Distancia de aproximación más cercana

Distancia entre los centros de objetos tangentes externamente

La distancia de aproximación más cercana entre dos objetos es la distancia entre sus centros cuando son tangentes externamente . Los objetos pueden ser formas geométricas o partículas físicas con límites bien definidos. La distancia de aproximación más cercana a veces se denomina distancia de contacto.

Para los objetos más simples, las esferas , la distancia de aproximación más cercana es simplemente la suma de sus radios. Para los objetos no esféricos, la distancia de aproximación más cercana es una función de la orientación de los objetos, y su cálculo puede ser difícil. La densidad máxima de empaquetamiento de partículas duras, un problema importante de interés continuo, ^[1] depende de su distancia de aproximación más cercana.

Las interacciones de las partículas generalmente dependen de su separación, y la distancia de aproximación más cercana juega un papel importante en la determinación del comportamiento de los sistemas de materia condensada .

Volumen excluido

El volumen excluido de partículas (el volumen excluido de los centros de otras partículas debido a la presencia de una) es un parámetro clave en tales descripciones; ^{[2] [3]} se requiere la distancia de aproximación más cercana para calcular el volumen excluido. El volumen excluido para esferas idénticas es solo cuatro veces el volumen de una esfera . Para otros objetos anisotrópicos , el volumen excluido depende de la orientación y su cálculo puede ser sorprendentemente difícil. ^[4] Las formas más simples después de las esferas son las elipses y los elipsoides; estas han recibido considerable atención, ^[5] sin embargo, su volumen excluido no se conoce. Vieillard Baron pudo proporcionar un criterio de superposición para dos elipses. Sus resultados fueron útiles para simulaciones por computadora de sistemas de partículas duras y para problemas de empaquetamiento utilizando simulaciones de Monte Carlo .

Dos elipses tangentes externamente

La única forma anisotrópica cuyo volumen excluido puede expresarse analíticamente es el esferocilindro ; la solución de este problema es un trabajo clásico de Onsager. ^[6] El problema se abordó considerando la distancia entre dos segmentos de línea, que son las líneas centrales de los cilindros tapados. Los resultados para otras formas no están fácilmente disponibles. La dependencia de la orientación de la distancia de aproximación más cercana tiene consecuencias sorprendentes. Los sistemas de partículas duras, cuyas interacciones son solo entrópicas, pueden ordenarse. Los esferocilindros duros forman no solo fases nemáticas ordenadas orientacionalmente, sino también fases esmécticas ordenadas posicionalmente. ^[7] Aquí, el sistema renuncia a algo de desorden (orientacional e incluso posicional) para ganar desorden y entropía en otra parte.

Caso de dos elipses

Vieillard Baron fue el primero en investigar este problema y, aunque no obtuvo un resultado para la distancia de aproximación más cercana, derivó el criterio de superposición para dos elipses. Sus resultados finales fueron útiles para el estudio del comportamiento de fase de partículas duras y para el problema de empaquetamiento mediante simulaciones de Monte Carlo . Aunque se han desarrollado criterios de superposición, ^{[8] [9]} las soluciones analíticas para la distancia de aproximación más cercana y la ubicación del punto de contacto solo se han puesto a disposición recientemente. ^{[10] [11]} Los detalles de los cálculos se proporcionan en la referencia ^[12] La subrutina Fortran 90 se proporciona en la referencia ^{[13] .}

El procedimiento consta de tres pasos:

1. Transformación de las dos elipses tangentes y , cuyos centros están unidos por el vector , en un círculo y una elipse , cuyos centros están unidos por el vector . El círculo y la elipse permanecen tangentes después de la transformación. ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C_{1}'}$ ${\displaystyle E_{2}'}$ ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle C_{1}'}$ ${\displaystyle E_{2}'}$
2. Determinación de la distancia de aproximación más cercana de y analíticamente. Requiere la solución apropiada de una ecuación de cuarto grado . Se calcula la normal. ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle C_{1}'}$ ${\displaystyle E_{2}'}$ ${\displaystyle n'}$
3. Determinación de la distancia de aproximación más cercana y la ubicación del punto de contacto de y mediante las transformaciones inversas de los vectores y . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle d'}$ ${\displaystyle n'}$

Aporte:

• longitudes de los semiejes , ${\displaystyle a_{1},b_{1},a_{2},b_{2}}$
• vectores unitarios , a lo largo de los ejes mayores de ambas elipses, y ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$
• vector unitario que une los centros de las dos elipses. ${\displaystyle d}$

Producción:

• distancia entre los centros cuando las elipses y son tangentes externamente , y ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{2}}$
• ubicación del punto de contacto en términos de , . ${\displaystyle k_{1}}$ ${\displaystyle k_{2}}$

Caso de dos elipsoides

Consideremos dos elipsoides , cada uno con una forma y orientación dadas , cuyos centros están en una línea con una dirección dada . Deseamos determinar la distancia entre los centros cuando los elipsoides están en contacto puntual externamente. Esta distancia de aproximación más cercana es una función de las formas de los elipsoides y su orientación. No existe una solución analítica para este problema, ya que la resolución de la distancia requiere la solución de una ecuación polinómica de sexto orden . Aquí se desarrolla un algoritmo para determinar esta distancia, basado en los resultados analíticos para la distancia de aproximación más cercana de elipses en 2D, que se puede implementar numéricamente. Los detalles se dan en publicaciones. ^{[14] [15]} Las subrutinas se proporcionan en dos formatos: Fortran90 ^[16] y C. ^[17]

El algoritmo consta de tres pasos.

