División de ferias en línea

Clase de división justa que utiliza métodos de asignación únicos

La división justa en línea es una clase de problemas de división justa en los que los recursos, o las personas a quienes deberían asignarse, o ambos, no están todos disponibles cuando se toma la decisión de asignación. ^[1] Algunas situaciones en las que no todos los recursos están disponibles incluyen:

• Asignación de donaciones de alimentos a organizaciones benéficas (el problema de los "bancos de alimentos"). Cada donación debe asignarse inmediatamente cuando llega, antes de que lleguen las donaciones futuras.
• Asignación de sangre u órganos donados a pacientes. Nuevamente, cada donación debe asignarse de inmediato y no se sabe cuándo ni cuáles serán las donaciones futuras.

Algunas situaciones en las que no todos los participantes están disponibles incluyen:

• Reparto de una tarta entre los asistentes a una fiesta. Algunas personas llegan temprano y quieren recibir una tarta al llegar, pero otras pueden llegar más tarde.
• Repartir el alquiler y las habitaciones entre los inquilinos de un piso alquilado, cuando uno o más de ellos no estén disponibles durante la adjudicación.

La naturaleza en línea del problema requiere técnicas y criterios de equidad diferentes a los de la división justa clásica fuera de línea.

Llegada de personas en línea

El problema del corte del pastel de fiesta

Walsh ^[2] estudia una variante en línea del método de división justa , en el que los agentes llegan y se van durante el proceso de división, como en una fiesta. Los procedimientos de división justa bien conocidos, como el método de dividir y elegir y el procedimiento de cuchillo móvil de Dubins-Spanier , se pueden adaptar a este contexto. Garantizan variantes en línea de proporcionalidad y ausencia de envidia . La versión en línea del método de dividir y elegir es más robusta a la colusión y tiene un mejor desempeño empírico.

El problema de la asignación justa secuencial

Sinclair, Jain, Bannerjee y Yu ^{[3] [4]} estudian la asignación de recursos divisibles cuando los individuos llegan aleatoriamente a lo largo del tiempo. Presentan un algoritmo que alcanza el umbral óptimo de equidad-eficiencia.

El problema del agente secreto

Varios autores han estudiado problemas de división justa en los que un agente es "secreto", es decir, no está disponible durante el proceso de división. Cuando este agente llega, se le permite elegir cualquier parte del recurso, y las n -1 partes restantes deben dividirse entre los n -1 agentes restantes de manera que la división sea justa. Nótese que dividir y elegir satisface estos requisitos para n = 2 agentes, pero extender esto a 3 o más agentes no es trivial. Se conocen las siguientes extensiones:

• Meunier y Su ^[5] muestran que siempre existe un reparto de votos sin envidia entre cualquier número de agentes, cuando hay un solo agente secreto.
• Frick, Houston-Edwards y Meunier ^[6] demuestran que siempre existe una asignación de habitaciones y alquileres sin envidia (también llamada armonía de alquileres ) cuando hay un único agente secreto. El resultado es válido para una clase muy general de preferencias de los inquilinos, incluidas las valoraciones cuasilineales, los "inquilinos avaros" y más. ^[7]
• Cheze ^[8] muestra un algoritmo de tiempo polinomial para el corte proporcional conectado de la torta entre cualquier número de agentes, cuando hay un solo agente secreto. El algoritmo se basa en el protocolo Even-Paz y utiliza consultas O( n log n) .
• Arunachaleswaran, Barman y Rathi ^[9] muestran un algoritmo de tiempo polinomial para la armonía de alquiler cuando hay n -1 agentes con utilidades cuasilineales y el n -ésimo agente es secreto. También muestran algoritmos eficientes para la asignación de ítems casi sin envidia (EF1) y el corte de torta sin envidia aproximada ε .

El problema del reparto de la torta

El problema de la redistribución de la torta ^[10] es una variante del reparto equitativo de la torta , en el que la torta ya está dividida de manera injusta (por ejemplo, entre un subconjunto de los agentes) y debería volver a dividirse de manera justa (entre todos los agentes), permitiendo que los propietarios actuales conserven una fracción sustancial de su valor actual. El problema modelo es la reforma agraria .

