División eficiente y sin envidias

La eficiencia y la justicia son dos objetivos principales de la economía del bienestar . Dado un conjunto de recursos y un conjunto de agentes, el objetivo es dividir los recursos entre los agentes de una manera que sea eficiente en el sentido de Pareto (PE) y libre de envidia (EF). El gol lo definieron primero David Schmeidler y Menahem Yaari . ^[1] Posteriormente, la existencia de tales asignaciones ha sido probada bajo diversas condiciones.

Existencia de asignaciones PEEF

Suponemos que cada agente tiene una relación de preferencia sobre el conjunto de todas las cestas de mercancías. Las preferencias son completas, transitivas y cerradas. De manera equivalente, cada relación de preferencia puede representarse mediante una función de utilidad continua. ^{[2] : 79}

Preferencias débilmente convexas

Teorema 1 (variante): ^{[2] : 68} Si las preferencias de todos los agentes son convexas y fuertemente monótonas , entonces existen asignaciones PEEF.

Prueba : La prueba se basa en la existencia de un equilibrio competitivo con ingresos iguales. Supongamos que todos los recursos de una economía se dividen equitativamente entre los agentes. Es decir, si la dotación total de la economía es , entonces cada agente recibe una dotación inicial . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i\in 1,\dots ,n:}$ ${\displaystyle E_{i}=E/n}$

Dado que las preferencias son convexas , el modelo Arrow-Debreu implica que existe un equilibrio competitivo. Es decir, existe un vector de precios y una partición tal que: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$

• (CE) Todos los agentes maximizan sus utilidades dado su presupuesto. Es decir, si entonces . ${\displaystyle P\cdot Y\leq P\cdot X_{i}}$ ${\displaystyle Y\preceq _{i}X_{i}}$
• (EI) Todos los agentes tienen la misma renta en los precios de equilibrio: para todos . ${\displaystyle i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j}}$

Esta asignación es siempre EF. Prueba: por la condición (EI), para cada . Por lo tanto, por la condición (CE), . ${\displaystyle i,j:P\cdot X_{j}\leq P\cdot X_{i}}$ ${\displaystyle X_{j}\preceq _{i}X_{i}}$

Dado que las preferencias son monótonas , cualquier asignación de este tipo también es EP, ya que la monotonicidad implica no saciedad local . Véase teoremas fundamentales de la economía del bienestar .

Ejemplos

Todos los ejemplos involucran una economía con dos bienes , x e y, y dos agentes, Alice y Bob. En todos los ejemplos, las utilidades son débilmente convexas y continuas.

A. Muchas asignaciones del PEEF: La dotación total es (4,4). Alice y Bob tienen utilidades lineales , que representan bienes sustitutos :

${\displaystyle u_{A}(x,y)=2x+y}$,

${\displaystyle u_{B}(x,y)=x+2y}$.

Tenga en cuenta que las utilidades son débilmente convexas y fuertemente monótonas. Existen muchas asignaciones de PEEF. Si Alice recibe al menos 3 unidades de x, entonces su utilidad es 6 y no envidia a Bob. De manera similar, si Bob recibe al menos 3 unidades de y, no envidia a Alice. Entonces la asignación [(3,0);(1,4)] es PEEF con utilidades (6,9). De manera similar, las asignaciones [(4,0);(0,4)] y [(4,0.5);(0,3.5)] son ​​PEEF. Por otro lado, la asignación [(0,0);(4,4)] es PE pero no EF (Alice envidia a Bob); la asignación [(2,2);(2,2)] es EF pero no PE (las utilidades son (6,6) pero se pueden mejorar, por ejemplo, a (8,8)).

B. Asignación PEEF esencialmente única: La dotación total es (4,2). Alice y Bob tienen utilidades Leontief , que representan bienes complementarios :

${\displaystyle u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)}$.

Tenga en cuenta que las utilidades son débilmente convexas y sólo débilmente monótonas. Todavía existe una asignación PEEF. La asignación igual [(2,1);(2,1)] es PEEF con vector de utilidad (1,1). EF es obvio (cada asignación igual es EF). Con respecto a PE, observe que ambos agentes ahora solo quieren y, por lo que la única forma de aumentar la utilidad de un agente es tomar algo de y del otro agente, pero esto disminuye la utilidad del otro agente. Si bien existen otras asignaciones de PEEF, por ejemplo [(1.5,1);(2.5,1)], todas tienen el mismo vector de utilidad de (1,1), ya que no es posible dar a ambos agentes más de 1. ^{[3 ]}

Condiciones topológicas en el espacio de asignaciones eficientes.

