Esferoide

Superficie formada al girar una elipse.

Un esferoide , también conocido como elipsoide de revolución o elipsoide rotacional , es una superficie cuádrica obtenida al girar una elipse alrededor de uno de sus ejes principales; es decir, un elipsoide con dos semidiámetros iguales . Un esferoide tiene simetría circular .

Si se gira la elipse alrededor de su eje mayor , el resultado es un esferoide alargado , alargado como una pelota de rugby . El fútbol americano es similar pero tiene un extremo más puntiagudo que el de un esferoide. Si se gira la elipse alrededor de su eje menor , el resultado es un esferoide achatado , aplanado como una lenteja o un M&M simple . Si la elipse generadora es un círculo, el resultado es una esfera .

Debido a los efectos combinados de la gravedad y la rotación , la figura de la Tierra (y de todos los planetas ) no es exactamente una esfera, sino que está ligeramente aplanada en la dirección de su eje de rotación. Por esa razón, en cartografía y geodesia la Tierra a menudo se aproxima mediante un esferoide achatado, conocido como elipsoide de referencia , en lugar de una esfera. El modelo actual del Sistema Geodésico Mundial utiliza un esferoide cuyo radio es de 6.378,137 km (3.963,191 mi) en el ecuador y 6.356,752 km (3.949,903 mi) en los polos .

La palabra esferoide originalmente significaba "un cuerpo aproximadamente esférico", admitiendo irregularidades incluso más allá de la forma elipsoidal bi o triaxial; así es como se usa el término en algunos artículos más antiguos sobre geodesia (por ejemplo, refiriéndose a expansiones armónicas esféricas truncadas del modelo geopotencial de gravedad de la Tierra ). ^[1]

Ecuación

La asignación de semiejes en un esferoide. Es achatado si c < a (izquierda) y alargado si c > a (derecha).

La ecuación de un elipsoide triaxial centrado en el origen con semiejes a , b y c alineados a lo largo de los ejes de coordenadas es

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

La ecuación de un esferoide con z como eje de simetría viene dada estableciendo a = b :

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

El semieje a es el radio ecuatorial del esferoide y c es la distancia del centro al polo a lo largo del eje de simetría. Hay dos casos posibles:

• c < a : esferoide achatado
• c > a : esferoide alargado

El caso de a = c se reduce a una esfera.

Propiedades

Área

Un esferoide achatado con c < a tiene área de superficie

${\displaystyle S_{\text{oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {arctanh} e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\qquad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}.}$

El esferoide achatado se genera mediante la rotación alrededor del eje z de una elipse con semieje mayor a y semieje menor c , por lo que e puede identificarse como la excentricidad . (Ver elipse .) ^[2]

Un esferoide alargado con c > a tiene área de superficie

${\displaystyle S_{\text{prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.}$

El esferoide alargado se genera mediante la rotación alrededor del eje z de una elipse con semieje mayor c y semieje menor a ; por lo tanto, e puede identificarse nuevamente como la excentricidad . (Ver elipse .) ^[3]

Estas fórmulas son idénticas en el sentido de que la fórmula para S _achatado se puede utilizar para calcular el área de superficie de un esferoide alargado y viceversa. Sin embargo, e entonces se vuelve imaginario y ya no puede identificarse directamente con la excentricidad. Ambos resultados pueden expresarse en muchas otras formas utilizando identidades matemáticas estándar y relaciones entre parámetros de la elipse.

