3839.
4. Gavagnin, Enrico (14 de octubre de 2018). "La velocidad de invasión de los modelos de migración celular con distribuciones de tiempo del ciclo celular realistas". Revista de Biología Teórica . 79 (1): 91–99. arXiv : 1806.03140 . Código Bib : 2019JThBi.481...91G. doi :10.1016/j.jtbi.2018.09.010. PMID  30219568. S2CID  47015362.