Las asignaciones de PEEF existen incluso cuando las preferencias de los agentes no son convexas. Hay varias condiciones suficientes que están relacionadas con la forma del conjunto de asignaciones correspondientes a un perfil de utilidad eficiente específico. Dado un vector de utilidad u, defina A(u) = el conjunto de todas las asignaciones para las cuales el perfil de utilidad es u. Diferentes autores demostraron los siguientes teoremas sucesivamente más generales:

Teorema 2 (variante): ^{[2] : 69} Supongamos que las preferencias de todos los agentes son fuertemente monótonas . Si, para cada perfil de utilidad débilmente eficiente en Pareto u, el conjunto A(u) es un singleton (es decir, no hay dos asignaciones WPE tales que todos los agentes sean indiferentes entre ellas), entonces existen asignaciones PEEF.

La prueba utiliza el lema de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz .

Nota : Las condiciones del Teorema 1 y del Teorema 2 son independientes: ninguna implica la otra. Sin embargo, la convexidad estricta de las preferencias implica ambas cosas. Es obvio que la convexidad estricta implica convexidad débil (teorema 1). Para ver que implica la condición del teorema 2, supongamos que hay dos asignaciones diferentes x,y con el mismo perfil de utilidad u. Defina z = x/2+y/2. Por convexidad estricta, todos los agentes prefieren estrictamente z a xey a y. Por lo tanto, xey no pueden ser PE débilmente.

Teorema 3 (Svensson): ^[4] Si las preferencias de todos los agentes son fuertemente monótonas , y para cada perfil de utilidad PE u, el conjunto A(u) es convexo, entonces existen asignaciones PEEF.

La prueba utiliza el teorema del punto fijo de Kakutani .

Nota : si las preferencias de todos los agentes son convexas (como en el teorema 1), entonces A(u) obviamente también es convexa. Además, si A(u) es singleton (como en el teorema 2), obviamente también es convexo. Por tanto, el teorema de Svensson es más general que los dos teoremas de Varian.

Teorema 4 (Diamantaras): ^[5] Si las preferencias de todos los agentes son fuertemente monótonas , y para cada perfil de utilidad PE u, el conjunto A(u) es un espacio contráctil (puede reducirse continuamente hasta un punto dentro de ese espacio), entonces existen asignaciones PEEF.

La demostración utiliza un teorema del punto fijo de Eilenberg y Montgomery. ^[6]

Nota: Todo conjunto convexo es contráctil, por lo que el teorema de Diamantaras es más general que los tres anteriores.

Optimidad de sigma

Svensson demostró otra condición suficiente para la existencia de asignaciones PEEF. Nuevamente, todas las preferencias están representadas por funciones de utilidad continuas. Además, todas las funciones de servicios públicos son continuamente diferenciables en el interior del espacio de consumo.

El concepto principal es el óptimo sigma . Supongamos que creamos, para cada agente, k copias con preferencias idénticas. Sea X una asignación en la economía original. Sea Xk una asignación en la economía k-replicada donde todas las copias del mismo agente reciben el mismo paquete que el agente original en X. La asignación X se llama sigma-óptima si para cada k , la asignación Xk es óptima de Pareto.

Lema: ^{[7] : 528} Una asignación es sigma-óptima, si-y-sólo-si es un equilibrio competitivo .

Teorema 5 (Svensson): ^{[7] : 531} si todas las asignaciones óptimas de Pareto son sigma óptimas, entonces existen asignaciones PEEF.

Rendimientos marginales crecientes

Las asignaciones de PEEF podrían dejar de existir incluso cuando todas las preferencias sean convexas, si hay producción y la tecnología tiene rendimientos marginales crecientes.

Proposición 6 (Vohra) : ^[8] Existen economías en las que todas las preferencias son continuas, fuertemente monótonas y convexas, la única fuente de no convexidad en la tecnología se debe a los costos fijos y no existe ninguna asignación de PEEF.