Llegada de recursos en línea

El problema de los bancos de alimentos

El problema del banco de alimentos es una variante en línea de la asignación justa de bienes indivisibles . Cada vez que llega un solo artículo, cada agente declara su valor para ese artículo y el mecanismo debe decidir cuál de los agentes debe recibirlo. La aplicación modelo es un banco de alimentos central , que recibe donaciones de alimentos y tiene que asignar cada donación a una de las organizaciones benéficas que lo deseen. Las donaciones se consumen inmediatamente y no se sabe qué donaciones vendrán a continuación, por lo que la decisión debe tomarse basándose únicamente en las donaciones anteriores.

Valoraciones binarias

En colaboración con Foodbank Australia, Aleksandrov, Aziz, Gaspers y Walsh ^[11] iniciaron el estudio del problema del banco de alimentos cuando todos los agentes tienen valoraciones binarias {0,1}, es decir, para cada artículo que llega, cada agente declara si le gusta o no. El mecanismo debe decidir cuál de los agentes a los que les gusta el artículo debe recibirlo. Estudiaron dos mecanismos simples para esta situación:

• ME GUSTA: cada elemento se entrega de manera uniforme y aleatoria a uno de los agentes a los que les gusta. Es a prueba de estrategias y libre de envidia ex ante, pero no garantiza ni siquiera una ausencia aproximada de envidia ex post. Con valoraciones binarias, alcanza el bienestar social igualitario y utilitario óptimo. Con valoraciones aditivas, su bienestar social igualitario y utilitario esperado es al menos 1/ n de los valores óptimos alcanzables por un algoritmo fuera de línea. Lo mismo es cierto si los agentes son sinceros o estratégicos (es decir, su precio de anarquía es n ).
• BALANCED-LIKE: cada elemento se entrega de manera uniforme y aleatoria a uno de los agentes a los que les gusta, de entre aquellos que recibieron la menor cantidad de elementos hasta el momento. No genera envidia ex ante y garantiza EF1 ex post cuando todos los agentes tienen valoraciones binarias. Es a prueba de estrategias para dos agentes con valoraciones binarias, pero no a prueba de estrategias para tres o más agentes, incluso con valoraciones binarias. Cuando los agentes ofertan sinceramente, con valoraciones binarias, alcanza el bienestar social igualitario y utilitario óptimo. Con valoraciones aditivas, su bienestar social igualitario y utilitario esperado no alcanza ninguna aproximación de factor constante de los valores óptimos fuera de línea, incluso con dos agentes. Cuando los agentes ofertan estratégicamente, incluso con valoraciones binarias, su precio de anarquía es n .

Valoraciones aditivas

En un caso más general del problema del banco de alimentos, los agentes pueden tener valoraciones aditivas, que se normalizan a [0,1].

Debido a la naturaleza en línea del problema, puede resultar imposible lograr algunas garantías de equidad y eficiencia que son posibles en el entorno fuera de línea. En particular, Kahana y Hazon ^[12] demuestran que ningún algoritmo en línea siempre encuentra una asignación PROP1 (proporcional hasta un bien como máximo), incluso para dos agentes con valoraciones aditivas. Además, ningún algoritmo en línea siempre encuentra una aproximación positiva de RRS (cuota round-robin).

Benade, Kazachkov, Procaccia y Psomas ^[13] estudian otro criterio de equidad: la ausencia de envidia . Definen la envidia del agente i hacia el agente j como la cantidad en la que i cree que el paquete de j es mejor, es decir, . La envidia máxima de una asignación es el máximo de la envidia entre todos los pares ordenados de agentes. Supongamos que los valores de todos los elementos están normalizados a [0,1]. Entonces, en el entorno fuera de línea, es fácil lograr una asignación en la que la envidia máxima sea como máximo 1, por ejemplo, mediante la asignación de elementos round-robin (esta condición se llama EF1). Sin embargo, en el entorno en línea, la envidia podría crecer con el número de elementos ( T ). Por lo tanto, en lugar de EF1, apuntan a lograr la envidia evanescente: el valor esperado de la envidia máxima de la asignación de T elementos debe ser sublineal en T (asumiendo que el valor de cada elemento está entre 0 y 1). Muestran que: ${\displaystyle \max(0,V_{i}(X_{j})-V_{i}(X_{i}))}$

