Distribución geométrica estable

Una distribución geométrica estable o distribución geoestable es un tipo de distribución de probabilidad leptocúrtica . Las distribuciones geométricas estables fueron introducidas en Klebanov, LB, Maniya, GM y Melamed, IA (1985). Un problema de Zolotarev y análogos de distribuciones infinitamente divisibles y estables en un esquema para sumar un número aleatorio de variables aleatorias. ^[1] Estas distribuciones son análogas para distribuciones estables para el caso en que el número de sumandos es aleatorio, independiente de la distribución del sumando y tiene una distribución geométrica. La distribución geométrica estable puede ser simétrica o asimétrica. Una distribución geométrica estable simétrica también se conoce como distribución de Linnik . ^[2] La distribución de Laplace y la distribución de Laplace asimétrica son casos especiales de la distribución geométrica estable. La distribución de Mittag-Leffler también es un caso especial de una distribución geométrica estable. ^[3]

La distribución geométrica estable tiene aplicaciones en la teoría financiera. ^{[4] [5] [6] [7]}

Características

Para la mayoría de las distribuciones geométricas estables, la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa no tienen una forma cerrada. Sin embargo, una distribución geométrica estable se puede definir por su función característica , que tiene la forma: ^[8]

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }\omega -i\mu t]^{-1}}$

dónde . ${\displaystyle \omega ={\begin{cases}1-i\beta \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)\,\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha \neq 1\\1+i{\tfrac {2}{\pi }}\beta \log |t|\operatorname {sign} (t)&{\text{if }}\alpha =1\end{cases}}}$

El parámetro , que debe ser mayor que 0 y menor o igual a 2, es el parámetro de forma o índice de estabilidad, que determina qué tan pesadas son las colas. ^[8] Cuanto menor sea el valor , corresponde a colas más pesadas . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

El parámetro , que debe ser mayor o igual a −1 y menor o igual a 1, es el parámetro de asimetría. ^[8] Cuando es negativo la distribución está sesgada hacia la izquierda y cuando es positivo la distribución está sesgada hacia la derecha. Cuando es cero la distribución es simétrica y la función característica se reduce a: ^[8] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,0,\lambda ,\mu )=[1+\lambda ^{\alpha }|t|^{\alpha }-i\mu t]^{-1}}$.

La distribución geométrica estable simétrica con también se conoce como distribución de Linnik. ^[9] Una distribución geométrica estable completamente sesgada, es decir, con , , con también se conoce como distribución de Mittag-Leffler. ^[10] Aunque determina la asimetría de la distribución, no debe confundirse con el coeficiente de asimetría típico o el tercer momento estandarizado , que en la mayoría de las circunstancias no está definido para una distribución geométrica estable. ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \beta =1}$ ${\displaystyle \alpha <1}$ ${\displaystyle 0<\mu <1}$ ${\displaystyle \beta }$

El parámetro se denomina parámetro de escala y es el parámetro de ubicación. ^[8] ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \mu }$

Cuando = 2, = 0 y = 0 (es decir, una distribución geométrica estable simétrica o distribución de Linnik con = 2), la distribución se convierte en la distribución de Laplace simétrica con media de 0, ^[9] que tiene una función de densidad de probabilidad de: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f(x\mid 0,\lambda )={\frac {1}{2\lambda }}\exp \left(-{\frac {|x|}{\lambda }}\right)\,\!}$.

La distribución de Laplace tiene una varianza igual a . Sin embargo, la varianza de la distribución geométrica estable es infinita. ${\displaystyle 2\lambda ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha <2}$

Relación con distribuciones estables

Una distribución estable tiene la propiedad de que si son variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas, tomadas de dicha distribución, la suma tiene la misma distribución que la de para algunos y . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ ${\displaystyle Y=a_{n}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n})+b_{n}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

