Serie Dyson

Expansión del operador de evolución temporal

En la teoría de dispersión , una parte de la física matemática , la serie de Dyson , formulada por Freeman Dyson , es una expansión perturbativa del operador de evolución temporal en la imagen de interacción . Cada término puede representarse mediante una suma de diagramas de Feynman .

Esta serie diverge asintóticamente , pero en la electrodinámica cuántica (EDQ) en el segundo orden la diferencia con los datos experimentales es del orden de 10 ⁻¹⁰ . Esta estrecha concordancia se cumple porque la constante de acoplamiento (también conocida como constante de estructura fina ) de la EQQ es mucho menor que 1. ^{[ aclaración necesaria ]}

Operador de Dyson

En la imagen de interacción , un hamiltoniano H se puede dividir en una parte libre H ₀ y una parte interactuante V _S ( t ) como H = H ₀ + V _S ( t ) .

El potencial en la imagen interactuante es

${\displaystyle V_{\mathrm {I} }(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar }V_{\mathrm {S} }(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0}(t-t_{0})/\hbar },}$

donde es independiente del tiempo y es la parte interactuante posiblemente dependiente del tiempo de la imagen de Schrödinger . Para evitar subíndices, representa en lo que sigue. ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {S} }(t)}$ ${\displaystyle V(t)}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {I} }(t)}$

En la imagen de interacción, el operador de evolución U está definido por la ecuación:

${\displaystyle \Psi (t)=U(t,t_{0})\Psi (t_{0})}$

A esto a veces se le llama operador Dyson .

El operador de evolución forma un grupo unitario respecto del parámetro tiempo. Tiene las propiedades de grupo:

• Identidad y normalización: ^[1] ${\displaystyle U(t,t)=1,}$
• Composición: ^[2] ${\displaystyle U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}),}$
• Inversión del tiempo: ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle U^{-1}(t,t_{0})=U(t_{0},t),}$
• Unitaridad: ^[3] ${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=\mathbb {1} }$

y de estos es posible derivar la ecuación de evolución temporal del propagador: ^[4]

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}U(t,t_{0})\Psi (t_{0})=V(t)U(t,t_{0})\Psi (t_{0}).}$

En la imagen de interacción , el hamiltoniano es el mismo que el potencial de interacción y, por lo tanto, la ecuación también se puede escribir en la imagen de interacción como ${\displaystyle H_{\rm {int}}=V(t)}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\Psi (t)=H_{\rm {int}}\Psi (t)}$

Precaución : esta ecuación de evolución temporal no debe confundirse con la ecuación de Tomonaga-Schwinger .

La solución formal es

${\displaystyle U(t,t_{0})=1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\ V(t_{1})U(t_{1},t_{0})},}$

que en última instancia es un tipo de integral de Volterra .

Derivación de la serie de Dyson

Una solución iterativa de la ecuación de Volterra anterior conduce a la siguiente serie de Neumann :

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})={}&1-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}V(t_{1})+(-i\hbar ^{-1})^{2}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt_{2}V(t_{1})V(t_{2})+\cdots \\&{}+(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})+\cdots .\end{aligned}}}$

Aquí, , y por lo tanto los campos están ordenados en el tiempo . Es útil introducir un operador , llamado operador de ordenación en el tiempo , y definir ${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle U_{n}(t,t_{0})=(-i\hbar ^{-1})^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

Los límites de la integración se pueden simplificar. En general, dada una función simétrica, se pueden definir las integrales ${\displaystyle K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}),}$

${\displaystyle S_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

y

${\displaystyle I_{n}=\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}).}$

La región de integración de la segunda integral se puede dividir en subregiones, definidas por . Debido a la simetría de , la integral en cada una de estas subregiones es la misma e igual a por definición. De ello se deduce que ${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle t_{1}>t_{2}>\cdots >t_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S_{n}}$

${\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n!}}I_{n}.}$

Aplicado a la identidad anterior, esto da

${\displaystyle U_{n}={\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

Sumando todos los términos se obtiene la serie de Dyson, que es una versión simplificada de la serie de Neumann anterior y que incluye los productos ordenados en el tiempo; es la exponencial ordenada por trayectorias : ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}U(t,t_{0})&=\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(t,t_{0})\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-i\hbar ^{-1})^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})\\&={\mathcal {T}}\exp {-i\hbar ^{-1}\int _{t_{0}}^{t}{d\tau V(\tau )}}\end{aligned}}}$

Este resultado también se llama fórmula de Dyson. ^[6] Las leyes de grupo se pueden derivar de esta fórmula.

Aplicación sobre vectores de estado

El vector de estado en el tiempo se puede expresar en términos del vector de estado en el tiempo , para ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle t>t_{0},}$

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\,{\mathcal {T}}\left\{\prod _{k=1}^{n}e^{iH_{0}t_{k}/\hbar }V(t_{k})e^{-iH_{0}t_{k}/\hbar }\right\}|\Psi (t_{0})\rangle .}$

El producto interno de un estado inicial en con un estado final en en la imagen de Schrödinger , para es: ${\displaystyle t_{i}=t_{0}}$ ${\displaystyle t_{f}=t}$ ${\displaystyle t_{f}>t_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \Psi (t_{\rm {i}})&\mid \Psi (t_{\rm {f}})\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\times \\&\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\,\langle \Psi (t_{i})\mid e^{-iH_{0}(t_{\rm {f}}-t_{1})/\hbar }V_{\rm {S}}(t_{1})e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})/\hbar }\cdots V_{\rm {S}}(t_{n})e^{-iH_{0}(t_{n}-t_{\rm {i}})/\hbar }\mid \Psi (t_{i})\rangle \end{aligned}}}$

La matriz S se puede obtener escribiendo esto en la imagen de Heisenberg , tomando los estados de entrada y salida como infinitos: ^[7]

${\displaystyle \langle \Psi _{\rm {out}}\mid S\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle =\langle \Psi _{\rm {out}}\mid \sum _{n=0}^{\infty }{(-i\hbar ^{-1})^{n} \over n!}\underbrace {\int d^{4}x_{1}\cdots d^{4}x_{n}} _{t_{\rm {out}}\,\geq \,t_{n}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{1}\,\geq \,t_{\rm {in}}}\,{\mathcal {T}}\left\{H_{\rm {int}}(x_{1})H_{\rm {int}}(x_{2})\cdots H_{\rm {int}}(x_{n})\right\}\mid \Psi _{\rm {in}}\rangle .}$

Tenga en cuenta que el orden del tiempo se invirtió en el producto escalar.

Véase también

• Ecuación de Schwinger-Dyson
• Serie Magnus
• Serie Peano-Baker
• Iteración de Picard

Referencias

1. Sakurai, Mecánica cuántica moderna, 2.1.10
2. Sakurai, Mecánica cuántica moderna, 2.1.12
3. Sakurai, Mecánica cuántica moderna, 2.1.11
4. Sakurai, Mecánica cuántica moderna, 2.1 págs. 69-71
5. Sakurai, Mecánica cuántica moderna, 2.1.33, págs. 72
6. Tong 3.20, http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/qft.pdf
7. Dyson (1949), "La matriz S en la electrodinámica cuántica", Physical Review , 75 (11): 1736–1755, Bibcode :1949PhRv...75.1736D, doi :10.1103/PhysRev.75.1736

• Charles J. Joachain , Teoría de colisiones cuánticas , North-Holland Publishing, 1975, ISBN 0-444-86773-2 (Elsevier)