Gravedad teórica

En geodesia y geofísica , la gravedad teórica o gravedad normal es una aproximación de la gravedad verdadera sobre la superficie terrestre mediante un modelo matemático que representa la Tierra. El modelo más común de una Tierra suavizada es un elipsoide de revolución terrestre giratorio (es decir, un esferoide ).

Las representaciones de la gravedad se pueden utilizar en el estudio y análisis de otros cuerpos, como los asteroides . Las representaciones ampliamente utilizadas de un campo gravitatorio en el contexto de la geodesia incluyen armónicos esféricos, modelos mascon y representaciones de gravedad poliédricas. ^[1]

Principios

El tipo de modelo de gravedad utilizado para la Tierra depende del grado de fidelidad requerido para un problema determinado. Para muchos problemas, como la simulación de aviones, puede ser suficiente considerar que la gravedad es una constante, definida como: ^[2]

${\displaystyle g=g_{45}=}$9,80665 m/s ² (32,1740 pies/s ² )

basado en datos del Sistema Geodésico Mundial 1984 ( WGS-84 ), donde se entiende que apunta "hacia abajo" en el marco de referencia local. ${\displaystyle g}$

Si es deseable modelar el peso de un objeto en la Tierra en función de la latitud , se podría utilizar lo siguiente: ^{[2] : 41}

${\displaystyle g=g_{45}-{\tfrac {1}{2}}(g_{\mathrm {poles} }-g_{\mathrm {equator} })\cos \left(2\,\varphi \cdot {\frac {\pi }{180}}\right)}$

dónde

• ${\displaystyle g_{\mathrm {poles} }}$= 9,832 m/s ² (32,26 pies/s ² )
• ${\displaystyle g_{45}}$= 9,806 m/s ² (32,17 pies/s ² )
• ${\displaystyle g_{\mathrm {equator} }}$= 9,780 m/s ² (32,09 pies/s ² )
• ${\displaystyle \varphi }$= latitud, entre −90° y +90°

Ninguno de estos tiene en cuenta los cambios de gravedad con los cambios de altitud, pero el modelo con la función coseno sí tiene en cuenta el relieve centrífugo que se produce por la rotación de la Tierra. En la esfera giratoria, la suma de la fuerza del campo gravitacional y la fuerza centrífuga produce una desviación angular de aproximadamente

${\displaystyle {\frac {\sin(2\varphi )}{2g}}{R\Omega ^{2}}}$

(en radianes) entre la dirección del campo gravitacional y la dirección medida por una plomada; la plomada parece apuntar hacia el sur en el hemisferio norte y hacia el norte en el hemisferio sur. rad/s es la velocidad angular diurna del eje de la Tierra, y km el radio de la esfera de referencia y la distancia del punto de la corteza terrestre al eje de la Tierra. ^[3] ${\displaystyle \Omega \approx 7.29\times 10^{-5}}$ ${\displaystyle R\approx 6370}$ ${\displaystyle R\sin \varphi }$

Para el efecto de atracción de masas en sí, la aceleración gravitacional en el ecuador es aproximadamente un 0,18% menor que la de los polos debido a que están ubicados más lejos del centro de masa. Cuando se incluye el componente rotacional (como arriba), la gravedad en el ecuador es aproximadamente un 0,53% menor que la de los polos, y la gravedad en los polos no se ve afectada por la rotación. Entonces, el componente rotacional del cambio debido a la latitud (0,35%) es aproximadamente dos veces más significativo que el cambio de atracción de masa debido a la latitud (0,18%), pero ambos reducen la fuerza de la gravedad en el ecuador en comparación con la gravedad en los polos.

Tenga en cuenta que, en el caso de los satélites, las órbitas están desacopladas de la rotación de la Tierra, por lo que el período orbital no es necesariamente de un día, pero también que los errores pueden acumularse en múltiples órbitas, por lo que la precisión es importante. Para tales problemas, la rotación de la Tierra sería irrelevante a menos que se modelen las variaciones con la longitud. Además, la variación de la gravedad con la altitud adquiere importancia, especialmente en órbitas muy elípticas.

