Desviación cosificada

En teoría de probabilidad y estadística , la asimetría es una medida de cuánto cambian juntas tres variables aleatorias. La asimetría es el tercer momento central cruzado estandarizado , relacionado con la asimetría de la misma manera que la covarianza está relacionada con la varianza . En 1976, Krauss y Litzenberger lo utilizaron para examinar el riesgo en las inversiones en el mercado de valores. ^[1] La aplicación al riesgo fue ampliada por Harvey y Siddique en 2000. ^[2]

Si tres variables aleatorias presentan una asimetría positiva, tenderán a sufrir desviaciones extremas al mismo tiempo, de las cuales un número impar será positivo (es decir, las tres variables aleatorias sufrirán desviaciones positivas extremas, o una sufrirá una desviación positiva extrema mientras que las otras dos sufrirán desviaciones negativas extremas). De manera similar, si tres variables aleatorias presentan una asimetría negativa, tenderán a sufrir desviaciones extremas al mismo tiempo, de las cuales un número par será positivo (es decir, las tres variables aleatorias sufrirán desviaciones negativas extremas, o una sufrirá una desviación negativa extrema mientras que las otras dos sufrirán desviaciones positivas extremas).

Tipos

Hay dos medidas diferentes para el grado de asimetría de los datos.

Desviación cosificada

Para tres variables aleatorias X , Y y Z , la estadística de cosesgo no trivial se define como: ^[3]

${\displaystyle S(X,Y,Z)={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y])(Z-\operatorname {E} [Z])\right]}{\sigma _{X}\sigma _{Y}\sigma _{Z}}}}$

donde E[ X ] es el valor esperado de X , también conocido como la media de X , y es la desviación estándar de X . ${\displaystyle \sigma _{X}}$

Asimetría de rango estandarizada

Bernard, Chen, Rüschendorf y Vanduffel definieron la asimetría de rango estandarizada de tres variables aleatorias X , Y y Z como: ^[4]

${\displaystyle RS(X,Y,Z)=32\operatorname {E} \left[\left(F_{X}(X)-{\frac {1}{2}}\right)\left(F_{Y}(Y)-{\frac {1}{2}}\right)\left(F_{Z}(Z)-{\frac {1}{2}}\right)\right]}$

donde F _X  ( X ), F _Y  ( Y ) y F _Z  ( Z ) son las funciones de distribución acumulativa de X , Y y Z , respectivamente.

Propiedades

La asimetría es un caso especial de asimetría cuando las tres variables aleatorias son idénticas:

${\displaystyle S(X,X,X)={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{3}\right]}{\sigma _{X}^{3}}}={\operatorname {skewness} [X]},}$

Para dos variables aleatorias, X e Y , la asimetría de la suma, X  +  Y , es

${\displaystyle S_{X+Y}={1 \over \sigma _{X+Y}^{3}}{\left[\sigma _{X}^{3}S_{X}+3\sigma _{X}^{2}\sigma _{Y}S(X,X,Y)+3\sigma _{X}\sigma _{Y}^{2}S(X,Y,Y)+\sigma _{Y}^{3}S_{Y}\right]},}$

donde S _X es la asimetría de X y es la desviación estándar de X. De ello se deduce que la suma de dos variables aleatorias puede estar sesgada ( S _{X + Y}  ≠ 0) incluso si ambas variables aleatorias tienen una asimetría cero de forma aislada ( S _X  = 0 y S _Y  = 0). ${\displaystyle \sigma _{X}}$

La asimetría de rango estandarizada RS ( X , Y , Z ) satisface las siguientes propiedades: ^[4]

(1) −1 ≤ RS ( X , Y , Z ) ≤ 1.

(2) El límite superior de 1 se obtiene mediante la cópula dada en (3.3) en Bernard, Chen, Rüschendorf y Vanduffel (2023). El límite inferior de −1 se obtiene mediante la cópula (3.5) en el mismo artículo.

