Dipolo de Lamb-Chaplygin

La estructura de flujo del dipolo de Lamb-Chaplygin

El modelo dipolar de Lamb-Chaplygin es una descripción matemática de un flujo de vórtice dipolar estable y no viscoso particular. Es una solución no trivial a las ecuaciones de Euler bidimensionales . El modelo recibe su nombre de Horace Lamb y Sergey Alexeyevich Chaplygin , quienes descubrieron de forma independiente esta estructura de flujo. ^[1] Este dipolo es el análogo bidimensional del vórtice esférico de Hill .

El modelo

Un campo vectorial solenoidal bidimensional (2D) puede describirse mediante una función de corriente escalar , mediante , donde es el vector unitario dextrógiro perpendicular al plano 2D. Por definición, la función de corriente está relacionada con la vorticidad mediante una ecuación de Poisson : . El modelo de Lamb–Chaplygin se desprende de exigir las siguientes características: ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbf {u} =-\mathbf {e_{z}} \times \mathbf {\nabla } \psi }$ ${\displaystyle \mathbf {e_{z}} }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle -\nabla ^{2}\psi =\omega }$

• El dipolo tiene una atmósfera/separatriz circular con radio : . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \psi \left(r=R\right)=0}$
• El dipolo se propaga a través de un fluido que de otro modo sería irracional ( a velocidad de traslación ). ${\displaystyle \omega (r>R)=0)}$ ${\displaystyle U}$
• El flujo es constante en el marco de referencia en co-movimiento: . ${\displaystyle \omega (r<R)=f\left(\psi \right)}$
• Dentro de la atmósfera, existe una relación lineal entre la vorticidad y la función de corriente. ${\displaystyle \omega =k^{2}\psi }$

La solución en coordenadas cilíndricas ( ), en el marco de referencia co-móvil, se lee: ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle r,\theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ={\begin{cases}{\frac {-2UJ_{1}(kr)}{kJ_{0}(kR)}}\mathrm {sin} (\theta ),&{\text{for }}r<R,\\U\left({\frac {R^{2}}{r}}-r\right)\mathrm {sin} (\theta ),&{\text{for }}r\geq R,\end{cases}}\end{aligned}}}$

donde son la función de Bessel cero y la primera de primer tipo, respectivamente. Además, el valor de es tal que , el primer cero no trivial de la primera función de Bessel de primer tipo. ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle J_{0}{\text{ and }}J_{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle kR=3.8317...}$

Uso y consideraciones

Desde el trabajo seminal de P. Orlandi, ^[2] el modelo de vórtice de Lamb-Chaplygin ha sido una opción popular para estudios numéricos sobre interacciones vórtice-ambiente. El hecho de que no se deforme lo convierte en un candidato principal para la inicialización de flujo consistente. Una propiedad menos favorable es que la segunda derivada del campo de flujo en el borde del dipolo no es continua. ^[3] Además, sirve como marco para el análisis de estabilidad en estructuras de vórtice dipolar. ^[4]

Referencias

1. Meleshko, VV; Heijst, GJF van (agosto de 1994). "Sobre las investigaciones de Chaplygin de estructuras de vórtices bidimensionales en un fluido no viscoso". Journal of Fluid Mechanics . 272 ​​: 157–182. Bibcode :1994JFM...272..157M. doi :10.1017/S0022112094004428. ISSN  1469-7645. S2CID  123008925.
2. Orlandi, Paolo (agosto de 1990). "Rebote de dipolo de vórtice desde una pared". Física de fluidos A: Dinámica de fluidos . 2 (8): 1429–1436. Bibcode :1990PhFlA...2.1429O. doi :10.1063/1.857591. ISSN  0899-8213.
3. Kizner, Z.; Khvoles, R. (2004). "Dos variaciones sobre el tema de Lamb–Chaplygin: dipolo superliso y multipolos rotatorios". Dinámica regular y caótica . 9 (4): 509. doi :10.1070/rd2004v009n04abeh000293. ISSN  1560-3547.
4. Brion, V.; Sipp, D.; Jacquin, L. (1 de junio de 2014). "Dinámica lineal del dipolo de Lamb-Chaplygin en el límite bidimensional" (PDF) . Física de fluidos . 26 (6): 064103. Bibcode :2014PhFl...26f4103B. doi :10.1063/1.4881375. ISSN  1070-6631.