Las distribuciones geométricas estables tienen una propiedad similar, pero donde el número de elementos en la suma es una variable aleatoria distribuida geométricamente . Si son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas tomadas de una distribución geométrica estable, el límite de la suma se aproxima a la distribución de las para algunos coeficientes y cuando p se acerca a 0, donde es una variable aleatoria independiente de las tomada de una distribución geométrica con parámetro p. ^[5] En otras palabras: ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots }$ ${\displaystyle Y=a_{N_{p}}(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})+b_{N_{p}}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle a_{N_{p}}}$ ${\displaystyle b_{N_{p}}}$ ${\displaystyle N_{p}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

${\displaystyle \Pr(N_{p}=n)=(1-p)^{n-1}\,p\,.}$

La distribución es estrictamente geométricamente estable sólo si la suma es igual a la distribución de las para algún  a . ^[4] ${\displaystyle Y=a(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N_{p}})}$ ${\displaystyle X_{i}}$

También existe una relación entre la función característica de la distribución estable y la función característica de la distribución estable geométrica. La distribución estable tiene una función característica de la forma:

${\displaystyle \Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=\exp \left[~it\mu \!-\!|\lambda t|^{\alpha }\,(1\!-\!i\beta \operatorname {sign} (t)\Omega )~\right],}$

dónde

${\displaystyle \Omega ={\begin{cases}\tan {\tfrac {\pi \alpha }{2}}&{\text{if }}\alpha \neq 1,\\-{\tfrac {2}{\pi }}\log |t|&{\text{if }}\alpha =1.\end{cases}}}$

La función característica estable geométrica se puede expresar en términos de una función característica estable como: ^[11]

${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu )=[1-\log(\Phi (t;\alpha ,\beta ,\lambda ,\mu ))]^{-1}.}$

Véase también

• Distribución Mittag-Leffler

Referencias

1. Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, 29(4):791–794.
2. DO Cahoy (2012). "Un procedimiento de estimación para la distribución de Linnik". Documentos estadísticos . 53 (3): 617–628. arXiv : 1410.4093 . doi :10.1007/s00362-011-0367-4.
3. DO Cahoy; VV Uhaikin; WA Woyczyński (2010). "Estimación de parámetros para procesos de Poisson fraccionarios". Revista de planificación e inferencia estadística . 140 (11): 3106–3120. arXiv : 1806.02774 . doi :10.1016/j.jspi.2010.04.016.
4. Rachev, S.; Mittnik, S. (2000). Modelos paretianos estables en finanzas . Wiley. págs. 34–36. ISBN 978-0-471-95314-2.
5. Trindade, AA; Zhu, Y.; Andrews, B. (18 de mayo de 2009). "Modelos de series temporales con innovaciones asimétricas de Laplace" (PDF) . págs. 1–3 . Consultado el 27 de febrero de 2011 .
6. Meerschaert, M.; Sceffler, H. "Teoremas límite para paseos aleatorios en tiempo continuo" (PDF) . p. 15. Archivado desde el original (PDF) el 2011-07-19 . Consultado el 2011-02-27 .
7. Kozubowski, T. (1999). "Leyes geométricas estables: estimación y aplicaciones". Modelado matemático y computacional . 29 (10–12): 241–253. doi : 10.1016/S0895-7177(99)00107-7 .
8. Kozubowski, T.; Podgorski, K.; Samorodnitsky, G. "Colas de la medida de Lévy de variables aleatorias geométricas estables" (PDF) . págs. 1–3 . Consultado el 27 de febrero de 2011 .
9. Kotz, S.; Kozubowski, T.; Podgórski, K. (2001). La distribución de Laplace y generalizaciones . Birkhäuser. págs. 199-200. ISBN 978-0-8176-4166-5.
10. Burnecki, K.; Janczura, J.; Magdziarz, M.; Weron, A. (2008). "¿Se puede ver una competencia entre la subdifusión y los vuelos de Lévy? Una atención al ruido geométrico estable" (PDF) . Acta Physica Polonica B . 39 (8): 1048. Archivado desde el original (PDF) el 29 de junio de 2011 . Consultado el 27 de febrero de 2011 .
11. "Leyes geométricas estables a través de representaciones en serie" (PDF) . Serdica Mathematical Journal . 25 : 243. 1999 . Consultado el 28 de febrero de 2011 .