Volumen

El volumen dentro de un esferoide (de cualquier tipo) es

${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\approx 4.19a^{2}c.}$

Si A = 2 a es el diámetro ecuatorial y C = 2 c es el diámetro polar, el volumen es

${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}A^{2}C\approx 0.523A^{2}C.}$

Curvatura

Sea un esferoide parametrizado como

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta ),}$

donde β es la latitud reducida o latitud paramétrica , λ es la longitud y −π/2< β < +π/2y −π < λ < +π . Entonces, la curvatura gaussiana del esferoide es

${\displaystyle K(\beta ,\lambda )={\frac {c^{2}}{\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{2}}},}$

y su curvatura media es

${\displaystyle H(\beta ,\lambda )={\frac {c\left(2a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)}{2a\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

Ambas curvaturas son siempre positivas, de modo que cada punto de un esferoide es elíptico.

relación de aspecto

La relación de aspecto de un esferoide/elipse achatada, c  : a , es la relación entre las longitudes polar y ecuatorial, mientras que el aplanamiento (también llamado achatamiento) f , es la relación entre la diferencia de longitud polar ecuatorial y la longitud ecuatorial:

${\displaystyle f={\frac {a-c}{a}}=1-{\frac {c}{a}}.}$

La primera excentricidad (generalmente simplemente excentricidad, como arriba) se usa a menudo en lugar de aplanamiento. ^[4] Se define por:

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

Las relaciones entre excentricidad y aplanamiento son:

${\displaystyle {\begin{aligned}e&={\sqrt {2f-f^{2}}}\\f&=1-{\sqrt {1-e^{2}}}\end{aligned}}}$

Todos los elipsoides geodésicos modernos están definidos por el semieje mayor más el semieje menor (que proporciona la relación de aspecto), el aplanamiento o la primera excentricidad. Si bien estas definiciones son matemáticamente intercambiables, los cálculos del mundo real deben perder algo de precisión. Para evitar confusión, una definición elipsoidal considera que sus propios valores son exactos en la forma que da.

Aplicaciones

Las formas más comunes para la distribución de densidad de protones y neutrones en un núcleo atómico son esférica , alargada y esferoidal achatada, donde se supone que el eje polar es el eje de giro (o dirección del vector de momento angular de giro ). Las formas nucleares deformadas se producen como resultado de la competencia entre la repulsión electromagnética entre protones, la tensión superficial y los efectos de capa cuántica .

Esferoides oblatos

El planeta Júpiter es un esferoide ligeramente achatado con un aplanamiento de 0,06487

El esferoide achatado tiene la forma aproximada de los planetas en rotación y otros cuerpos celestes , incluida la Tierra, Saturno , Júpiter y la estrella Altair , que gira rápidamente . Saturno es el planeta más achatado del Sistema Solar , con un achatamiento de 0,09796. Consulte aplanamiento planetario y abultamiento ecuatorial para obtener más detalles.

El científico de la Ilustración Isaac Newton , basándose en los experimentos con péndulo de Jean Richer y las teorías de Christiaan Huygens para su interpretación, razonó que Júpiter y la Tierra son esferoides achatados debido a su fuerza centrífuga . ^{[5] [6]} Los diversos sistemas cartográficos y geodésicos de la Tierra se basan en elipsoides de referencia , todos los cuales son achatados.

Esferoides alargados

Una pelota de rugby .

El esferoide alargado es la forma aproximada de la pelota en varios deportes, como en el rugby .

Varias lunas del Sistema Solar se aproximan en forma a esferoides alargados, aunque en realidad son elipsoides triaxiales . Algunos ejemplos son los satélites de Saturno Mimas , Encelado y Tetis y el satélite Miranda de Urano .

En contraste con la distorsión en esferoides achatados mediante una rotación rápida, los objetos celestes se distorsionan ligeramente en esferoides alargados mediante fuerzas de marea cuando orbitan alrededor de un cuerpo masivo en una órbita cercana. El ejemplo más extremo es la luna Io de Júpiter , que se alarga ligeramente más o menos en su órbita debido a una ligera excentricidad, provocando un intenso vulcanismo . El eje mayor del esferoide alargado no pasa por los polos del satélite en este caso, sino por los dos puntos de su ecuador que miran directamente hacia y desde el primario. Esto se combina con la distorsión achatada más pequeña debido a la rotación sincrónica para hacer que el cuerpo se vuelva triaxial.

