Ecuación de Clairaut

Tipo de ecuación diferencial ordinaria

En análisis matemático , la ecuación de Clairaut (o ecuación de Clairaut ) es una ecuación diferencial de la forma

${\displaystyle y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$

donde es continuamente diferenciable . Es un caso particular de la ecuación diferencial de Lagrange. Recibe su nombre del matemático francés Alexis Clairaut , quien la introdujo en 1734. ^[1] ${\displaystyle f}$

Solución

Para resolver la ecuación de Clairaut, se diferencia con respecto a , obteniéndose ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$

entonces

${\displaystyle \left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0.}$

Por lo tanto, o bien

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}$

o

${\displaystyle x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0.}$

En el primer caso, para una constante . Sustituyendo esto en la ecuación de Clairaut, se obtiene la familia de funciones de línea recta dada por ${\displaystyle C=dy/dx}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle y(x)=Cx+f(C),\,}$

la llamada solución general de la ecuación de Clairaut.

El último caso,

${\displaystyle x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,}$

define una única solución , la llamada solución singular , cuyo gráfico es la envolvente de los gráficos de las soluciones generales. La solución singular se representa habitualmente mediante notación paramétrica, como , donde . ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle (x(p),y(p))}$ ${\displaystyle p=dy/dx}$

La descripción paramétrica de la solución singular tiene la forma

${\displaystyle x(t)=-f'(t),\,}$

${\displaystyle y(t)=f(t)-tf'(t),\,}$

donde es un parámetro. ${\displaystyle t}$

Ejemplos

Las siguientes curvas representan las soluciones de dos ecuaciones de Clairaut:

• 
  ${\displaystyle f(p)=p^{2}}$
• 
  ${\displaystyle f(p)=p^{3}}$

En cada caso, las soluciones generales están representadas en negro mientras que la solución singular está en violeta.

Extensión

Por extensión, una ecuación diferencial parcial de primer orden de la forma

${\displaystyle \displaystyle u=xu_{x}+yu_{y}+f(u_{x},u_{y})}$

También se conoce como ecuación de Clairaut. ^[2]

Véase también

• Portal de matemáticas

• La ecuación de D'Alembert
• La ecuación de Chrystal
• Transformación de Legendre

Notas

1. Clairut 1734.
2. Camke 1944.

Referencias

• Clairaut, Alexis Claude (1734), "Solution de plusieurs problèmes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste dans una cierta relación entre leurs Branches, exprimée par une Équation donnée.", Histoire de l'Académie Royale des Sciences : 196–215.

• Kamke, E. (1944), Differentialgleichungen: Lösungen und Lösungsmethoden (en alemán), vol. 2. Partielle Differentialgleichungen 1er Ordnung für eine gesuchte Funktion, Akad. Verlagsgesell.

• Rozov, N. Kh. (2001) [1994], "Ecuación de Clairaut", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.