Distancia entre dos líneas paralelas

Problema en geometría de coordenadas

La distancia entre dos líneas paralelas en el plano es la distancia mínima entre dos puntos cualesquiera.

Fórmula y prueba

Como las líneas son paralelas, la distancia perpendicular entre ellas es constante, por lo que no importa qué punto se elija para medir la distancia. Dadas las ecuaciones de dos líneas paralelas no verticales

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

La distancia entre las dos líneas es la distancia entre los dos puntos de intersección de estas líneas con la línea perpendicular.

${\displaystyle y=-x/m\,.}$

Esta distancia se puede encontrar resolviendo primero los sistemas lineales

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{cases}}}$

y

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,,\end{cases}}}$

para obtener las coordenadas de los puntos de intersección. Las soluciones de los sistemas lineales son los puntos

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,,}$

y

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right)\,.}$

La distancia entre los puntos es

${\displaystyle d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

Lo que se reduce a

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

Cuando las líneas están dadas por

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

La distancia entre ellos se puede expresar como

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Véase también

• Distancia de un punto a una línea

Referencias

• Abstenerse en: Schülerduden – Mathematik II . Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 2004, ISBN  3-411-04275-3 , págs. 17-19 (alemán)
• Hardt Krämer, Rolf Höwelmann, Ingo Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Akgebra . Diesterweg, 1988, ISBN 3-425-05301-9 , pág. 298 (alemán) 

Enlaces externos

• Florian Modler: Vektorprodukte, Abstandsaufgaben, Lagebeziehungen, Winkelberechnung – Wann welche Formel?, págs. 44-59 (alemán)
• AJ Hobson: “SOLO LAS MATEMÁTICAS” - UNIDAD NÚMERO 8.5 - VECTORES 5 (Ecuaciones vectoriales de líneas rectas), págs. 8-9