Domineering (también llamado Stop-Gate o Crosscram ) es un juego matemático que se puede jugar en cualquier colección de cuadrados en una hoja de papel cuadriculado . Por ejemplo, se puede jugar en un cuadrado de 6×6, un rectángulo, un poliominó completamente irregular o una combinación de cualquier número de dichos componentes. Dos jugadores tienen una colección de fichas de dominó que colocan por turnos en la cuadrícula, cubriendo casillas. Un jugador coloca las fichas verticalmente, mientras que el otro las coloca horizontalmente. (Tradicionalmente, estos jugadores se denominan "Izquierda" y "Derecha", respectivamente, o "V" y "H". En este artículo se utilizan ambas convenciones). Como en la mayoría de los juegos de teoría de juegos combinatorios , el primer jugador que no puede moverse pierde.
Domineering es un juego partidista , en el que los jugadores utilizan diferentes piezas: la versión imparcial del juego es Cram .
Aparte del juego vacío, donde no hay cuadrícula, el juego más simple es el de una sola casilla.
En este juego, claramente, ningún jugador puede moverse. Dado que se trata de una victoria del segundo jugador, es un juego cero .
Este juego es una cuadrícula de 2 por 1. Existe una convención de asignar al juego un número positivo cuando gana la izquierda y uno negativo cuando gana la derecha. En este caso, la izquierda no tiene movimientos, mientras que la derecha puede jugar un dominó para cubrir todo el tablero, sin dejar nada, lo que claramente es un juego de cero. Así, en notación numérica surrealista , este juego es {|0} = −1. Esto tiene sentido, ya que esta cuadrícula supone una ventaja de 1 movimiento para la derecha.
Este juego también es {|0} = −1, porque no se puede jugar con una sola casilla.
Esta cuadrícula es el primer caso de elección. La derecha podría jugar las dos casillas de la izquierda, dejando −1. Los cuadros de la derecha también dejan −1. También podría jugar en las dos casillas del medio, dejando dos casillas individuales. Esta opción deja 0+0 = 0. Por tanto, este juego se puede expresar como {|0,−1}. Esto es −2. Si este juego se juega junto con otros juegos, se trata de dos movimientos gratis para Derecha.
Las columnas verticales se evalúan de la misma manera. Si hay una fila de 2 n o 2 n +1 casillas, cuenta como − n . Una columna de tal tamaño cuenta como + n .
Este es un juego más complejo. Si la izquierda va primero, cualquiera de los movimientos deja una cuadrícula de 1×2, que es +1. La derecha, por otro lado, puede moverse a −1. Por tanto, la notación numérica surrealista es {1|−1}. Sin embargo, este no es un número surrealista porque 1 > −1. Este es un juego pero no un número. La notación para esto es ±1, y es un juego candente , porque cada jugador quiere moverse aquí.
Esta es una cuadrícula de 2×3, que es aún más compleja, pero, al igual que cualquier juego de Dominación, se puede desglosar observando cuáles son los distintos movimientos para la izquierda y la derecha. La izquierda puede tomar la columna de la izquierda (o, equivalentemente, la columna de la derecha) y pasar a ±1, pero claramente es una mejor idea dividir la partida por la mitad, dejando dos juegos separados, cada uno con un valor de +1. Por tanto, el mejor movimiento de la izquierda es +2. La derecha tiene cuatro movimientos "diferentes", pero todos dejan la siguiente forma en alguna rotación :
Este juego no es un juego caliente (también llamado juego frío ), porque cada movimiento perjudica al jugador que lo realiza, como podemos ver al examinar los movimientos. La izquierda puede moverse a −1, la derecha puede moverse a 0 o +1. Por tanto, este juego es {−1|0,1} = {−1|0} = − 1 ⁄ 2 .
Nuestra cuadrícula de 2×3, entonces, es {2|− 1 ⁄ 2 }, que también se puede representar por el valor medio, 3 ⁄ 4 , junto con la bonificación por moverse (la "temperatura"), 1+1 ⁄ 4 , así:
El Instituto de Investigaciones en Ciencias Matemáticas realizó un torneo Domineering , con un premio de 500 dólares para el ganador. Este juego se jugó en un tablero de 8×8. El ganador fue el matemático Dan Calistrate, que derrotó a David Wolfe en la final. El torneo se detalla en Games of No Chance de Richard J. Nowakowski (p. 85).
Un problema de Domineering es calcular la estrategia ganadora para tableros grandes, y particularmente para tableros cuadrados. En 2000, Dennis Breuker, Jos Uiterwijk y Jaap van den Herik calcularon y publicaron la solución para la placa 8x8. [1] La junta directiva 9x9 siguió poco después algunas mejoras en su programa. Luego, en 2002, Nathan Bullock resolvió el tablero de 10x10, como parte de su tesis sobre Dominación. [2] El tablero 11x11 fue resuelto por Jos Uiterwijk en 2016. [3]
Dominar es una victoria del primer jugador para los tableros cuadrados de 2x2, 3x3, 4x4, 6x6, 7x7, 8x8, 9x9, 10x10 y 11x11, y una victoria del segundo jugador para los tableros de 1x1 y 5x5. Algunos otros valores conocidos para tableros rectangulares se pueden encontrar en el sitio de Nathan Bullock. [4]
Cram es la versión imparcial de Domineering. La única diferencia en las reglas es que cada jugador puede colocar sus fichas de dominó en cualquier orientación. Parece sólo una pequeña variación en las reglas, pero da como resultado un juego completamente diferente que puede analizarse con el teorema de Sprague-Grundy .