(3) Es invariante bajo transformaciones estrictamente crecientes, es decir, cuando fi, i = 1, 2, 3, son funciones estrictamente crecientes arbitrarias, RS ( X , Y , Z ) = RS ( f ₁  ( X ), f ₂  ( Y ), f ₃  ( Z )).

(4) RS ( X , Y , Z ) = 0 si X , Y y Z son independientes.

Ejemplo

Sea X una distribución normal estándar e Y la distribución obtenida al establecer X = Y siempre que X < 0 y extraer Y independientemente de una distribución seminormal estándar siempre que X > 0. En otras palabras, X e Y tienen una distribución normal estándar con la propiedad de que están completamente correlacionadas para valores negativos y no correlacionadas, salvo por el signo, para valores positivos. La función de densidad de probabilidad conjunta es

${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)={\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\left(H(-x)\delta (x-y)+2H(x)H(y){\frac {e^{-y^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}\right)}$

donde H ( x ) es la función escalonada de Heaviside y δ( x ) es la función delta de Dirac . Los terceros momentos se calculan fácilmente integrando con respecto a esta densidad:

${\displaystyle S(X,X,Y)=S(X,Y,Y)=-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\approx -0.399}$

Nótese que, aunque X e Y tienen una distribución normal estándar individual, la distribución de la suma X + Y está significativamente sesgada. A partir de la integración con respecto a la densidad, encontramos que la covarianza de X e Y es

${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}}$

de lo cual se deduce que la desviación estándar de su suma es

${\displaystyle \sigma _{X+Y}={\sqrt {3+{\frac {2}{\pi }}}}}$

Usando la fórmula de suma de asimetría anterior, tenemos

${\displaystyle S_{X+Y}=-{\frac {3{\sqrt {2}}\pi }{(2+3\pi )^{3/2}}}\approx -0.345}$

Esto también se puede calcular directamente a partir de la función de densidad de probabilidad de la suma:

${\displaystyle f_{X+Y}(u)={\frac {e^{-u^{2}/8}}{2{\sqrt {2\pi }}}}H(-u)+{\frac {e^{-u^{2}/4}}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {erf} \left({\frac {u}{2}}\right)H(u)}$

Bernard, Chen, Rüschendorf y Vanduffel (2023) encontraron límites de riesgo en la asimetría para algunas distribuciones marginales populares, como se muestra en la siguiente tabla. ^[4]

¿Dónde está la función gamma ? ${\displaystyle \Gamma (x)}$

Véase también

• Momento (matemáticas)
• Cocurtosis

Referencias

1. Friend, Irwin; Randolf Westerfield (1980). "Co-asimetría y fijación de precios de activos de capital". The Journal of Finance . 35 (4): 897–913. doi :10.1111/j.1540-6261.1980.tb03508.x.
2. Jondeau, Eric; Ser-Huang Poon; Michael Rockinger (2007). Modelado financiero bajo distribuciones no gaussianas. Springer. págs. 31–32. ISBN 978-1-84628-696-4.
3. Miller, Michael B. (2014). "Capítulo 3. Estadísticas básicas". Matemáticas y estadísticas para la gestión de riesgos financieros (2.ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: John Wiley & Sons, Inc., págs. 53-56. ISBN 978-1-118-75029-2.
4. Bernard, Carole; Jinghui, Chen; Rüschendorf, Ludger; Vanduffel, Steven (5 de mayo de 2023). "Coskewness bajo incertidumbre de dependencia". Statistics and Probability Letters . 199 (8).

Lectura adicional

• Harvey, Campbell R.; Akhtar Siddique (2000). "Asimetría condicional en pruebas de fijación de precios de activos" (PDF) . The Journal of Finance . 55 (3): 1263–1295. CiteSeerX  10.1.1.46.5155 . doi :10.1111/0022-1082.00247.
• Kraus, Alan; Robert H. Litzenberger (1976). "Preferencia por asimetría y valoración de activos de riesgo". Revista de Finanzas . 31 (4): 1085–1100. doi :10.1111/j.1540-6261.1976.tb01961.x.