El término también se utiliza para describir la forma de algunas nebulosas como la Nebulosa del Cangrejo . ^[7] Las zonas de Fresnel , utilizadas para analizar la propagación de ondas y la interferencia en el espacio, son una serie de esferoides alargados concéntricos con ejes principales alineados a lo largo de la línea de visión directa entre un transmisor y un receptor.

Los núcleos atómicos de los elementos actínidos y lantánidos tienen forma de esferoides alargados. ^[8] En anatomía, los órganos casi esferoides, como los testículos , pueden medirse por sus ejes largo y corto . ^[9]

Muchos submarinos tienen una forma que puede describirse como esferoide alargado. ^[10]

Propiedades dinámicas

Para un esferoide que tiene densidad uniforme, el momento de inercia es el de un elipsoide con un eje de simetría adicional. Dada una descripción de un esferoide que tiene un eje mayor c y ejes menores a = b , los momentos de inercia a lo largo de estos ejes principales son C , A y B. Sin embargo, en un esferoide los ejes menores son simétricos. Por lo tanto, nuestros términos inerciales a lo largo de los ejes principales son: ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}A=B&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+c^{2}\right),\\C&={\tfrac {1}{5}}M\left(a^{2}+b^{2}\right)={\tfrac {2}{5}}M\left(a^{2}\right),\end{aligned}}}$

donde M es la masa del cuerpo definido como

${\displaystyle M={\tfrac {4}{3}}\pi a^{2}c\rho .}$

Ver también

• Cúpula elipsoidal
• abultamiento ecuatorial
• Gran elipse
• lentoides
• Coordenadas esferoidales oblatas
• Ovoide
• Coordenadas esferoidales prolatas
• Rotación de ejes
• Traducción de ejes

Referencias

1. Torge, Wolfgang (2001). Geodesia (3ª ed.). Walter de Gruyter . pag. 104.ISBN _ 9783110170726.
2. Se puede encontrar una derivación de este resultado en "Oblate Spheroid - from Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com . Consultado el 24 de junio de 2014 .
3. Se puede encontrar una derivación de este resultado en "Prolate Spheroid - de Wolfram MathWorld". Mathworld.wolfram.com. 7 de octubre de 2003 . Consultado el 24 de junio de 2014 .
4. Brial P., Shaalan C. (2009), Introducción a la geodésie et au geopositionnement par satélites, p.8
5. Greenburg, John L. (1995). "Isaac Newton y el problema de la forma de la Tierra". Historia de las Ciencias Exactas . Saltador. 49 (4): 371–391. doi :10.1007/BF00374704. JSTOR  41134011. S2CID  121268606.
6. Durant, voluntad; Durant, Ariel (28 de julio de 1997). La historia de la civilización: la época de Luis XIV . Libros MJF. ISBN 1567310192.
7. Trimble, Virginia Louise (octubre de 1973), "La distancia a la Nebulosa del Cangrejo y NP 0532", Publicaciones de la Sociedad Astronómica del Pacífico , 85 (507): 579, Bibcode :1973PASP...85..579T, doi : 10.1086/129507
8. "Fisión nuclear - Teoría de la fisión". Enciclopedia Británica .
9. Página 559 en: John Pellerito, Joseph F Polak (2012). Introducción a la ultrasonografía vascular (6 ed.). Ciencias de la Salud Elsevier. ISBN 9781455737666.
10. "¿Qué tienen en común un submarino, un cohete y una pelota de fútbol?". Científico americano . 8 de noviembre de 2010 . Consultado el 13 de junio de 2015 .
11. Weisstein, Eric W. "Esferoide". MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 16 de mayo de 2018 .

enlaces externos

• Medios relacionados con los esferoides en Wikimedia Commons
• "Esferoide"  . Encyclopædia Britannica (11ª ed.). 1911.