Ecuación de representación

Ecuación integral

La ecuación de renderizado describe la cantidad total de luz emitida desde un punto x a lo largo de una dirección de visualización particular, dada una función para la luz entrante y una BRDF .

En gráficos por computadora , la ecuación de renderizado es una ecuación integral en la que la radiancia de equilibrio que sale de un punto se da como la suma de la radiancia emitida más la reflejada bajo una aproximación de óptica geométrica . Fue introducida simultáneamente en gráficos por computadora por David Immel et al. ^[1] y James Kajiya ^[2] en 1986. Las diversas técnicas de renderizado realista en gráficos por computadora intentan resolver esta ecuación.

La base física de la ecuación de renderizado es la ley de conservación de la energía . Suponiendo que L denota radiancia , tenemos que en cada posición y dirección particular, la luz saliente (L _o ) es la suma de la luz emitida (L _e ) y la luz reflejada (L _r ). La luz reflejada en sí es la suma de todas las direcciones de la luz entrante (L _i ) multiplicada por la reflexión de la superficie y el coseno del ángulo incidente.

Forma de ecuación

La ecuación de renderizado se puede escribir en la forma

${\displaystyle L_{\text{o}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)=L_{\text{e}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)+L_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$

${\displaystyle L_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)=\int _{\Omega }f_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{i}},\omega _{\text{o}},\lambda ,t)L_{\text{i}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{i}},\lambda ,t)(\omega _{\text{i}}\cdot \mathbf {n} )\operatorname {d} \omega _{\text{i}}}$

dónde

• ${\displaystyle L_{\text{o}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$es la radiancia espectral total de la longitud de onda dirigida hacia afuera a lo largo de la dirección en el tiempo , desde una posición particular ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega _{\text{o}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$
• ${\displaystyle \mathbf {x} }$es la ubicación en el espacio
• ${\displaystyle \omega _{\text{o}}}$es la dirección de la luz saliente
• ${\displaystyle \lambda }$es una longitud de onda particular de luz
• ${\displaystyle t}$es hora
• ${\displaystyle L_{\text{e}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$se emite radiancia espectral
• ${\displaystyle L_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$es la radiación espectral reflejada
• ${\displaystyle \int _{\Omega }\dots \operatorname {d} \omega _{\text{i}}}$es una integral sobre ${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \Omega }$es el hemisferio unitario centrado alrededor del cual se encuentran todos los valores posibles para donde ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{i}}\cdot \mathbf {n} >0}$
• ${\displaystyle f_{\text{r}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{i}},\omega _{\text{o}},\lambda ,t)}$es la función de distribución de reflectancia bidireccional , la proporción de luz reflejada desde a en la posición , el tiempo y la longitud de onda ${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$ ${\displaystyle \omega _{\text{o}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$es la dirección negativa de la luz entrante
• ${\displaystyle L_{\text{i}}(\mathbf {x} ,\omega _{\text{i}},\lambda ,t)}$es la radiancia espectral de longitud de onda que viene hacia adentro desde la dirección en el tiempo ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \omega _{\text{i}}}$ ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \mathbf {n} }$¿La superficie es normal en ${\displaystyle \mathbf {x} }$
• ${\displaystyle \omega _{\text{i}}\cdot \mathbf {n} }$es el factor de debilitamiento de la irradiancia externa debido al ángulo de incidencia , ya que el flujo de luz se esparce a lo largo de una superficie cuya área es mayor que el área proyectada perpendicular al rayo. Esto a menudo se escribe como . ${\displaystyle \cos \theta _{i}}$

Dos características notables son: su linealidad (se compone únicamente de multiplicaciones y adiciones) y su homogeneidad espacial (es la misma en todas las posiciones y orientaciones). Esto significa que es posible una amplia gama de factorizaciones y reordenamientos de la ecuación. Es una ecuación integral de Fredholm de segundo tipo, similar a las que surgen en la teoría cuántica de campos . ^[3]

Tenga en cuenta la dependencia espectral y temporal de esta ecuación : se puede muestrear o integrar en secciones del espectro visible para obtener, por ejemplo, una muestra de color tricromática . Se puede obtener un valor de píxel para un solo fotograma de una animación corrigiendo el desenfoque de movimiento o se puede producir promediando en un intervalo de tiempo determinado (integrando en el intervalo de tiempo y dividiendo por la longitud del intervalo). ^[4] ${\displaystyle L_{\text{o}}}$ ${\displaystyle t;}$ ${\displaystyle L_{\text{o}}}$

Tenga en cuenta que una solución a la ecuación de renderizado es la función . La función está relacionada con mediante una operación de trazado de rayos: La radiancia entrante desde alguna dirección en un punto es la radiancia saliente en algún otro punto en la dirección opuesta. ${\displaystyle L_{\text{o}}}$ ${\displaystyle L_{\text{i}}}$ ${\displaystyle L_{\text{o}}}$

Aplicaciones

Resolver la ecuación de renderizado para cualquier escena dada es el principal desafío en el renderizado realista . Un enfoque para resolver la ecuación se basa en métodos de elementos finitos , lo que conduce al algoritmo de radiosidad . Otro enfoque que utiliza métodos de Monte Carlo ha dado lugar a muchos algoritmos diferentes, incluidos el trazado de trayectorias , el mapeo de fotones y el transporte de luz Metropolis , entre otros.

