Dominio de la holomorfía

Los conjuntos en la definición.

En matemáticas , en la teoría de funciones de varias variables complejas , un dominio de holomorfía es un dominio que es máximo en el sentido de que existe una función holomorfa en este dominio que no puede extenderse a un dominio mayor.

Formalmente, un conjunto abierto en el espacio complejo n -dimensional se denomina dominio de holomorfía si no existen conjuntos abiertos no vacíos y donde es conexo , y tal que para cada función holomorfa en existe una función holomorfa en con en ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle U\subset \Omega }$ ${\displaystyle V\subset {\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V\not \subset \Omega }$ ${\displaystyle U\subset \Omega \cap V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle U}$

En este caso, todo conjunto abierto es un dominio de holomorfía: podemos definir una función holomorfa con ceros acumulándose en todas partes en el límite del dominio, que debe ser entonces un límite natural para un dominio de definición de su recíproco. Esto ya no es cierto, como se sigue del lema de Hartogs . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Condiciones equivalentes

Para un dominio las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle \Omega }$

1. ${\displaystyle \Omega }$es un dominio de holomorfia
2. ${\displaystyle \Omega }$es holomórficamente convexo
3. ${\displaystyle \Omega }$es pseudoconvexo
4. ${\displaystyle \Omega }$es Levi convexo - para cada secuencia de superficies analíticas compactas tales que para algún conjunto tenemos ( no puede ser "tocado desde adentro" por una secuencia de superficies analíticas) ${\displaystyle S_{n}\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle S_{n}\rightarrow S,\partial S_{n}\rightarrow \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S\subseteq \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$
5. ${\displaystyle \Omega }$tiene propiedad local de Levi : para cada punto existe un entorno de y holomorfo en tal que no puede extenderse a ningún entorno de ${\displaystyle x\in \partial \Omega }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\cap \Omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

Las implicaciones son resultados estándar (para , véase el lema de Oka ). La principal dificultad radica en demostrar , es decir, construir una función holomorfa global que no admita extensión a partir de funciones no extensibles definidas solo localmente. Esto se llama el problema de Levi (en honor a EE Levi ) y fue resuelto primero por Kiyoshi Oka , y luego por Lars Hörmander usando métodos de análisis funcional y ecuaciones diferenciales parciales (una consecuencia del ∂ ¯ {\displaystyle {\bar {\partial }}} -problema). ${\displaystyle 1\Leftrightarrow 2,3\Leftrightarrow 4,1\Rightarrow 4,3\Rightarrow 5}$ ${\displaystyle 1\Rightarrow 3}$ ${\displaystyle 5\Rightarrow 1}$

Propiedades

• Si son dominios de holomorfía, entonces su intersección también es un dominio de holomorfía. ${\displaystyle \Omega _{1},\dots ,\Omega _{n}}$ ${\displaystyle \Omega =\bigcap _{j=1}^{n}\Omega _{j}}$
• Si es una secuencia ascendente de dominios de holomorfía, entonces su unión también es un dominio de holomorfía (véase el teorema de Behnke-Stein ). ${\displaystyle \Omega _{1}\subseteq \Omega _{2}\subseteq \dots }$ ${\displaystyle \Omega =\bigcup _{n=1}^{\infty }\Omega _{n}}$
• Si y son dominios de holomorfía, entonces es un dominio de holomorfía. ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$ ${\displaystyle \Omega _{1}\times \Omega _{2}}$
• El primer problema de Cousin siempre se puede resolver en un dominio de holomorfía; esto también es cierto, con supuestos topológicos adicionales, para el segundo problema de Cousin .

Véase también

• Teorema de Behnke-Stein
• Levi pseudoconvexo
• Solución del problema de Levi
• Colector Stein

Referencias

• Steven G. Krantz. Teoría de funciones de varias variables complejas , AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
• Boris Vladimirovich Shabat, Introducción al análisis complejo , AMS, 1992

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