1. Construir un plano que contenga la recta que une los centros de los dos elipsoides y encontrar las ecuaciones de las elipses formadas por la intersección de este plano y los elipsoides .
2. Determinación de la distancia de aproximación más cercana de las elipses, es decir, la distancia entre los centros de las elipses cuando están en contacto puntual externamente.
3. Girar el plano hasta que la distancia de aproximación más cercana de las elipses sea máxima . La distancia de aproximación más cercana de los elipsoides es esta distancia máxima.

Véase también

• Ápside
• Parámetro de impacto

Referencias

1. Torquato, S.; Jiao, Y. (2009). "Empaquetamientos densos de los sólidos platónicos y arquimedianos". Nature . 460 (7257). Springer Science and Business Media LLC: 876–879. arXiv : 0908.4107 . doi :10.1038/nature08239. ISSN  0028-0836. PMID  19675649. S2CID  52819935.
2. TL Hill, Introducción a la termodinámica estadística (Addison Wesley, Londres, 1960)
3. TA Witten y PA Pincus, Fluidos estructurados (Oxford University Press, Oxford, 2004)
4. Fuerzas, crecimiento y forma en materia condensada blanda: en la interfaz entre la física y la biología, ed. AT Skjeltrop y AV Belushkin, (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry, 2009),
5. Donev, Aleksandar; Stillinger, Frank H.; Chaikin, PM; Torquato, Salvatore (23 de junio de 2004). "Empaquetamientos cristalinos inusualmente densos de elipsoides". Physical Review Letters . 92 (25). American Physical Society (APS): 255506. arXiv : cond-mat/0403286 . doi :10.1103/physrevlett.92.255506. ISSN  0031-9007. PMID  15245027. S2CID  7982407.
6. Onsager, Lars (1949). "Los efectos de la forma en la interacción de partículas coloidales". Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York . 51 (4). Wiley: 627–659. doi :10.1111/j.1749-6632.1949.tb27296.x. ISSN  0077-8923. S2CID  84562683.
7. Frenkel, Daan. (1987-09-10). "Los esferocilindros de Onsager revisitados". The Journal of Physical Chemistry . 91 (19). Sociedad Química Estadounidense (ACS): 4912–4916. doi :10.1021/j100303a008. hdl : 1874/8823 . ISSN  0022-3654.
8. Vieillard‐Baron, Jacques (15 de mayo de 1972). "Transiciones de fase del sistema clásico de elipse dura". The Journal of Chemical Physics . 56 (10). AIP Publishing: 4729–4744. doi :10.1063/1.1676946. ISSN  0021-9606.
9. Perram, John W.; Wertheim, MS (1985). "Mecánica estadística de elipsoides duros. I. Algoritmo de superposición y función de contacto". Journal of Computational Physics . 58 (3). Elsevier BV: 409–416. doi :10.1016/0021-9991(85)90171-8. ISSN  0021-9991.
10. X. Zheng y P. Palffy-Muhoray, "Distancia de aproximación más cercana de dos elipses duras arbitrarias en dos dimensiones", Electronic Liquid Crystal Communications Archivado el 5 de marzo de 2016 en Wayback Machine , 2007
11. Zheng, Xiaoyu; Palffy-Muhoray, Peter (26 de junio de 2007). "Distancia de aproximación más cercana de dos elipses duras arbitrarias en dos dimensiones". Physical Review E . 75 (6): 061709. arXiv : 0911.3420 . doi :10.1103/physreve.75.061709. ISSN  1539-3755. PMID  17677285. S2CID  7576313.
12. X. Zheng y P. Palffy-Muhoray, Versión completa que contiene el algoritmo del punto de contacto, 4 de mayo de 2009.
13. Subrutina Fortran90 para distancia de contacto y punto de contacto para elipses 2D por X. Zheng y P. Palffy-Muhoray, mayo de 2009.
14. Zheng, Xiaoyu; Iglesias, Wilder; Palffy-Muhoray, Peter (2009-05-20). "Distancia de aproximación más cercana de dos elipsoides duros arbitrarios". Physical Review E . 79 (5). American Physical Society (APS): 057702. doi :10.1103/physreve.79.057702. ISSN  1539-3755. PMID  19518604.
15. X. Zheng, W. Iglesias, P. Palffy-Muhoray, "Distancia de aproximación más cercana de dos elipsoides duros arbitrarios", Electronic Liquid Crystal Communications, 2008
16. Subrutina Fortran90 para la distancia de aproximación más cercana de elipsoides
17. Subrutina C para la distancia de aproximación más cercana de elipsoides