Limitaciones

Aunque la ecuación es muy general, no refleja todos los aspectos de la reflexión de la luz. Algunos aspectos que faltan son los siguientes:

• Transmisión , que ocurre cuando la luz se transmite a través de la superficie, como cuando golpea un objeto de vidrio o una superficie de agua ,
• Dispersión subsuperficial , donde las ubicaciones espaciales de la luz entrante y saliente son diferentes. Las superficies renderizadas sin tener en cuenta la dispersión subsuperficial pueden parecer opacas de forma poco natural; sin embargo, no es necesario tener esto en cuenta si se incluye la transmisión en la ecuación, ya que eso incluirá efectivamente también la luz dispersada debajo de la superficie.
• Polarización , donde diferentes polarizaciones de luz a veces tendrán diferentes distribuciones de reflexión, por ejemplo, cuando la luz rebota en una superficie de agua,
• Fosforescencia , que ocurre cuando la luz u otra radiación electromagnética se absorbe en un momento y se emite en un momento posterior, generalmente con una longitud de onda más larga (a menos que la radiación electromagnética absorbida sea muy intensa),
• Interferencia , donde se exhiben las propiedades ondulatorias de la luz,
• Fluorescencia , donde la luz absorbida y emitida tienen diferentes longitudes de onda ,
• Efectos no lineales , donde una luz muy intensa puede aumentar el nivel de energía de un electrón con más energía que la de un solo fotón (esto puede ocurrir si el electrón es golpeado por dos fotones al mismo tiempo), y la emisión de luz con una frecuencia más alta que la frecuencia de la luz que golpeó la superficie de repente se vuelve posible, y
• Efecto Doppler , en el que la luz que rebota en un objeto que se mueve a gran velocidad cambia su longitud de onda: si la luz rebota en un objeto que se acerca a ella, se desplazará hacia el azul y los fotones se concentrarán más cerca, por lo que aumentará el flujo de fotones; si rebota en un objeto que se aleja de él, se desplazará hacia el rojo y disminuirá el flujo de fotones. Este efecto solo se hace evidente a velocidades comparables a la velocidad de la luz , lo que no ocurre en la mayoría de las aplicaciones de renderizado.

Para escenas que no están compuestas de superficies simples en el vacío o para las cuales el tiempo de viaje de la luz es un factor importante, los investigadores han generalizado la ecuación de renderizado para producir una ecuación de renderizado de volumen ^[5] adecuada para el renderizado de volumen y una ecuación de renderizado transitorio ^[6] para usar con datos de una cámara de tiempo de vuelo .

Referencias

1. Immel, David S.; Cohen, Michael F.; Greenberg, Donald P. (1986). "Un método de radiosidad para entornos no difusos" (PDF) . En David C. Evans; Russell J. Athay (eds.). SIGGRAPH '86 . Actas de la 13.ª conferencia anual sobre gráficos por ordenador y técnicas interactivas. págs. 133–142. doi :10.1145/15922.15901. ISBN .  978-0-89791-196-2.S2CID 7384510  .
2. Kajiya, James T. (1986). "La ecuación de renderizado" (PDF) . En David C. Evans; Russell J. Athay (eds.). SIGGRAPH '86 . Actas de la 13.ª conferencia anual sobre gráficos por ordenador y técnicas interactivas. págs. 143-150. doi :10.1145/15922.15902. ISBN.  978-0-89791-196-2.S2CID 9226468  .
3. Watt, Alan; Watt, Mark (1992). "12.2.1 La solución de trazado de trayectorias para la ecuación de renderizado". Técnicas avanzadas de animación y renderizado: teoría y práctica . Addison-Wesley Professional. pág. 293. ISBN 978-0-201-54412-1.
4. Owen, Scott (5 de septiembre de 1999). «Reflexión: teoría y formulación matemática» . Consultado el 22 de junio de 2008 .
5. Kajiya, James T.; Von Herzen, Brian P. (1984), "Densidades de volumen de trazado de rayos", ACM SIGGRAPH Computer Graphics , 18 (3): 165–174, CiteSeerX 10.1.1.128.3394 , doi :10.1145/964965.808594 
6. Smith, Adam M.; Skorupski, James; Davis, James (2008). Transient Rendering (PDF) (Informe técnico). UC Santa Cruz. UCSC-SOE-08-26.

Enlaces externos

• Notas de clase del curso CS 348B de la Universidad de Stanford, Gráficos por computadora: técnicas de síntesis de imágenes