El Modelo Gravitacional de la Tierra de 1996 ( EGM96 ) contiene 130.676 coeficientes que refinan el modelo del campo gravitacional de la Tierra. ^{[2] : 40} El término de corrección más significativo es aproximadamente dos órdenes de magnitud más significativo que el siguiente término más grande. ^{[2] : 40} Ese coeficiente se conoce como el término y explica el aplanamiento de los polos, o el achatamiento , de la Tierra. (Una forma alargada sobre su eje de simetría, como una pelota de fútbol americano, se llamaría prolata ). Se puede escribir una función potencial gravitacional para el cambio en la energía potencial de una unidad de masa que se acerca desde el infinito a la proximidad de la Tierra. Tomar derivadas parciales de esa función con respecto a un sistema de coordenadas resolverá los componentes direccionales del vector de aceleración gravitacional, en función de la ubicación. La componente debida a la rotación de la Tierra puede entonces incluirse, si procede, basándose en un día sidéreo con respecto a las estrellas (≈366,24 días/año) en lugar de en un día solar (≈365,24 días/año). Ese componente es perpendicular al eje de rotación y no a la superficie de la Tierra. ${\displaystyle J_{2}}$

En la publicación NASA SP-8010 se puede encontrar un modelo similar ajustado a la geometría y el campo gravitacional de Marte. ^[4]

La aceleración gravitacional baricéntrica en un punto del espacio viene dada por:

${\displaystyle \mathbf {g} =-{GM \over r^{2}}\mathbf {\hat {r}} }$

dónde:

M es la masa del objeto que se atrae, es el vector unitario desde el centro de masa del objeto que se atrae al centro de masa del objeto que se acelera, r es la distancia entre los dos objetos y G es la distancia gravitacional. constante . ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {\hat {r}} }$

Cuando este cálculo se realiza para objetos en la superficie de la Tierra, o aviones que giran con la Tierra, hay que tener en cuenta el hecho de que la Tierra está girando y a esto hay que restarle la aceleración centrífuga. Por ejemplo, la ecuación anterior da la aceleración a 9,820 m/s ² , cuando GM = 3,986 × 10 ¹⁴ m ³ /s ² y R = 6,371 × 10 ⁶ m. El radio centrípeto es r = R cos( φ ) , y la unidad de tiempo centrípeto es aproximadamente ( día / 2 π ), lo reduce, para r = 5 × 10 ⁶ metros, a 9,79379 m/s ² , que está más cerca del valor observado. ^{[ cita necesaria ]}

Fórmulas básicas

Varias fórmulas, cada vez más refinadas, para calcular la gravedad teórica se denominan Fórmula Internacional de la Gravedad , la primera de las cuales fue propuesta en 1930 por la Asociación Internacional de Geodesia . La forma general de esa fórmula es:

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left(1+A\sin ^{2}(\phi )-B\sin ^{2}(2\phi )\right),}$

en el que g ( φ ) es la gravedad en función de la latitud geográfica φ de la posición cuya gravedad se va a determinar, denota la gravedad en el ecuador (determinada por medición), y los coeficientes A y B son parámetros que deben seleccionarse para producir un buen ajuste global a la gravedad verdadera. ^[5] ${\displaystyle g_{e}}$

Utilizando los valores del sistema de referencia GRS80 , una instancia específica comúnmente utilizada de la fórmula anterior viene dada por:

${\displaystyle g(\phi )=9.780327\left(1+0.0053024\sin ^{2}(\phi )-0.0000058\sin ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^[5]

Usando la fórmula apropiada del doble ángulo en combinación con la identidad pitagórica , esto se puede reescribir en las formas equivalentes

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\phi )&=9.780327\left(1+0.0052792\sin ^{2}(\phi )+0.0000232\sin ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0053024-.0053256\cos ^{2}(\phi )+.0000232\cos ^{4}(\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2},\\&=9.780327\left(1.0026454-0.0026512\cos(2\phi )+.0000058\cos ^{2}(2\phi )\right)\,\mathrm {ms} ^{-2}.\end{aligned}}\,\!}$

Hasta la década de 1960 se utilizaban con frecuencia fórmulas basadas en el elipsoide de Hayford (1924) y en las del famoso geodesta alemán Helmert (1906). ^{[ cita necesaria ]} La diferencia entre el semieje mayor (radio ecuatorial) del elipsoide de Hayford y el del elipsoide WGS84 moderno es251 metros ; para el elipsoide de Helmert es sólo63 metros .