• El algoritmo LIKE (que asigna cada elemento de manera uniforme y aleatoria) logra que la envidia desaparezca: la envidia después de que T elementos esté en . ${\displaystyle O({\sqrt {T/n}})}$
• Existe un algoritmo determinista con un límite de envidia similar, que utiliza el método de estimadores pesimistas .
• Para cualquier n ≥ 2 y r < 1, existe un adversario adaptativo (un adversario que elige las valoraciones del ítem t después de ver la asignación en el momento t -1) tal que cualquier algoritmo debe tener envidia después de T rondas en Ω((T/n) ^r/2 ). En particular, a diferencia del caso de las valoraciones binarias, ningún algoritmo puede garantizar EF1.
• También estudian un contexto más general en el que los elementos llegan en lotes de m cada vez, en lugar de uno a la vez. En este caso, hay un algoritmo determinista con envidia en . ${\displaystyle O({\sqrt {T/(mn)}})}$

Jiang, Kulkarni y Singla ^[14] mejoran el límite para el caso de n = 2 agentes, cuando los valores son aleatorios (en lugar de antagónicos). Reducen el problema al problema de la discrepancia de franjas en línea, que es un caso especial de discrepancia de permutaciones , con dos permutaciones y llegada de elementos en línea. Muestran que su algoritmo para la discrepancia de franjas en línea alcanza la envidia en , para alguna constante universal c , con alta probabilidad (que depende de c ). Su algoritmo incluso limita una noción más fuerte de envidia, a la que llaman envidia ordinal : es la peor envidia cardinal posible que es consistente con la clasificación de elementos. ${\displaystyle O(T^{c/\log \log T})}$

Zeng y Psomas ^[15] estudian el equilibrio entre eficiencia y equidad bajo cinco modelos adversarios, de débil a fuerte. A continuación, v _denota el valor del ítem que llega en el momento t al agente i .

1. Agentes independientes idénticos: el adversario elige una distribución de probabilidad D ₀ . En cada ronda t , v _se extrae independientemente de D ₀ .
2. Diferentes agentes independientes: El adversario elige una distribución de probabilidad D _i para cada agente i . En cada ronda t , v _it se extrae independientemente de D _i .
3. Agentes correlacionados: El adversario elige una distribución de probabilidad conjunta D . En cada ronda t , el vector ( v _1t , ..., v _nt ) se dibuja independientemente de D .
4. Adversario no adaptativo: después de ver el código del algoritmo, el adversario elige las valoraciones de todos los n agentes para todos los T elementos.
5. Adversario adaptativo: Después de ver el código del algoritmo, y después de ver la asignación de los primeros t -1 elementos, el adversario elige las valoraciones del elemento t (En ^[13] este es el modelo).

Para el adversario 3 (y por lo tanto también para el 2 y el 1), muestran una estrategia de asignación que garantiza, para cada par de agentes, EF1 o EF con alta probabilidad , y además, garantiza la eficiencia de Pareto ex post . Muestran que la garantía "EF1 o EF whp" no se puede mejorar ni siquiera para el adversario 1 (y por lo tanto también para el 2 y el 3). Para el adversario 4 (y por lo tanto también para el 5), muestran que cada algoritmo que logra la envidia evanescente puede ser como máximo 1/ n eficiente en términos de Pareto ex ante.

Véase también Benade, Kazachkov, Procaccia, Psomas y Zeng. ^[16]

El costoso problema de la reasignación

En algunos casos, los elementos que se habían asignado previamente pueden reasignarse, pero la reasignación es costosa, por lo que el número de ajustes debe ser el menor posible. Un ejemplo es la asignación de equipos científicos costosos entre diferentes departamentos universitarios. Cada pieza de equipo se asigna tan pronto como llega, pero algunos equipos previamente asignados pueden reasignarse para lograr una asignación general más justa.

