Teorema de la unidad de Dirichlet

Da el rango del grupo de unidades en el anillo de números enteros algebraicos de un cuerpo numérico.

En matemáticas , el teorema de la unidad de Dirichlet es un resultado básico en la teoría de números algebraicos debido a Peter Gustav Lejeune Dirichlet . ^[1] Determina el rango del grupo de unidades en el anillo O _K de números enteros algebraicos de un cuerpo de números K. El regulador es un número real positivo que determina qué tan "densas" son las unidades.

La afirmación es que el grupo de unidades se genera finitamente y tiene rango (número máximo de elementos multiplicativamente independientes) igual a

r = r1 + r2 - _1​

donde r ₁ es el número de incrustaciones reales y r ₂ el número de pares conjugados de incrustaciones complejas de K . Esta caracterización de r ₁ y r ₂ se basa en la idea de que habrá tantas formas de incrustar K en el cuerpo de números complejos como grado ; estas serán en los números reales o en pares de incrustaciones relacionadas por conjugación compleja , de modo que ${\displaystyle n=[K:\mathbb {Q} ]}$

n = r1 + 2r2 ._​​

Nótese que si K es Galois , entonces r ₁ = 0 o r ₂ = 0 . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Otras formas de determinar r ₁ y r ₂ son

• utilice el teorema del elemento primitivo para escribir , y luego r ₁ es el número de conjugados de α que son reales, 2 r ₂ el número de que son complejos; en otras palabras, si f es el polinomio mínimo de α sobre , entonces r ₁ es el número de raíces reales y 2r ₂ es el número de raíces complejas no reales de f (que vienen en pares conjugados complejos); ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• escribe el producto tensorial de campos como un producto de campos, habiendo r ₁ copias de y r ₂ copias de . ${\displaystyle K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Por ejemplo, si K es un cuerpo cuadrático , el rango es 1 si es un cuerpo cuadrático real y 0 si es un cuerpo cuadrático imaginario. La teoría para cuerpos cuadráticos reales es esencialmente la teoría de la ecuación de Pell .

El rango es positivo para todos los cuerpos numéricos, excepto los cuerpos cuadráticos imaginarios, que tienen rango 0. El "tamaño" de las unidades se mide en general mediante un determinante llamado regulador. En principio, se puede calcular de forma eficaz una base para las unidades; en la práctica, los cálculos son bastante complejos cuando n es grande. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

La torsión en el grupo de unidades es el conjunto de todas las raíces de la unidad de K , que forman un grupo cíclico finito . Para un cuerpo numérico con al menos una incrustación real, la torsión debe ser, por lo tanto, solo {1,−1} . Hay cuerpos numéricos, por ejemplo, la mayoría de los cuerpos cuadráticos imaginarios , que no tienen incrustaciones reales y que también tienen {1,−1} para la torsión de su grupo de unidades.

Los cuerpos totalmente reales son especiales con respecto a las unidades. Si L / K es una extensión finita de cuerpos numéricos con grado mayor que 1 y los grupos de unidades para los enteros de L y K tienen el mismo rango, entonces K es totalmente real y L es una extensión cuadrática totalmente compleja. Lo inverso también es válido. (Un ejemplo es K igual a los racionales y L igual a un cuerpo cuadrático imaginario; ambos tienen rango de unidad 0).

El teorema no sólo se aplica al orden máximo O _K sino a cualquier orden O ⊂ O _K . ^[2]

Helmut Hasse (y más tarde Claude Chevalley ) generalizó el teorema de la unidad para describir la estructura del grupo de unidades S , determinando el rango del grupo de unidades en localizaciones de anillos de números enteros. También se determinó la estructura del módulo de Galois de . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Q} \oplus O_{K,S}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$

El regulador

Supóngase que K es un cuerpo de números y son un conjunto de generadores para el grupo de unidades de K raíces módulo de la unidad. Habrá r + 1 lugares arquimedianos de K , ya sean reales o complejos. Para , escriba para las diferentes incrustaciones en o y establezca N _j en 1 o 2 si la incrustación correspondiente es real o compleja respectivamente. Entonces la matriz r × ( r + 1) tiene la propiedad de que la suma de cualquier fila es cero (porque todas las unidades tienen norma 1, y el logaritmo de la norma es la suma de las entradas en una fila). Esto implica que el valor absoluto R del determinante de la submatriz formada al eliminar una columna es independiente de la columna. El número R se llama regulador del cuerpo de números algebraicos (no depende de la elección de generadores u _i ). Mide la "densidad" de las unidades: si el regulador es pequeño, esto significa que hay "muchas" unidades. ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{r}}$ ${\displaystyle u\in K}$ ${\displaystyle u^{(1)},\dots ,u^{(r+1)}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \left(N_{j}\log \left|u_{i}^{(j)}\right|\right)_{i=1,\dots ,r,\;j=1,\dots ,r+1}}$$

El regulador tiene la siguiente interpretación geométrica. La función que lleva una unidad u al vector con entradas tiene una imagen en el subespacio r -dimensional de que consiste en todos los vectores cuyas entradas tienen suma 0, y por el teorema de la unidad de Dirichlet la imagen es una red en este subespacio. El volumen de un dominio fundamental de esta red es . ${\textstyle N_{j}\log \left|u^{(j)}\right|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{r+1}}$ ${\displaystyle R{\sqrt {r+1}}}$

El regulador de un cuerpo de números algebraicos de grado mayor que 2 suele ser bastante engorroso de calcular, aunque ahora existen paquetes de álgebra computacional que pueden hacerlo en muchos casos. Suele ser mucho más fácil calcular el producto hR del número de clase h y el regulador utilizando la fórmula del número de clase , y la principal dificultad en el cálculo del número de clase de un cuerpo de números algebraicos suele ser el cálculo del regulador.