Ecuación de Somigliana

Una fórmula teórica más reciente para la gravedad en función de la latitud es la Fórmula de Gravedad Internacional 1980 (IGF80), también basada en el elipsoide GRS80 pero que ahora utiliza la ecuación de Somigliana (según Carlo Somigliana (1860-1955) ^[6] ):

${\displaystyle g(\phi )=g_{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(\phi )}}}\right],\,\!}$

donde, ^[7]

• ${\displaystyle k={\frac {bg_{p}-ag_{e}}{ag_{e}}}}$(fórmula constante);
• ${\displaystyle g_{e},g_{p}}$es la gravedad definida en el ecuador y los polos, respectivamente;
• ${\displaystyle a,b}$son los semiejes ecuatorial y polar, respectivamente;
• ${\displaystyle e^{2}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}}}}$es la excentricidad al cuadrado del esferoide ;

Proporcionar,

${\displaystyle g(\phi )=9.7803267715\left[{\frac {1+0.001931851353\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.0066943800229\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$^[5]

Un refinamiento posterior, basado en el elipsoide WGS84 , es la fórmula de gravedad elipsoidal WGS ( Sistema Geodésico Mundial ) de 1984: ^[7]

${\displaystyle g(\phi )=9.7803253359\left[{\frac {1+0.00193185265241\sin ^{2}(\phi )}{\sqrt {1-0.00669437999013\sin ^{2}(\phi )}}}\right]\,\mathrm {ms} ^{-2}.}$

(donde = 9,8321849378 ms ⁻² ) ${\displaystyle g_{p}}$

La diferencia con IGF80 es insignificante cuando se utiliza con fines geofísicos , ^[5] pero puede ser significativa para otros usos.

Más detalles

Para la gravedad normal del elipsoide al nivel del mar, es decir, elevación h = 0, se aplica esta fórmula de Somigliana (1929): ${\displaystyle \gamma _{0}}$

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )={\frac {a\cdot \gamma _{a}\cdot \cos ^{2}\varphi +b\cdot \gamma _{b}\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {a^{2}\cdot \cos ^{2}\varphi +b^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

con

• ${\displaystyle \gamma _{a}}$= Gravedad normal en el ecuador
• ${\displaystyle \gamma _{b}}$= Gravedad normal en los polos
• a = semieje mayor (radio del ecuador)
• b = semieje menor (radio del polo)
• ${\displaystyle \varphi }$= latitud

Por cuestiones numéricas , la fórmula se simplifica a esto:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot {\frac {1+p\cdot \sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-e^{2}\cdot \sin ^{2}\varphi }}}}$

con

• ${\displaystyle p={\frac {b\cdot \gamma _{b}}{a\cdot \gamma _{a}}}-1}$
• ${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}};\quad }$( e es la excentricidad )

Para el Sistema de Referencia Geodésica 1980 (GRS 80), los parámetros se establecen en estos valores:

${\displaystyle a=6\,378\,137\,\mathrm {m} \quad \quad \quad \quad b=6\,356\,752{.}314\,1\,\mathrm {m} }$

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780\,326\,771\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} \quad \gamma _{b}=9{.}832\,186\,368\,5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }$

${\displaystyle \Rightarrow p=1{.}931\,851\,353\cdot 10^{-3}\quad e^{2}=6{.}694\,380\,022\,90\cdot 10^{-3}}$

Fórmula de aproximación a partir de expansiones en serie.

La fórmula de Somigliana fue aproximada mediante diferentes expansiones de series , siguiendo este esquema:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+\beta \cdot \sin ^{2}\varphi +\beta _{1}\cdot \sin ^{2}2\varphi +\dots )}$

Fórmula de gravedad internacional 1930.