He, Procaccia y Psomas ^[17] muestran que, con dos agentes, los algoritmos que están informados sobre los valores de los elementos futuros pueden alcanzar EF1 sin ninguna reasignación, mientras que los algoritmos no informados requieren Θ( T ) reasignaciones. Con tres o más agentes, incluso los algoritmos informados deben utilizar Ω( T ) reasignaciones, y hay un algoritmo no informado que alcanza EF1 con O( T ^3/2 ) reasignaciones.

Oferta incierta

En muchos problemas de división justa, como la producción de energía a partir de células solares, la cantidad exacta de recurso disponible puede no conocerse en el momento en que se decide la asignación. Buermann, Gerding y Rastegari ^[18] estudian la división justa de un recurso divisible homogéneo , como la electricidad, donde la cantidad disponible está dada por una distribución de probabilidad y las valoraciones de los agentes no son lineales (por ejemplo, cada agente tiene un límite en la cantidad del recurso que puede usar; por encima de este límite, su utilidad no aumenta al obtener más del recurso). Comparan dos criterios de equidad: la ausencia de envidia ex post y la ausencia de envidia ex ante . El último criterio es más débil (ya que la ausencia de envidia solo se cumple en expectativa), pero permite un mayor bienestar social. El precio de la ausencia de envidia ex ante sigue siendo alto: es al menos Ø( n ), donde n es el número de agentes. Además, maximizar el bienestar social ex ante sujeto a la ausencia de envidia ex ante es fuertemente NP-hard , pero hay un programa entero para calcular la asignación óptima ex ante libre de envidia para una clase especial de funciones de valoración: funciones lineales con un límite de saturación.

Demanda incierta

En muchos problemas de división equitativa, hay agentes o grupos de agentes cuya demanda de recursos no se conoce cuando se asignan los recursos. Por ejemplo, ^[19] supongamos que hay dos pueblos que son susceptibles a cortes de energía. Cada pueblo tiene una distribución de probabilidad diferente para las tormentas:

• En el pueblo A, con una probabilidad del 40%, dos casas son alcanzadas;
• En el pueblo B, con una probabilidad del 70%, tres casas son alcanzadas.

El gobierno tiene dos generadores, cada uno de los cuales puede suministrar electricidad a una sola casa. Debe decidir cómo distribuir los generadores entre las aldeas. Dos consideraciones importantes son la utilización y la equidad :

• La utilización se define como el número esperado de casas que necesitan un generador y lo obtienen. La utilización se maximiza (en 1,4) cuando ambos generadores se entregan a la aldea B.
• La equidad se define como la igualación de la diferencia entre la fracción de casas servidas entre los dos pueblos. En este caso, la asignación más justa es dar un solo generador a cada pueblo; la fracción es 1/2 en el pueblo A y 1/3 en el pueblo B, por lo que la diferencia es 1/6.

Donahue y Kleinberg ^[19] demuestran límites superiores e inferiores para el precio de la justicia : la utilización máxima posible dividida por la utilización máxima de una asignación justa. Los límites son débiles en general, pero es posible establecer límites más fuertes para algunas distribuciones de probabilidad específicas que se utilizan comúnmente para modelar la demanda.

Otras aplicaciones con demandas inciertas son la asignación de pedidos en cadenas de suministro de servicios , ^[20] asignación de aeronaves a rutas, ^[21] asignación de médicos a cirugías, ^[22] y más. ^{[23] [24] [25] [26]}

Valor incierto

Morgan ^[27] estudia un escenario de disolución de una sociedad, en el que los activos de la sociedad tienen el mismo valor para todos los socios, pero este valor no se conoce. Cada socio tiene una señal ruidosa sobre el valor, pero las señales son diferentes. Muestra que dividir y elegir no es justo, ya que favorece a quien elige. Presenta otro mecanismo que puede considerarse justo en este escenario.

Véase también

• Asignación justa de recursos en un mercado volátil. ^[28]
• Monotonía de recursos : una propiedad de las reglas de división que garantiza que si se aplica la misma regla a una torta más grande y a la misma población, todos los agentes saldrán beneficiados.
• Monotonía poblacional : propiedad de las reglas de división que garantiza que si se aplica la misma regla a una población más pequeña y al mismo pastel, todos los agentes saldrán beneficiados.

Referencias

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