En geometría , el dodecadodecaedro truncado (o dodecadodecaedro estelar truncado ) es un poliedro uniforme no convexo , indexado como U 59. Se le da un símbolo de Schläfli t 0,1,2 { 5 ⁄ 3 ,5}. Tiene 54 caras (30 cuadrados , 12 decágonos y 12 decagramos ), 180 aristas y 120 vértices. [1] La región central del poliedro está conectada al exterior a través de 20 pequeños agujeros triangulares.
El nombre dodecadodecaedro truncado es un tanto engañoso: el truncamiento del dodecadodecaedro produciría caras rectangulares en lugar de cuadrados, y las caras de pentagrama del dodecadodecaedro se convertirían en pentagramas truncados en lugar de decagramos. Sin embargo, es la cuasitruncación del dodecadodecaedro, tal como lo definieron Coxeter, Longuet-Higgins y Miller (1954). [2] Por esta razón, también se lo conoce como dodecadodecaedro cuasitruncado . [3] Coxeter et al. atribuyen su descubrimiento a un artículo publicado en 1881 por el matemático austríaco Johann Pitsch. [4]
Las coordenadas cartesianas de los vértices de un dodecadodecaedro truncado son todos los triples de números obtenidos por desplazamientos circulares y cambios de signo desde los siguientes puntos (donde es la proporción áurea ):
Cada uno de estos cinco puntos tiene ocho patrones de signos posibles y tres posibles cambios circulares, lo que da un total de 120 puntos diferentes.
El dodecadodecaedro truncado forma un grafo de Cayley para el grupo simétrico de cinco elementos, generado por dos miembros del grupo: uno que intercambia los dos primeros elementos de una quíntuple y otro que realiza una operación de desplazamiento circular sobre los últimos cuatro elementos. Es decir, los 120 vértices del poliedro pueden colocarse en correspondencia biunívoca con las 5! permutaciones de cinco elementos, de tal manera que los tres vecinos de cada vértice sean las tres permutaciones formadas a partir de él intercambiando los dos primeros elementos o desplazando circularmente (en cualquier dirección) los últimos cuatro elementos. [5]
El triacontaedro disdyakis medial es un poliedro isoédrico no convexo . Es el dual del dodecadodecaedro truncado uniforme .