Distribución de Chernoff

Distribución de probabilidad de variable aleatoria

En teoría de probabilidad , la distribución de Chernoff , llamada así por Herman Chernoff , es la distribución de probabilidad de la variable aleatoria

${\displaystyle Z={\underset {s\in \mathbf {R} }{\operatorname {argmax} }}\ (W(s)-s^{2}),}$

donde W es un proceso de Wiener "bilateral" (o " movimiento browniano " bilateral ) que satisface W (0) = 0. Si

${\displaystyle V(a,c)={\underset {s\in \mathbf {R} }{\operatorname {argmax} }}\ (W(s)-c(s-a)^{2}),}$

entonces V (0,  c ) tiene densidad

${\displaystyle f_{c}(t)={\frac {1}{2}}g_{c}(t)g_{c}(-t)}$

donde g _c tiene transformada de Fourier dada por

${\displaystyle {\hat {g}}_{c}(s)={\frac {(2/c)^{1/3}}{\operatorname {Ai} (i(2c^{2})^{-1/3}s)}},\ \ \ s\in \mathbf {R} }$

y donde Ai es la función de Airy . Por lo tanto, f _c es simétrica respecto de 0 y la densidad  ƒ _Z  =  ƒ ₁ . Groeneboom (1989) ^[1] muestra que

${\displaystyle f_{Z}(z)\sim {\frac {1}{2}}{\frac {4^{4/3}|z|}{\operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})}}\exp \left(-{\frac {2}{3}}|z|^{3}+2^{1/3}{\tilde {a}}_{1}|z|\right){\text{ as }}z\rightarrow \infty }$

donde es el cero más grande de la función de Airy Ai y donde . En el mismo artículo, Groeneboom también ofrece un análisis del proceso . La conexión con el problema estadístico de estimar una densidad monótona se analiza en Groeneboom (1985). ^[2] Ahora se sabe que la distribución de Chernoff aparece en una amplia gama de problemas monótonos, incluida la regresión isotónica . ^[3] ${\displaystyle {\tilde {a}}_{1}\approx -2.3381}$ ${\displaystyle \operatorname {Ai} '({\tilde {a}}_{1})\approx 0.7022}$ ${\displaystyle \{V(a,1):a\in \mathbf {R} \}}$

La distribución de Chernoff no debe confundirse con la distribución geométrica de Chernoff ^[4] (llamada punto de Chernoff en geometría de la información) inducida por la información de Chernoff.

Historia

Groeneboom, Lalley y Temme ^[5] afirman que la primera investigación de esta distribución fue probablemente realizada por Chernoff en 1964 ^[6] , quien estudió el comportamiento de un determinado estimador de un modo . En su artículo, Chernoff caracterizó la distribución a través de una representación analítica mediante la ecuación de calor con condiciones de contorno adecuadas . Sin embargo, los intentos iniciales de aproximar la distribución de Chernoff mediante la resolución de la ecuación de calor no lograron una precisión satisfactoria debido a la naturaleza de las condiciones de contorno. ^[5] El cálculo de la distribución se aborda, por ejemplo, en Groeneboom y Wellner (2001). ^[7]

La conexión de la distribución de Chernoff con las funciones de Airy también fue encontrada independientemente por Daniels y Skyrme ^[8] y Temme, ^[9] como se cita en Groeneboom, Lalley y Temme. Estos dos artículos, junto con Groeneboom (1989), fueron escritos en 1984. ^[5]

Referencias

1. Groeneboom, Piet (1989). "Movimiento browniano con deriva parabólica y funciones de Airy". Probability Theory and Related Fields . 81 : 79–109. doi : 10.1007/BF00343738 . MR  0981568. S2CID  119980629.
2. Groeneboom, Piet (1985). Le Cam, LE; Olshen, RA (eds.). Estimación de una densidad monótona . Actas de la conferencia de Berkeley en honor a Jerzy Neyman y Jack Kiefer, vol. II. págs. 539–555.
3. Groeneboom, Piet; Jongbloed, Geurt (2018). "Algunos avances en la teoría de la inferencia con restricciones de forma". Ciencia estadística . 33 (4): 473–492. doi : 10.1214/18-STS657 . S2CID  13672538.
4. Nielsen, Frank (2022). "Revisitando la información de Chernoff con familias exponenciales de razón de verosimilitud". Entropía . 24 (10). MDPI: 1400. doi : 10.3390/e24101400 . PMC 9601539 . PMID  37420420. 
5. Groeneboom, Piet; Lalley, Steven; Temme, Nico (2015). "Distribución de Chernoff y ecuaciones diferenciales de tipo parabólico y Airy". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 423 (2): 1804–1824. arXiv : 1305.6053 . doi : 10.1016/j.jmaa.2014.10.051 . MR  3278229. S2CID  119173815.
6. Chernoff, Herman (1964). "Estimación de la moda". Anales del Instituto de Matemática Estadística . 16 : 31–41. doi :10.1007/BF02868560. MR  0172382. S2CID  121030566.
7. Groeneboom, Piet; Wellner, Jon A. (2001). "Cálculo de la distribución de Chernoff". Revista de estadística computacional y gráfica . 10 (2): 388–400. CiteSeerX 10.1.1.369.863 . doi :10.1198/10618600152627997. MR  1939706. S2CID  6573960. 
8. Daniels, HE; ​​Skyrme, THR (1985). "El máximo de un paseo aleatorio cuya trayectoria media tiene un máximo". Avances en probabilidad aplicada . 17 (1): 85–99. doi :10.2307/1427054. JSTOR  1427054. MR  0778595. S2CID  124603511.
9. Temme, NM (1985). "Una ecuación integral de convolución resuelta mediante transformaciones de Laplace" (PDF) . Revista de Matemática Computacional y Aplicada . 12–13: 609–613. doi :10.1016/0377-0427(85)90052-4. MR  0793989. S2CID  120496241.