Morfismo diagonal

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , para cada objeto en cada categoría donde existe el producto , existe el morfismo diagonal ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle a\times a}$

${\displaystyle \delta _{a}:a\rightarrow a\times a}$

satisfactorio

${\displaystyle \pi _{k}\circ \delta _{a}=\operatorname {id} _{a}}$para ${\displaystyle k\in \{1,2\},}$

donde es el morfismo de proyección canónica al componente -ésimo. La existencia de este morfismo es consecuencia de la propiedad universal que caracteriza al producto ( salvo el isomorfismo ). La restricción a productos binarios aquí es para facilitar la notación; los morfismos diagonales existen de manera similar para productos arbitrarios. La imagen de un morfismo diagonal en la categoría de conjuntos , como un subconjunto del producto cartesiano , es una relación en el dominio , a saber, la igualdad . ${\displaystyle \pi _{k}}$ ${\displaystyle k}$

Para categorías concretas , el morfismo diagonal puede describirse simplemente por su acción sobre elementos del objeto . Es decir, , el par ordenado formado a partir de . La razón del nombre es que la imagen de dicho morfismo diagonal es diagonal (siempre que tenga sentido), por ejemplo, la imagen del morfismo diagonal en la línea real está dada por la línea que es el gráfico de la ecuación . El morfismo diagonal en el producto infinito puede proporcionar una inyección en el espacio de secuencias valoradas en ; cada elemento se asigna a la secuencia constante en ese elemento. Sin embargo, la mayoría de las nociones de espacios de secuencia tienen restricciones de convergencia que la imagen de la función diagonal no podrá satisfacer. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \delta _{a}(x)=\langle x,x\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle X^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$

La noción dual de un morfismo diagonal es un morfismo codiagonal . Para cada objeto en una categoría donde existen los coproductos , el codiagonal ^{[3] [2] [7] [5] [6]} es el morfismo canónico. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle b\sqcup b}$

${\displaystyle \delta _{b}\colon b\sqcup b{\stackrel {[Id,Id]}{\to }}b}$

satisfactorio

${\displaystyle \delta _{b}\circ \tau _{l}=\operatorname {id} _{b}}$para ${\displaystyle l\in \{1,2\}.}$

donde es el morfismo de inyección al componente -ésimo. ${\displaystyle \tau _{l}}$ ${\displaystyle l}$

Sea un morfismo en una categoría con el empuje es un epimorfismo si y sólo si el codiagonal es un isomorfismo. ^[8] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Véase también

• Functor diagonal
• Incrustación diagonal
• wikilibros:Teoría de categorías/(Co-)conos y (co-)límites

Referencias

1. (Carter y otros, 2008)
2. (Fe 1973)
3. (Popescu y Popescu 1979, ejercicio 7.2.)
4. (Diagonal en nlab)
5. (Laurent 2013)
6. (Masakatsu 1972, Definición 4.)
7. (co-Diagonal en nlab)
8. (Muro 2016)

Bibliografía

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• Carter, J. Scott; Crans, Alissa; Elhamdadi, Mohamed; Saito, Masahico (2008). "Cohomología de la autodistributividad categórica" ​​(PDF) . Revista de homotopía y estructuras relacionadas . 3 (1): 13–63. arXiv : math/0607417 . Código Bibliográfico :2006math......7417C.
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Enlaces externos

• Aubert, Clément (2019). «Categorías para mí y para ti». arXiv : 1910.05172 .
• Herscovich, Estanislao (2020). "Conferencias sobre álgebra homológica básica" (PDF) .
• Laurent, Olivier (2013). «Categorías para mí [nota]» (PDF) . perso.ens-lyon.fr .
• "codiagonal". ncatlab.org .
• "morfismo diagonal". ncatlab.org .