La fórmula de gravedad normal de Gino Cassinis fue determinada en 1930 por la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica como fórmula de gravedad internacional junto con el elipsoide de Hayford . Los parámetros son:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}78049{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2884\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

Con el tiempo, los valores volvieron a mejorarse con nuevos conocimientos y métodos de medición más exactos.

Harold Jeffreys mejoró los valores en 1948 en:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780373{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}2891\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

Fórmula de gravedad internacional 1967.

La fórmula de gravedad normal del Geodetic Reference System 1967 se define con los valores:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}9\cdot 10^{-6}}$

Fórmula de gravedad internacional 1980.

De los parámetros del GRS 80 surge la ampliación de la serie clásica:

${\displaystyle \gamma _{a}=9{.}780327{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}\quad \beta =5{.}3024\cdot 10^{-3}\quad \beta _{1}=-5{.}8\cdot 10^{-6}}$

La precisión es de aproximadamente ±10 ⁻⁶ m/s ² .

Con GRS 80 también se introduce la siguiente ampliación de serie:

${\displaystyle \gamma _{0}(\varphi )=\gamma _{a}\cdot (1+c_{1}\cdot \sin ^{2}\varphi +c_{2}\cdot \sin ^{4}\varphi +c_{3}\cdot \sin ^{6}\varphi +c_{4}\cdot \sin ^{8}\varphi +\dots )}$

Como tal los parámetros son:

• c ₁  = 5.279 0414·10 ⁻³
• c2 = _2.327  18·10 ⁻⁵
• c3 = _1.262  ·10 ⁻⁷
• c4 = ₇  ·10 ⁻¹⁰

La precisión es de aproximadamente ±10 ⁻⁹ m/s ² exactos. Cuando no se requiere exactitud, se pueden omitir los términos que aparecen más adelante. Pero se recomienda utilizar esta fórmula finalizada.

Dependencia de la altura

Cassinis determinó la dependencia de la altura, como:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}08\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}-4{.}19\cdot 10^{-7}\,{\frac {\mathrm {cm} ^{3}}{\mathrm {g} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot \rho \right)\cdot h}$

 Ya no se considera la densidad promedio de la roca ρ.

Desde GRS 1967, la dependencia de la elevación elipsoidal  h es:

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\varphi ,h)&=g_{0}(\varphi )-\left(1-1{.}39\cdot 10^{-3}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\cdot 3{.}0877\cdot 10^{-6}\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\\&=g_{0}(\varphi )-\left(3{.}0877\cdot 10^{-6}-4{.}3\cdot 10^{-9}\cdot \sin ^{2}(\varphi )\right)\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h+7{.}2\cdot 10^{-13}\,{\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}\cdot h^{2}\end{aligned}}}$

Otra expresión es:

${\displaystyle g(\varphi ,h)=g_{0}(\varphi )\cdot (1-(k_{1}-k_{2}\cdot \sin ^{2}\varphi )\cdot h+k_{3}\cdot h^{2})}$

con los parámetros derivados de GRS80:

• ${\displaystyle k_{1}=2\cdot (1+f+m)/a=3{.}157\,04\cdot 10^{-7}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{2}=4\cdot f/a=2{.}102\,69\cdot 10^{-9}\,\mathrm {m^{-1}} }$
• ${\displaystyle k_{3}=3/(a^{2})=7{.}374\,52\cdot 10^{-14}\,\mathrm {m^{-2}} }$

Este ajuste es adecuado para alturas comunes en la aviación ; pero para alturas hasta el espacio exterior (más de aproximadamente 100 kilómetros) está fuera de alcance .

Fórmula WELMEC

En todas las oficinas de normalización alemanas , la aceleración de caída libre  g se calcula con el WELMEC –Formel respecto a la latitud media φ y la altura media sobre el nivel del mar  h :

${\displaystyle g(\varphi ,h)=\left(1+0{.}0053024\cdot \sin ^{2}(\varphi )-0{.}0000058\cdot \sin ^{2}(2\varphi )\right)\cdot 9{.}780318{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}-0{.}000003085\,{\frac {1}{\mathrm {s} ^{2}}}\cdot h}$

La fórmula se basa en la fórmula de gravedad internacional de 1967.