Por tanto, la presencia de rendimientos crecientes introduce un conflicto fundamental entre eficiencia y justicia.

Sin embargo, la ausencia de envidia se puede debilitar de la siguiente manera. Una asignación X se define como esencialmente libre de envidia (EEF) si, para cada agente i , existe una asignación factible Yi con el mismo perfil de utilidad (todos los agentes son indiferentes entre X y Yi) en la que el agente i no envidia a nadie. Obviamente, cada asignación de EF es EEF, ya que podemos tomar a Yi como X para todo i.

Teorema 7 (Vohra): ^[8] Supongamos que las preferencias de todos los agentes son fuertemente monótonas y están representadas por funciones de utilidad continuas. Entonces existen asignaciones de EEF Pareto-eficientes.

Inexistencia de asignaciones PEEF

Preferencias no convexas

Las asignaciones PEEF podrían dejar de existir incluso sin producción, cuando las preferencias no son convexas.

Como ejemplo, supongamos que la dotación total es (4,2) y Alice y Bob tienen utilidades cóncavas idénticas:

${\displaystyle u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)}$.

La asignación igual [(2,1);(2,1)] es EF con vector de utilidad (2,2). Además, cada asignación de EF debe dar a ambos agentes igual utilidad (ya que tienen la misma función de utilidad) y esta utilidad puede ser como máximo 2. Sin embargo, ninguna asignación de este tipo es PE, ya que está dominada por Pareto por la asignación [(4, 0);(0,2)] cuyo vector de utilidad es (4,2).

La inexistencia persiste incluso si debilitamos la ausencia de envidia hasta convertirla en no dominación: ningún agente obtiene más de cada bien que otro agente.

Proposición 8 (Maniquet): ^[9] Existen economías de división de 2 bienes y 3 agentes con preferencias estrictamente monótonas, continuas e incluso diferenciables, donde hay dominancia en cada asignación eficiente de Pareto.

Encontrar una asignación PEEF

Para dos agentes, el procedimiento ganador ajustado es un procedimiento simple que encuentra una asignación PEEF con dos propiedades adicionales: la asignación también es equitativa y, como máximo, se comparte un solo bien entre los dos agentes.

Para tres o más agentes con utilidades lineales, cualquier asignación óptima de Nash es PEEF. Una asignación óptima de Nash es una asignación que maximiza el producto de las utilidades de los agentes, o equivalentemente, la suma de logaritmos de las utilidades. Encontrar tal asignación es un problema de optimización convexa :

${\displaystyle {\text{maximize}}\sum _{i=1}^{n}\log(u_{i}(X_{i}))~~~{\text{such that}}~~~(X_{1},\ldots ,X_{n})~~~{\text{is a partition}}~~~}$.

y así se puede encontrar de manera eficiente. El hecho de que cualquier asignación óptima de Nash sea PEEF es cierto incluso en el contexto más general de una distribución equitativa del pastel . ^[10]

Prueba : Considere un trozo de pastel infinitesimal , Z. Para cada agente i , la contribución infinitesimal de Z a es ${\displaystyle \log(u_{i}(X_{i}))}$

${\displaystyle u_{i}(Z)\cdot {d\log(u_{i}(X_{i})) \over d(u_{i}(X_{i}))}={u_{i}(Z) \over u_{i}(X_{i})}}$.

Por lo tanto, la regla óptima de Nash da cada pieza Z a un agente j para el cual esta expresión es mayor:

${\displaystyle \forall j\in [n]:Z\subseteq X_{j}\iff \forall i\in [n]:{u_{j}(Z) \over u_{j}(X_{j})}\geq {u_{i}(Z) \over u_{i}(X_{i})}}$

Sumando todos los subconjuntos infinitesimales de X _j , obtenemos:

${\displaystyle \forall i,j\in [n]:{u_{j}(X_{j}) \over u_{j}(X_{j})}\geq {u_{i}(X_{j}) \over u_{i}(X_{i})}}$

Esto implica la definición de asignación libre de envidia:

${\displaystyle \forall i,j\in [n]:{u_{i}(X_{i})}\geq {u_{i}(X_{j})}}$

Ver también

• Teorema de Weller : sobre la existencia de asignaciones de PEEF en el corte de pasteles.
• Se pueden encontrar más teoremas relacionados de Hal Varian en ^[11]
• Los teoremas sobre las asignaciones de PEEF en economías con producción se pueden encontrar en ^[12]
• Cálculo del equilibrio del mercado : algoritmos para calcular un equilibrio competitivo, que sea justo y eficiente.
• Tao y Cole ^[13] estudian la existencia de asignaciones aleatorias PEEF cuando las utilidades no son lineales (pueden tener complementos).
• Diamantaras y Thomson ^[14] estudian un refinamiento y una extensión de la ausencia de envidia, que existe (junto con el PE) en muchas economías en las que no existe una asignación de PEEF.

Referencias

1. David Schmeidler y Menahem Yaari (1971). "Asignaciones justas". Mimeo.
2. Hal Varian (1974). "Equidad, envidia y eficiencia". Revista de teoría económica . 9 : 63–91. doi :10.1016/0022-0531(74)90075-1. hdl : 1721.1/63490 .
3. Tenga en cuenta que aparece una economía similar en el artículo de 1974 ^{: 70} como ejemplo de que no existe una asignación PEEF. Probablemente se trate de un error tipográfico: "mínimo" debería ser "máximo", como en el ejemplo C siguiente. Vea este hilo de intercambio de pila de economía.
4. Svensson, Lars-Gunnar (1 de septiembre de 1983). "Sobre la existencia de asignaciones justas". Zeitschrift für Nationalökonomie . 43 (3): 301–308. doi :10.1007/BF01283577. ISSN  0044-3158. S2CID  154142919.
5. Diamantaras, Dimitrios (1 de junio de 1992). "Sobre la equidad con los bienes públicos". Elección social y bienestar . 9 (2): 141-157. doi :10.1007/BF00187239. ISSN  0176-1714. S2CID  154016094.
6. Eilenberg, Samuel; Montgomery, Deane (1946). "Teoremas de punto fijo para transformaciones de valores múltiples". Revista Estadounidense de Matemáticas . 68 (2): 214–222. doi :10.2307/2371832. JSTOR  2371832.
7. Svensson, Lars-Gunnar (1994). "σ-Optimidad y Justicia". Revista económica internacional . 35 (2): 527–531. doi :10.2307/2527068. JSTOR  2527068.
8. Vohra, Rajiv (1 de julio de 1992). "Equidad y eficiencia en economías no convexas". Elección social y bienestar . 9 (3): 185-202. doi :10.1007/BF00192877. ISSN  0176-1714. S2CID  29307358.
9. Maniquet, François (1 de diciembre de 1999). "Una fuerte incompatibilidad entre eficiencia y equidad en economías no convexas". Revista de Economía Matemática . 32 (4): 467–474. doi :10.1016/S0304-4068(98)00067-6. ISSN  0304-4068.
10. Segal-Halevi, Erel; Sziklai, Balázs R. (26 de mayo de 2018). "Monotonicidad y equilibrio competitivo en el corte de tartas". Teoría Económica . 68 (2): 363–401. arXiv : 1510.05229 . doi :10.1007/s00199-018-1128-6. ISSN  1432-0479. S2CID  253711877.
11. Varian, Hal R. (1976). «Dos problemas de la teoría de la equidad» (PDF) . Revista de Economía Pública . 5 (3–4): 249–260. doi :10.1016/0047-2727(76)90018-9. hdl : 1721.1/64180 .
12. Piketty, Thomas (1 de noviembre de 1994). "Existencia de asignaciones justas en economías con producción". Revista de Economía Pública . 55 (3): 391–405. doi :10.1016/0047-2727(93)01406-Z. ISSN  0047-2727.
13. Cole, Ricardo; Tao, Yixin (1 de abril de 2021). "Sobre la existencia de asignaciones Pareto eficientes y sin envidia". Revista de teoría económica . 193 : 105207. arXiv : 1906.07257 . doi :10.1016/j.jet.2021.105207. ISSN  0022-0531. S2CID  189999837.
14. Diamantaras, Dimitrios; Thomson, William (1 de julio de 1990). "Un refinamiento y ampliación del concepto sin envidia". Cartas de Economía . 33 (3): 217–222. doi :10.1016/0165-1765(90)90004-K. ISSN  0165-1765.