Ejemplos

Dominio fundamental en el espacio logarítmico del grupo de unidades del campo cúbico cíclico K obtenido mediante la adición a una raíz de f ( x ) = x ³ + x ² − 2 x − 1 . Si α denota una raíz de f ( x ) , entonces un conjunto de unidades fundamentales es { ε ₁ , ε ₂ } , donde ε ₁ = α ² + α − 1 y ε ₂ = 2 − α ² . El área del dominio fundamental es aproximadamente 0,910114, por lo que el regulador de K es aproximadamente 0,525455. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• El regulador de un cuerpo cuadrático imaginario , o de los enteros racionales, es 1 (como el determinante de una matriz 0 × 0 es 1).
• El regulador de un campo cuadrático real es el logaritmo de su unidad fundamental : por ejemplo, el de es . Esto se puede ver de la siguiente manera. Una unidad fundamental es , y sus imágenes bajo las dos incrustaciones en son y . Por lo tanto, la matriz r × ( r + 1) es ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$ ${\textstyle \log {\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$ ${\textstyle ({\sqrt {5}}+1)/2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\textstyle ({\sqrt {5}}+1)/2}$ ${\textstyle (-{\sqrt {5}}+1)/2}$ $${\displaystyle \left[1\times \log \left|{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|,\quad 1\times \log \left|{\frac {-{\sqrt {5}}+1}{2}}\right|\ \right].}$$
• El regulador del campo cúbico cíclico , donde α es una raíz de x ³ + x ² − 2 x − 1 , es aproximadamente 0,5255. Una base del grupo de unidades módulo raíces de la unidad es { ε ₁ , ε ₂ } donde ε ₁ = α ² + α − 1 y ε ₂ = 2 − α ² . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$

Reguladores superiores

Un regulador 'superior' se refiere a una construcción para una función en un grupo K algebraico con índice n > 1 que desempeña el mismo papel que el regulador clásico para el grupo de unidades, que es un grupo K ₁ . Se ha estado desarrollando una teoría de tales reguladores, con el trabajo de Armand Borel y otros. Tales reguladores superiores desempeñan un papel, por ejemplo, en las conjeturas de Beilinson , y se espera que ocurran en evaluaciones de ciertas funciones L en valores enteros del argumento. ^[5] Véase también regulador de Beilinson .

Regulador Stark

La formulación de las conjeturas de Stark llevó a Harold Stark a definir lo que ahora se llama el regulador de Stark , similar al regulador clásico como determinante de logaritmos de unidades, adjunto a cualquier representación de Artin . ^{[6] [7]}

pag-regulador ádico

Sea K un cuerpo de números y para cada primo P de K por encima de algún primo racional fijo p , sea U _P las unidades locales en P y sea U _{1, P} el subgrupo de unidades principales en U _P . $${\displaystyle U_{1}=\prod _{P|p}U_{1,P}.}$$

Entonces, sea E ₁ el conjunto de unidades globales ε que se asignan a U ₁ a través de la incrustación diagonal de las unidades globales en E .

Como E ₁ es un subgrupo de índice finito de las unidades globales, es un grupo abeliano de rango r ₁ + r ₂ − 1 . El regulador p -ádico es el determinante de la matriz formada por los logaritmos p -ádicos de los generadores de este grupo. La conjetura de Leopoldt afirma que este determinante es distinto de cero. ^{[8] [9]}

Véase también

• Unidad elíptica
• Unidad ciclotómica
• Teorema de la unidad de Shintani

Notas

1. Elstrodt 2007, §8.D
2. Stevenhagen, P. (2012). Anillos numéricos (PDF) . pág. 57.
3. Neukirch, Schmidt y Wingberg 2000, proposición VIII.8.6.11.
4. Cohen 1993, Tabla B.4
5. Bloch, Spencer J. (2000). Reguladores superiores, teoría K algebraica y funciones zeta de curvas elípticas . Serie de monografías CRM. Vol. 11. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-2114-8. Número de serie  0958.19001.
6. Prasad, Dipendra; Yogonanda, CS (23 de febrero de 2007). Un informe sobre la conjetura de holomorfía de Artin (PDF) (Informe).
7. Dasgupta, Samit (1999). Conjeturas de Stark (PDF) (Tesis). Archivado desde el original (PDF) el 10 de mayo de 2008.
8. Neukirch y otros. (2008) pág. 626–627
9. Iwasawa, Kenkichi (1972). Lecciones sobre funciones L p -ádicas . Anales de estudios matemáticos. Vol. 74. Princeton, NJ: Princeton University Press y University of Tokyo Press. Págs. 36–42. ISBN. 0-691-08112-3.Zbl 0236.12001  .

Referencias

• Cohen, Henri (1993). Un curso de teoría algebraica computacional de números . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 138. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 978-3-540-55640-4.MR 1228206.Zbl 0786.11071  . ​
• Elstrodt, Jürgen (2007). "La vida y obra de Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)" (PDF) . Clay Mathematics Proceedings . Archivado desde el original (PDF) el 2021-05-22 . Consultado el 2010-06-13 .
• Lang, Serge (1994). Teoría algebraica de números . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 110 (2.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-94225-4.Zbl 0811.11001  .
• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . vol. 322. Berlín: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8.MR  1697859.Zbl 0956.11021  .​
• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol. 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR  1737196, Zbl  0948.11001