La escala de aceleración de caída libre en un lugar determinado debe determinarse mediante mediciones precisas de varias magnitudes mecánicas. Las básculas cuya masa se mide debido al peso, dependen de la aceleración de caída libre, por lo que para su uso deben prepararse con diferentes constantes en diferentes lugares de uso. Mediante el concepto de las llamadas zonas de gravedad, que se dividen mediante el uso de la gravedad normal, el fabricante puede calibrar una báscula antes de su uso. ^[8]

Ejemplo

Aceleración en caída libre en Schweinfurt :

Datos:

• Latitud: 50° 3′ 24″ = 50.0567°
• Altura sobre el nivel del mar: 229,7 m
• Densidad de las placas de roca: ca. 2,6 g/ ^cm3
• Aceleración de caída libre medida: g = 9,8100 ± 0,0001 m/s ²

Aceleración en caída libre, calculada mediante fórmulas de gravedad normales:

• Cassinis: g  = 9,81038 m/s ²
• Jeffreys: g  = 9,81027 m/s ²
• WELMEC: g  = 9,81004 m/s ²

Ver también

• anomalía de gravedad
• Elipsoide de referencia
• EGM96 (Modelo gravitacional terrestre 1996)
• Gravedad estándar  : 9.806 65 m/s ²

Referencias

1. Izzo, Darío; Gómez, Pablo (2022-12-28). "Geodesia de pequeños cuerpos irregulares mediante campos de densidad neuronal". Ingeniería de Comunicaciones . 1 (1): 1–12. doi : 10.1038/s44172-022-00050-3 . ISSN  2731-3395.
2. Brian L. Stevens; Frank L. Lewis (2003). Control y simulación de aeronaves, 2ª ed . Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc. ISBN  978-0-471-37145-8.
3. de Icaza-Herrera, M.; Castaño, VM (2011). "Lagrangiano generalizado del péndulo de Foucault paramétrico con fuerzas disipativas". Acta Mech . 218 : 45–64. doi :10.1007/s00707-010-0392-8.
4. Richard B. Noll; Michael B. McElroy (1974), Modelos de la atmósfera de Marte [1974] , Greenbelt, Maryland: Centro de vuelos espaciales Goddard de la NASA, SP-8010.
5. William J. Hinze; Ralph RB von Frese ; Afif H. Saad (2013). Exploración magnética y de gravedad: principios, prácticas y aplicaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 130.ISBN​ 978-1-107-32819-8.
6. Biografie Somiglianas Archivado el 7 de diciembre de 2010 en la Wayback Machine (ital.)
7. Sistema geodésico mundial del Departamento de Defensa 1984: su definición y relaciones con los sistemas geodésicos locales, NIMA TR8350.2, 3.ª ed., Tbl. 3.4, ecuación. 4-1
8. Roman Schwartz, Andreas Lindau. "Das europäische Gravitationszonenkonzept nach WELMEC" (PDF) (en alemán) . Consultado el 26 de febrero de 2011 .700kB

Otras lecturas

• Karl Ledersteger : Astronomische und physikalische Geodäsie . Handbuch der Vermessungskunde Band 5, 10. Auflage. Metzler, Stuttgart 1969
• B.Hofmann-Wellenhof, Helmut Moritz : Geodesia física , ISBN 3-211-23584-1 , Springer-Verlag Wien 2006. 
• Wolfgang Torge: Geodasie . 2. Auflaje. Walter de Gruyter, Berlín ua 2003. ISBN 3-11-017545-2 
• Wolfgang Torge: Geodasie . Walter de Gruyter, Berlín ua 1975 ISBN 3-11-004394-7 

enlaces externos

• Definición del Sistema de Referencia Geodésica 1980 (GRS80) (pdf, inglés; 70 kB)
• Sistema de información sobre gravedad der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt , engl.
• Online-Berechnung der Normalschwere mit verschiedenen Normalschwereformeln